一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1．直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)橹本€，即
所以，且所以，故選:D.
2．若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得，解得.故選：A.
3．如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
因?yàn)椋裕?br>，，
，，
所以點(diǎn)P到AB的距離．故選：B.
4．已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓：的上、下頂點(diǎn)相同，且經(jīng)過的焦點(diǎn)，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】橢圓：，上、下頂點(diǎn)分別為，，上、下焦點(diǎn)分別為，.
因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)與的上、下頂點(diǎn)相同，且經(jīng)過的焦點(diǎn)，
設(shè)雙曲線方程為，則有，，，
所以雙曲線的方程為.故選：C
5．已知向量，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，向量，2，，，，，且，
則設(shè)，即，，，2，，
則有，則，，
則，，，故；故選：B．
6．若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．1或 C．或3 D．
【答案】C
【解析】由圓可化為，可圓心坐標(biāo)為，半徑為，
因?yàn)橹本€與圓相切，
可得圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得或.故選：C.
7．過直線與的交點(diǎn)，與直線平行的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，可設(shè)所求直線的方程為：，
即，
又因?yàn)榇酥本€與直線平行，
所以：，解得：，
所以所求直線的方程為：，即．故選：D．
8．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點(diǎn)的最近距離為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【解析】因?yàn)镻是焦點(diǎn)為，的橢圓上的一點(diǎn)，為的外角平分線，，
設(shè)的延長線交的延長線于點(diǎn)M，所以，
，
所以由題意得是的中位線，
所以，
所以Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，以5為半徑的圓，
所以當(dāng)點(diǎn)Q與y軸重合時(shí)，
Q與短軸端點(diǎn)取最近距離故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列說法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角為120°
B．經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為
C．直線恒過定點(diǎn)
D．直線，，則或0
【答案】AC
【解析】對(duì)于A中，設(shè)直線的傾斜角為，由直線，可得斜率為，即，
因?yàn)?，所以，所以A正確；
對(duì)于B中，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)過點(diǎn)直線方程為，即，滿足題意；
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，要使得直線在軸上截距互為相反數(shù)，可得所求直線的斜率，
所以點(diǎn)的直線方程為，即，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，直線，可化為，
由方程組，解得，所以直線恒過點(diǎn)，所以C正確；
對(duì)于D中，由直線，
若，可得且，解得，所以D不正確.故選：AC.
10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為0
C．的最大值為 D．的最大值為
【答案】ABD
【解析】由實(shí)數(shù)x，y滿足方程可得點(diǎn)在圓上，作其圖象如下，
因?yàn)楸硎军c(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，
設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的切線方程為，則，解得：或，
，，，A，B正確；
表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，
圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為，
所以最大值為，又，
所以的最大值為，C錯(cuò)，
因?yàn)榭苫癁椋?br>故可設(shè)，，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)取最大值，最大值為，D對(duì)，故選：ABD.
11．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中不正確的是（ ）
A． B．平面
C．向量與的夾角是60° D．直線與AC所成角的余弦值為
【答案】AC
【解析】對(duì)于，
，
所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，
所以，即，
，所以，即，
因?yàn)?，平面，所以平面，選項(xiàng)正確；
對(duì)于：向量與 的夾角是，
所以向量與的夾角也是，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，
所以，
，
同理，可得，，
所以，所以選項(xiàng)正確．故選：AC．
12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為1，M是線段AB的中點(diǎn)，是平面內(nèi)一定點(diǎn)，則（ ）
A． B．若，則M到x軸距離為3
C．若，則 D．的最小值為4
【答案】ABD
【解析】拋物線上的點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)F距離的最小值為1，
則有，解得，A正確；
拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)，
對(duì)于B，點(diǎn)，由拋物線的定義知，，
有，所以M到x軸距離，B正確；
對(duì)于C，，由得：，即，
又，即，則，解得，
于是得，C不正確；
對(duì)于D，拋物線中，當(dāng)時(shí)，，因此點(diǎn)在拋物線上方，
過點(diǎn)P作于，交拋物線于點(diǎn)Q，連QF，過A作于，連AF，AP，，如圖，
顯然，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A與Q重合時(shí)取等號(hào)，
所以，D正確.故選：ABD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式可知方程表示橢圓方程的充要條件為，
又由題意方程表示的曲線為橢圓，
所以，解不等式組得且，
因此m的取值范圍為.
