2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬試題02（北師大版2019選一第1-3章）（Word版附解析）

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一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1．直線過點(diǎn)，且方向向量為，則（ ）
A．直線的點(diǎn)斜式方程為B．直線的斜截式方程為
C．直線的截距式方程為D．直線的一般式方程為
【答案】D
【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，所以直線的斜率為2．
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，
所以直線的點(diǎn)斜式方程為，
其一般式為．故A錯(cuò)誤，D正確；
化為斜截式：，故B錯(cuò)誤；
化為截距式：，故C錯(cuò)誤.
故選：D
2．已知直線：過定點(diǎn)，直線：過定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（ ）
A．10B．12C．13D．20
【答案】C
【詳解】由直線過定點(diǎn)，
直線可化為，
令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，
又由直線和，滿足，
所以，所以，所以.
故選：C.
3．已知直線，其方程分別為：，：，其中，，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．8
【答案】D
【詳解】∵直線：和：平行，
∴且它們的斜率相等，在軸上的截距不相等，
∴，且，∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
∴的最小值是8.
故選：D.
4．“”是“直線與圓相交”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】直線與圓相交，
顯然，推不出，而可推出，故是必要不充分條件.
故選：B.
5．如圖，在平行六面體中，為的中點(diǎn)，若，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)?
所以，
故選:B.
6．已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓：的上、下頂點(diǎn)相同，且經(jīng)過的焦點(diǎn)，則的方程為（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【詳解】橢圓：，上、下頂點(diǎn)分別為，，上、下焦點(diǎn)分別為，.
因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)與的上、下頂點(diǎn)相同，且經(jīng)過的焦點(diǎn)，
設(shè)雙曲線方程為，則有，，，
所以雙曲線的方程為.
故選：C
7．已知：，：，則下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（ ）
（1）若在內(nèi)，則；
（2）當(dāng)時(shí)，與共有兩條公切線；
（3）當(dāng)時(shí)，與的公共弦所在直線方程為；
（4），使得與公共弦的斜率為.
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?，：?br>所以：，：，
則，，，，則，
由在內(nèi)，可得，即，故（1）錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，，，，
所以，所以兩圓相交，共兩條公切線，故（2）正確；
當(dāng)時(shí)，：，：，兩圓相交
由，得：，即故（3）正確；
公共弦所成直線的斜率為，令，無解，故（4）錯(cuò)誤.
故選：B.
8．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，過點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，若M為直線AB上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【詳解】由題意得，則，，
所以橢圓方程為，因?yàn)?，所以在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，
因?yàn)椋渣c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，
，所以，所以，
所以，即，
所以，所以直線為，即，
因?yàn)镸為直線上任意一點(diǎn)，所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離，
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說法正確的是（ ）
A．圓的圓心為 B．點(diǎn)在圓內(nèi)C．圓的半徑為5D．點(diǎn)在圓內(nèi)
【答案】ABC
【詳解】圓的圓心為，半徑為5，AC正確；
由，得點(diǎn)在圓內(nèi)，B正確；
由，得點(diǎn)在圓外，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
10．已知橢圓的焦距是，則m的值可能是（ ）
A．B．13C．D．19
【答案】BD
【詳解】由題知，或，解得或.
故選：BD
11．已知直線，圓的圓心坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過點(diǎn) B．
C．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為 D．當(dāng)時(shí)，圓上存在無數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱
【答案】ABD
【詳解】直線，恒過點(diǎn)，所以A正確；
圓的圓心坐標(biāo)為，，，所以B正確；
圓的圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為2．
直線，恒過點(diǎn)，圓的圓心到定點(diǎn)的距離為：，
直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為，所以C不正確；
當(dāng)時(shí)，直線方程為：，經(jīng)過圓的圓心，所以圓上存在無數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以D正確．
故選：ABD．
12．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（ ）

