【期中真題】湖北省武漢市常青聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題.zip-試卷下載-教習網(wǎng)

武漢市常青聯(lián)合體2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 點關(guān)于y軸的對稱點的坐標為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間直角坐標系關(guān)于坐標軸對稱點的坐標意義求解作答.【詳解】點關(guān)于y軸的對稱點的坐標.故選：C2. 2022年7月24日，搭載問天實驗艙的長征五號B遙三運載火箭，在我國文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射，我國的航天事業(yè)又上了一個新的臺階．某市長虹中學(xué)現(xiàn)有高一學(xué)生440人，高二學(xué)生400人，高三學(xué)生420人，為了調(diào)查該校學(xué)生對我國航天事業(yè)的了解程度，現(xiàn)從三個年級中采用分層抽樣的方式抽取63人填寫調(diào)查問卷，則高二年級被抽中的人數(shù)為（）A. 20 B. 21 C. 22 D. 23【答案】A【解析】【分析】求出三個年級學(xué)生人數(shù)的比例，從而求出高二年級被抽中的人數(shù).【詳解】高一，高二，高三三個年級學(xué)生人數(shù)的比例為，所以高二年級被抽中的人數(shù)為，故選：A3. “知名雪糕放1小時不化”事件曝光后，某市市場監(jiān)管局從所管轄十五中、十七中、常青一中三校周邊超市在售的28種雪糕中抽取了18種雪糕，對其質(zhì)量進行了檢查．在這個問題中，18是（）A. 總體 B. 個體 C. 樣本 D. 樣本量【答案】D【解析】【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查中總體、個體、樣本、樣本容量的概念，即可判斷.【詳解】總體：我們把與所研究問題有關(guān)的全體對象稱為總體；個體：把組成總體的每個對象稱為個體；樣本：從總體中，抽取的一部分個體組成了一個樣本；樣本量：樣本中個體的個數(shù)叫樣本容量，其不帶單位；在售的28種雪糕中抽取了18種雪糕，對其質(zhì)量進行了檢查，在這個問題中，28種雪糕是總體，每一種雪糕是個體，18種雪糕是樣本，18是樣本量；故選：D.4. 在一次拋硬幣的試驗中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）A. 0.55，0.55 B. 0.55，0.5 C. 0.5，0.5 D. 0.5，0.55【答案】B【解析】【分析】根據(jù)頻率的計算公式可求得頻率，結(jié)合概率的含義可確定概率，即得答案.【詳解】某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為 ,由于每次拋硬幣時，正面朝上和反面朝上的機會相等，都是,故出現(xiàn)正面朝上的概率為 ,故選︰B．5. 甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.7，則兩人都脫靶的概率為（）A. 0.56 B. 0.5 C. 0.38 D. 0.06【答案】D【解析】【分析】先求出甲乙兩名運動員都沒有中靶的概率，進而可得兩人都脫靶的概率．【詳解】甲乙兩名運動員都沒有中靶的概率為：.故選：D．6. 關(guān)山中學(xué)為了調(diào)查該校學(xué)生對于新冠肺炎疫情防控的了解情況，組織了一次新冠肺炎疫情防控知識競賽，并從該學(xué)校1200名參賽學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生，并統(tǒng)計了這100名學(xué)生成績情況（滿分100分，其中90分及以上為優(yōu)秀），得到了樣本頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖推測，這1200名學(xué)生中競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約為（）A. 8 B. 28 C. 96 D. 336【答案】C【解析】【分析】從頻率分布直方圖可求出優(yōu)秀的學(xué)生所占比例，從而求出1200名學(xué)生中競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù).【詳解】從頻率分布直方圖可求出優(yōu)秀的學(xué)生所占比例為，故這1200名學(xué)生中競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約有，故選：C7. 如圖，在四面體中，且，用表示，則等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理，用表示出.【詳解】因為，所以，，故故選：C8. 在人教社數(shù)學(xué)A版必修一的主編寄語中，“學(xué)數(shù)學(xué)趁年輕”這句話打動了江夏實驗高中學(xué)子的心，若將這6個字任意排列，恰好組成“趁年輕學(xué)數(shù)學(xué)”的概率為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】將“學(xué)數(shù)學(xué)趁年輕”中6個字排列時相當于從6個位置中選4個先排“數(shù)趁年輕”這四個字，由此求出共有多少種排法，符合要求的只有一種，根據(jù)古典概型的概率計算可得答案.【詳解】將“學(xué)數(shù)學(xué)趁年輕”中6個字排列時相當于從6個位置中選4個先排“數(shù)趁年輕”這四個字，然后剩余的2個位置排“學(xué)”字，兩個“學(xué)”字排法只有一種，則共有種排法，其中恰好組成“趁年輕學(xué)數(shù)學(xué)”的排法只有一種，故恰好組成“趁年輕學(xué)數(shù)學(xué)”的概率為，故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9. 