14．設(shè)是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>則有，
又三點(diǎn)共線，于是可設(shè)，
即，而不共線，
因此，解得，所以實(shí)數(shù)k的值是.
15．已知點(diǎn)，則點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得，，
故點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.
16．若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】令，即，兩邊平方得到，
即，又由，易知，，
所以曲線表示以為圓心，為半徑的半圓，如圖所示，
令， 當(dāng)與圓相切時(shí)，，
得到（舍去）或，
當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，
又因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不等的實(shí)根，
由圖知，
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）
若直線的方程為.
（1）若直線與直線垂直，求的值；
（2）若直線在兩軸上的截距相等，求該直線的方程.
【答案】（1）1；（2），．
【解析】（1）直線與直線垂直，，解得．
（2）當(dāng)時(shí)，直線化為：．不滿足題意．
當(dāng)時(shí)，可得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，．
直線在兩軸上的截距相等，，解得：．
該直線的方程為：，．
18．（12分）
如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，AB＝2AD＝2EF＝4，．
（1）求證：；
（2）求直線AE與平面BCF所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以?br>又平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，所以；
（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，
則，
由，得，且，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>平面，所以平面，
由平面，得，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
，
則，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，
令，得，所以，
，
設(shè)直線與平面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
19．（12分）
已知圓，圓.
（1）求圓與圓的公共弦長；
（2）求過兩圓的交點(diǎn)且圓心在直線上的圓的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，
即，化簡得，
所以圓的圓心到直線的距離為，
則，解得，
所以公共弦長為.
（2）解法一：
設(shè)過兩圓的交點(diǎn)的圓為，
則；
由圓心在直線上，則，解得，
所求圓的方程為，即.
解法二：
由（1）得，代入圓，
化簡可得，解得；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，
則，解得；
所以；
所以過兩圓的交點(diǎn)且圓心在直線上的圓的方程為
20．（12分）
已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，動(dòng)圓與圓和圓均外切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.
（1）求的方程；
（2）若是上一點(diǎn)，且，求的面積.
【答案】（1）；（2）24
【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，因?yàn)閳A與圓和圓均外切，
所以，，
則，
根據(jù)雙曲線的定義可知，的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的一支.
設(shè)方程為，
由，又，
所以，
所以的方程為.
（2）設(shè)，則.
因?yàn)?所以，
即，解得或（舍去）.
故的面積為：.
21．（12分）
如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點(diǎn)，且.
（1）求證：平面.
（2）求二面角的平面角的余弦值.
（3）若點(diǎn)在棱上（不與點(diǎn)，重合），直線能與平面垂直嗎？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不能，理由見解析
【解析】（1）因?yàn)槠矫妫?，?br>則以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，平面
所以平面.
（2）由（1）知是平面的一個(gè)法向量.
，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，即
令，則，，所以，
所以.
又由圖可知二面角的平面角為銳角
所以二面角的平面角的余弦值為.
（3）由（1）得，，，.
設(shè)，則，
可得，所以.
由（2）知是平面的一個(gè)法向量.
若平面，可得
則，該方程無解，
所以直線不能與平面垂直.
22．（12分）
已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，．
（1）求；
（2）過點(diǎn)作直線，與交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理出．
【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以 ①，
因?yàn)?，所以由焦半徑公式?②，
由①②解得 （負(fù)值舍去），所以.
（2）由（1）知拋物線的方程為，
依題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，則，
由消去得，，則，
所以，，
所以，
則直線的方程為，
即，
即，即，
令，可得，

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