A．平面
B．到平面的距離為
C．過點(diǎn)，，作正方體的截面，所得截面的面積是
D．平面與平面夾角余弦值為
【答案】ABD
【詳解】以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，
則，，，，，
則平面，故A正確；向量為平面的法向量，
且，，所以到平面的距離為
，故B正確；
作中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，，
則正六邊形為對(duì)應(yīng)截面面積，正六邊形邊長(zhǎng)為，
則截面面積為：，故C錯(cuò)誤；
平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)兩個(gè)平面夾角為，，故D正確．
故選：ABD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是 .
【答案】
【詳解】?jī)芍本€方程聯(lián)立，得，所以交點(diǎn)為
設(shè)與直線垂直的直線方程為，
把代入中，得，
故答案為：
14．已知，，，若，，，四點(diǎn)共面，則 ．
【答案】5
【詳解】解：因?yàn)?，，，且，，，四點(diǎn)共面，
所以，則，解得，
故答案為：5
15．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上一點(diǎn)且，則 .
【答案】
【詳解】解：橢圓得，，，
設(shè)，，則，
，，
，，
，即.
故答案為：

16．若點(diǎn)在曲線：上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為 .
【答案】/
【詳解】曲線方程化為，是以為圓心，3為半徑的圓，
表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，不妨設(shè)即直線：，
又在圓上運(yùn)動(dòng)，故直線與圓有公共點(diǎn)，則，
化簡(jiǎn)得解得，故的最大值為.
故答案為:.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）已知兩條不同直線：，：．
(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)a的值；并求此時(shí)直線與之間的距離．
【答案】(1)；(2)
【詳解】（1）由，得，解得；
（2）當(dāng)時(shí)，有，解得，
∴：，：，即，
∴兩直線與的距離為．
18．（12分）設(shè)直線l的方程為
(1)求證：不論a為何值，直線必過定點(diǎn)M；
(2)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．
(3)若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，的面積為S，求S的最小值．
【答案】(1)當(dāng)不論a為何值，直線恒過定點(diǎn)；
(2)直線l的方程為或.
(3)6
【分析】（1）將原直線方程變形為，由求解；
（2）分截距是否為0兩種情況，求得參數(shù)，即可得答案.
（3）求出直線在坐標(biāo)軸上的截距，結(jié)合題意確定參數(shù)范圍，求出的面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【詳解】（1）直線l的方程為，
整理可得：，
當(dāng)時(shí)不論a為何值，，
即，，
可證當(dāng)不論a為何值，直線恒過定點(diǎn)；
（2）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)滿足條件，此時(shí)，解得，
此時(shí)直線方程為.
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線斜率為，
故，解得，
可得直線l的方程為：.
綜上所述，直線l的方程為或.
（3）由題意知，
令，解得，解得；
令，解得，解得或.
綜上有.
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
∴（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值是6，
此時(shí)直線方程，即.
19．（12分）已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓的圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求.
【答案】(1) (2)1
【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則的中垂線方程為，即，
故圓的圓心在直線上.
聯(lián)立方程組，解得，故圓圓心的坐標(biāo)為，
圓的半徑，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，，聯(lián)立方程組，
整理得，，
則，.
故.
20．（12分）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線定義求出p值作答.
（2）求出直線的方程，與的方程聯(lián)立，再求出三角形面積作答.
【詳解】（1）拋物線：的準(zhǔn)線方程為，依題意，，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）由（1）知，，則直線的方程為，
由消去y得：，解得，，
所以的面積.

21．（12分）如圖，內(nèi)接于⊙O，為⊙O的直徑，，，，為的中點(diǎn)，且平面平面．

(1)證明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析 (2)
【詳解】（1）因?yàn)槭恰袿的直徑，所以，
因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?br>又因?yàn)槠矫鍭CD，，
所以平面
（2）因?yàn)椋?，?br>所以，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，

則，，，．
顯然，是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則
令，則，
所以，
設(shè)二面角所成角為，，
則，
所以二面角的正弦值為
22．（12分）如圖，經(jīng)過點(diǎn)，且中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若橢圓的弦所在直線交軸于點(diǎn)，且.求證：直線的斜率為定值.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，即，，將點(diǎn)，代入即可求得和的值，求得橢圓的方程；
（2）聯(lián)立直線的方程與橢圓方程,可得坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式即可求解.
【詳解】（1）由題意可知：焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
由橢圓的離心率，即，
，
將代入橢圓方程：，解得：，
，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）由題意可知：直線有斜率，且，設(shè)直線方程為，，，，，
，
整理得：，
，故
由韋達(dá)定理可知：，
由得：,
故直線方程為
，因此
所以
因此 ，為定值.