已知空間中三點，，，則下列結(jié)論正確的有（）A. 與共線且同向的單位向量是B. C. 與夾角的余弦值是D. 平面的一個法向量是【答案】ABC【解析】【分析】首先求出，根據(jù)求出與共線且同向的單位向量；驗證，可判斷B項正誤；計算，可判斷C項；求出平面的一個法向量，即可判斷D項正誤.【詳解】由已知得，，，.與共線且同向的單位向量是，A項正確；，所以，B項正確；與夾角的余弦值是，C項正確；設(shè)平面的一個法向量是，則，即，取，則是平面的一個法向量.設(shè)，顯然與不共線，所以D項錯誤.故選：ABC.10. 設(shè)為兩個互斥的事件，且，則下列各式正確的是（）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的含義可知，判斷;根據(jù)題意可知，從而，判斷C;根據(jù)互斥事件的概率加法公式可判斷D.【詳解】∵為兩個互斥事件，,∴，即，故A正確，B選項錯誤，∵ 為兩個互斥事件,則，∴ 故C選項正確，∵為兩個互斥事件，∴，故D選項正確．故選∶．11. 北京時間2022年9月30日，女籃世界杯半決賽，中國隊61：59澳大利亞隊，時隔28年再次在半決賽中戰(zhàn)勝澳大利亞隊挺進決賽．中國隊在10名上場球員中，3人得分上雙．韓旭拿下全場最高的19分，10投8中，得到11個籃板和5次蓋帽；隊長楊力維得到18分，送出4次助攻；王思雨得到14分．根據(jù)以上信息判斷，下列說法中正確的是（）A. 中國隊上場的10名球員存在都有得分的可能B. 中國隊上場的10名球員得分的極差不可能為17分C. 中國隊上場的10名球員得分的中位數(shù)一定小于其平均數(shù)D. 3不可能是中國隊上場的10名球員得分的眾數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)已知條件，逐項推理，即可得到選項.【詳解】61-（19+18+14）=10，中國隊除3人外，剩余7人得到10分，存在10名球員存在都有得分的可能，A項正確；中國隊除3人外，剩余7人得到10分，若極差為17，則剩余7人最低得分為2分或最高得分為31分，這兩種情況都不存在，即上場的10名球員得分的極差不可能為17分，B項正確；中國隊上場的10名球員得分的平均數(shù)為，按照分數(shù)從小到大排序，則8到10位分數(shù)一定是14、18、19，要使中位數(shù)大于或等于平均數(shù)，則5、6位兩隊員得分之和應(yīng)不小于13分，這與7人得到10分不符，顯然不可能，故C項正確；根據(jù)已知條件，上場的10名球員得分情況可能為：0，0，1，1，2，3，3，14，18，19.即3可能是中國隊上場的10名球員得分的眾數(shù).D項錯誤.故選：ABC.12. 如圖，正方體中，，點P在側(cè)面及其邊界上運動，并且總是保持，則以下四個結(jié)論正確的是（）A. B. 點P必在線段上C ∥平面D. 直線與側(cè)面所成角的正切值的范圍為【答案】BC【解析】【分析】對于A，，對于B,C,D，如圖以為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用空間向量判即可.【詳解】對于A，因為點在平面，平面∥平面，所以點到平面即為到平面的距離，即為正方體棱長，所以，A錯誤；對于B，以為坐標原點可建立如下圖所示的空間直角坐標系：則，且，，所以,因為，所以，所以，即，所以,所以，即三點共線，所以點必線段上，B正確；對于C，因為,所以,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以，所以，所以∥平面，C正確，對于D，因為,，如圖，平面的法向量為，設(shè)與平面夾角為，根據(jù)線面角的定義，必為銳角，其正弦值為：，由于，故，得，所以，，故，故D錯誤；故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 在5張彩票中有3張有獎，甲乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎的概率為______________．【答案】##0.6【解析】【分析】等于古典概型求概率公式進行求解.【詳解】在5張彩票中有3張有獎，甲乙兩人先后從中各任取一張，在不知道甲是否中獎的前提下，兩人中獎的概率相等，都為.故答案為：14. 設(shè)是空間的一個單位正交基底，且向量，若，則用基底表示向量______________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，從而根據(jù)列出方程組，求出，求出答案.【詳解】設(shè)，則，故，解得：，故故答案為：15. 已知一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)和方差均為4，則的方差為______________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)，的平均數(shù)和方差均為4，得到，，從而求出的平均數(shù)和方差.【詳解】由題意得：，解得：，，且，解得：，故的平均數(shù)為，故方差為.故答案為：116. 如圖1，是平行四邊形，，如圖2，把平行四邊形沿對角線折起，則三棱錐體積的最大值為______________．若與成角，則的長為______________．【答案】 ①. ②. 或【解析】【分析】對于①，當平面時，三棱錐體積的最大，故利用三棱錐的體積公式，即可計算求解；對于②，利用，進而得出，計算求解即可.【詳解】由已知得，對于三棱錐，當平面時，三棱錐體積的最大，由，是平行四邊形，可得，，故；，又因為與成角，故或，且，，，故或，則或故答案為：①；②或；四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 從至的個整數(shù)中隨機取個不同的數(shù)．