2022-2023學(xué)年湖北省武漢市常青聯(lián)合體高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題命題學(xué)校：武漢市常青第一中學(xué)  考試時(shí)間：2023年4月20日 試卷滿(mǎn)分：150分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（        ）A．     B．     C．    D．2．若虛數(shù)z使得是實(shí)數(shù)，則z滿(mǎn)足（        ）A．實(shí)部是   B．實(shí)部是    C．虛部是0    D．虛部是3．古希臘的數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus，約前417-前369）通過(guò)圖來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)，，，…，記，，則（        ）A．   B．   C．   D．4．已知函數(shù)，則（        ）A．最小正周期為π，最大值為3    B．最小正周期為2π，最大值為3C．最小正周期為π，最大值為4    D．最小正周期為2π，最大值為45．在△ABC中，AD為BC邊上的中線(xiàn)，，若，則（        ）A．     B．1     C．0     D．6．在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊為a，b，c，且，則△ABC的形狀為（        ）A．等邊三角形   B．直角三角形   C．等腰三角形   D．等腰直角三角形7．若函數(shù)在區(qū)間上恰有唯一對(duì)稱(chēng)軸，則ω的取值范圍為（        ）A．    B．    C．    D．8．《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形--八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFGH邊上的一點(diǎn)，則的最大值是（        ）A．    B．    C．    D．二、多選題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（        ）A．    B．z的虛部為－1   C．為純虛數(shù)   D．10．已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（        ）A．若，則       B．C．存在，使得      D．當(dāng)時(shí)，在上的投影向量的坐標(biāo)為11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法正確的是（        ）A．若，則B．若△ABC是銳角三角形，恒成立C．若，，，則符合條件的△ABC只有一個(gè)D．若△ABC為非直角三角形，則12．在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù)：定義為角θ的正矢，記作；定義為角θ的余矢，記作．則下列結(jié)論正確的是（        ）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增；B．若，則C．若，則的最小值為0；D．若，則的最小值為．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．若，其中a、b都是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則              ．14．已知，若記，則              ．15．銳角α滿(mǎn)足，則              ．16．筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（圖1）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)如圖2，將筒車(chē)抽象為一個(gè)半徑為R的圓，設(shè)筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎啃D(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，當(dāng)時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)t秒后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)滿(mǎn)足（，，），則當(dāng)筒車(chē)旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為              ．四、解答題：（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其余每題12分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17．已知，，且．（1）求和的值；（2）求與的夾角的余弦值．18．已知函數(shù)的部分圖象，如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．19．某自然保護(hù)區(qū)為研究動(dòng)物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個(gè)相距12km的觀(guān)測(cè)站A和B，觀(guān)測(cè)人員分別在A，B處觀(guān)測(cè)該動(dòng)物種群．如圖，某一時(shí)刻，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)C處，觀(guān)測(cè)人員從兩個(gè)觀(guān)測(cè)站分別測(cè)得，，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)D處，觀(guān)測(cè)人員從兩個(gè)觀(guān)測(cè)站分別測(cè)得，．（注：點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）（1）求△ABD的面積；（2）求點(diǎn)C，D之間的距離．20．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為．（1）求；（2）若，，求△ABC的周長(zhǎng)．21．在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線(xiàn)AM，BN相交于點(diǎn)P．（1）求；（2）求∠MPN的余弦值．22．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱(chēng)向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱(chēng)函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．記向量的相伴函數(shù)為．（1）當(dāng)且時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．武漢市常青聯(lián)合體2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷答案題號(hào)123456789101112答案AABCDBDCCDABDADBCD13．；14．；15．；16．17．【答案】（1）∵，，由化簡(jiǎn)得，∴（2）記與的夾角為，18．【答案】（1）解：根據(jù)函數(shù)的部分圖象可得，所以．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，所以，．（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，可得的圖象，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．由，可得，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減∴，，，∴∴函數(shù)在的值域．19．【答案】（1）在△ABD中，，，所以．由正弦定理：，得，所以，，所以△ABD的面積為．（2）由，，得，且，∴．在△CD中由余弦定理，，所以．即點(diǎn)C，D之間的距離為．20．【答案】解：（1）由三角形的面積公式可得∴，由正弦定理可得，∵，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∵，∴∴，∵，∴，∴，∴，∴．21．【答案】解：（1）∵M為BC的中點(diǎn)，∴．∴∵，，∴，即（2）∵N為AC的中點(diǎn)，∴∵，，，，與，的夾角相等，則的余弦值為．22．【答案】（1）解：向量的相伴函數(shù)為，所以∵，∴．∵，∴，∴所以．（2）解：向量的相伴函數(shù)為當(dāng)時(shí)，，即，恒成立．所以①當(dāng)，即時(shí)，，所以，即，由于，所以的最小值為，所以；②當(dāng)，，不等式化為成立．③當(dāng)，時(shí)，，所以，即，由于，所以的最大值為，所以．綜上所述，k的取值范圍是  
 

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