（1）寫出所有不同的取法；（2）求取出的個數(shù)互質(zhì)的概率．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）直接列出所以不同的取法.（2）先列出兩數(shù)互質(zhì)的取法，運用古典概型公式求概率.【小問1詳解】從至的個整數(shù)中隨機取個不同的數(shù)，共有以下種不同的取法，,,,,.小問2詳解】兩數(shù)互質(zhì)的取法有：，共11種，故所求概率．18. 2022年10月10日，成都世乒賽男團決賽，中國隊直落3盤戰(zhàn)勝德國隊，實現(xiàn)男團十連冠．比賽期間，某高校選派5名志愿者，其中包括2名翻譯，1名引導(dǎo)和2名禮儀．若采用抽簽的方式，從這5名志愿者中隨機選取2人去完成某項工作．（1）求選中1名翻譯和1名引導(dǎo)的概率；（2）求至少選中1名禮儀的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分別設(shè)出2名翻譯，1名引導(dǎo)和2名禮儀，列出從這5名志愿者中隨機選取2人所有的基本事件，然后找出“選中1名翻譯和1名引導(dǎo)”事件包含的基本事件，根據(jù)古典概型即可求得概率；（2）找出“至少選中1名禮儀”事件包含的基本事件，根據(jù)古典概型即可求得概率.【小問1詳解】記“2名翻譯”為，“1名引導(dǎo)”為，“2名禮儀”為.從這5名志愿者中隨機選取2人，所有情況有：，，，，，，，，，共10個基本事件.設(shè)“選中1翻譯和1名引導(dǎo)”為事件A，則事件A包含的基本事件共2種，分別為，，∴，即選中1名翻譯和1名引導(dǎo)的概率為；【小問2詳解】設(shè)“至少選中1名禮儀”為事件B，事件B包含的基本事件共7種，分別為：，，，，，，，∴，即至少選中1名禮儀的概率為．19. 某校100名高二學(xué)生黨史競賽成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：，，，，．（1）求圖中a的值；（2）求這100名學(xué)生黨史競賽成績的第80百分位數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生黨史競賽成績的平均分．【答案】（1）；（2）82.5；（3）73.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，小矩形面積之和為1可求解；（2）第80百分位數(shù)指的是頻率累計到0.8的點，根據(jù)已知，即可求出；（3）根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)，即每小組的中點值乘以頻率加起來即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得：，解得．【小問2詳解】成績落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，故第80百分位數(shù)落在，設(shè)為m，由，得，故第80百分位數(shù)為82.5．【小問3詳解】由頻率分布直方圖可得平均分為：.20. （1）如圖，在三棱錐中，．求證：．（2）平行六面體中，，，，，，，求對角線的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）選擇為基底，用向量表示出已知條件，整理即可得到，即；（2）選擇為基底，根據(jù)平行六面體對角線的幾何意義，可得.然后可求出，開方即可得到對角線的長．【詳解】（1）證明：選擇為基底.∵，∴，∴同理由，得∴，∴∴（2）平行六面體中，，選擇為基底，則∵，，，∴∴則對角線的長為．·21. 如圖，在長方體中，，E為線段的中點，F為線段的中點．（1）求點到直線的距離；（2）求直線到直線的距離；（3）求點到平面的距離．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，利用空間點到直線距離公式進行計算；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，得到，從而利用空間點到直線距離公式求出直線到直線的距離；（3）求出平面的法向量，利用點到平面的距離公式求出答案.【小問1詳解】建立如圖所示以為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，則，，，設(shè)點到直線的距離為，∴則點到直線的距離為．【小問2詳解】，故，設(shè)直線到直線的距離為，則即為F到直線的距離；∴則直線到直線的距離為．【小問3詳解】設(shè)平面的法向量為，由，令，則，所以設(shè)點到平面的距離為，∴，則點到平面的距離為．22. 如圖，在三棱錐中，平面，M為棱上的動點．（1）若M為棱上的中點，求證：∥平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析. （2）. （3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點的坐標，求得平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.（3）根據(jù)與所成角的余弦值確定點M的位置,可得，結(jié)合（2）的結(jié)論即可求得答案.【小問1詳解】∵分別為棱上的中點，連接，∴，又平面，平面，∴平面【小問2詳解】∵，∴，又平面故建立如圖所示以為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，則，由于，故，，設(shè)平面的法向量為，由得，令，則，∴，故直線與面所成角的正弦值為．【小問3詳解】由（2）知,設(shè),∴，∴,∴，解得（舍）或，即，即，由（2）得平面的法向量為，又平面的法向量為，故由（2）可知，由圖可知二面角為鈍角，故所求二面角的余弦值為．

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