2022~2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 若直線的傾斜角為，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由傾斜角與斜率的關(guān)系求解，【詳解】由題意得，則，故選：A2. 兩平行直線與之間的距離為（    ）A.  B.  C. 5 D. 【答案】B【解析】【分析】由兩平行直線間的距離公式可得答案.【詳解】兩平行直線與之間的距離．故選：B3. 下列關(guān)于空間向量的說法中錯(cuò)誤的是（    ）A. 零向量與任意向量平行B. 任意兩個(gè)空間向量一定共面C. 零向量是任意向量的方向向量D. 方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量【答案】C【解析】【分析】根據(jù)個(gè)選項(xiàng)，可判斷選項(xiàng)A、B、D正確，選項(xiàng)C，零向量方向是無限，但是任意向量方向是確定的，故可作出判斷.【詳解】由已知，選項(xiàng)A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，平面由兩個(gè)不平行的向量確定，任意兩個(gè)向量可通過平移形成相交，故一定可以確定一個(gè)平面，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量，該選項(xiàng)正確.故選：C.4. 過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（    ）A. 3 B.  C.  D. 【答案】A【解析】分析】由題意可知，先求出，從而可求得結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，因?yàn)?/span>，所以.故選：A.5. 圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線，如圖2，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號(hào)處理中心F位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，則該拋物線的方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)出拋物線的方程，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得正確答案.【詳解】設(shè)拋物線方程為，依題意，代入得，所以拋物線方程為.故選：A6. 圓與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 不確定【答案】C【解析】【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系即可得答案.【詳解】解：因?yàn)閳A變形為所以，圓的圓心為，半徑為，圓變形為圓，所以，圓的圓心為，半徑為，因，所以，圓與圓相交，其公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：C7. 如圖，四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，且為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先證明出，.以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.用向量法求解.【詳解】由題意：,所以，所以.同理：.所以可以以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,.所以，.設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：A8. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若，則（    ）A.  B. 4 C.  D. 6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合焦半徑公式得，再計(jì)算即可.【詳解】解：由題知拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，由焦半徑公式得，解得，所以，，.故選：A9. 臺(tái)風(fēng)中心從地以的速度向西北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市在地正西方向的處，則城市處于危險(xiǎn)地區(qū)內(nèi)的時(shí)長為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】作出平面圖形后，可求得到的距離，結(jié)合勾股定理可求得的長度，由此可得所求時(shí)長.【詳解】以為圓心，為半徑作圓，與運(yùn)動(dòng)方向交于兩點(diǎn)，由題意知：，，，作，垂足為，則為中點(diǎn)，，，，城市處于危險(xiǎn)地區(qū)內(nèi)的時(shí)長為.故選：D.10. 已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，M是橢圓C上任意一點(diǎn)，Q是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（    ）A. -4 B. -3 C. -2 D. -1【答案】C【解析】【分析】結(jié)合橢圓的定義以及圓的幾何性質(zhì)求得的最小值.【詳解】依題意可知，對(duì)于橢圓，，對(duì)于圓，圓心為，半徑，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義有，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與圓交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以，其中，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且是線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以，此時(shí)四點(diǎn)共線，且分別是線段與圓、橢圓的交點(diǎn).故選：C11. 如圖，平行六面體的體積為，，，底面邊長均為4，且，M，N，P分別為AB，，的中點(diǎn)，則（    ）A  B. 平面BDNC.  D. 平面MNC【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得在底面的射影，由此建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】先證明在底面上的射影在上：過作平面，垂足為，過作，垂足為；過作，垂足為.連接.由于平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以.同理可證得.由于，所以，所以，由于，所以，所以，所以是的角平分線，由于四邊形是菱形，所以點(diǎn)在上，也即在底面上的射影在上.依題意，由于，所以，所以是的中點(diǎn)，也即，如下圖所示，則平面，由于平面，所以，由于，所以兩兩相互垂直，由此建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，，所以，，,A選項(xiàng)，由于不存在實(shí)數(shù)，使，所以不平行，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，所以與不垂直，所以與平面不垂直.C選項(xiàng)，，所以與不垂直，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以，，因?yàn)?/span>平面，所以平面，D選項(xiàng)正確.故選：D12. 已知正四面體的棱長為6，P是四面體外接球的球面上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得該正四面體的外接球的半徑，進(jìn)而得，再根據(jù)求解即可.【詳解】如圖，設(shè)分別為正四面體棱中點(diǎn)，作平面，垂足為，所以，由正四面體的性質(zhì)知三點(diǎn)共線，且，且其外接球的球心在上，記為，因?yàn)檎拿骟w的棱長為6，所以，，設(shè)四面體外接球的半徑為，即，所以，，即，解得，所以，，因?yàn)?/span>P是四面體外接球的球面上任意一點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，所以故選：B 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何的外接球問題，通常處理方法為，找到球心在某個(gè)特殊平面上的投影，進(jìn)而找到球心的位置，設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)半徑相等列出方程，求出半徑，從而求出表面積或體積.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知雙曲線，則的漸近線方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程求解即可.【詳解】解：由題知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，所以，的漸近線方程為.故答案為：14. 已知空間向量，，，且，，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量平行列方程，求得，進(jìn)而求得.【詳解】，由于，且，所以，則，所以，則，所以.故答案為：15. 若空間中有三點(diǎn)，則到直線的距離為___________；點(diǎn)到平面的距離為___________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】利用空間向量的夾角去求到直線的距離；利用公式去求到平面的距離【詳解】由可得則，又，則則到直線的距離為設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，即，令，則，又則點(diǎn)到平面的距離為故答案為：；16. 設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，若，且，則橢圓C的離心率為______．【答案】【解析】【分析】先判斷，然后利用勾股定理列方程，化簡(jiǎn)求得橢圓的離心率.【詳解】由兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以.設(shè)，則，所以，，.故答案為：三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且均不為0．（1）求直線的一般式方程；（2）若直線與直線平行，求m的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由題意設(shè)直線方程的截距式方程，將點(diǎn)代入計(jì)算即可；（2）由（1）知直線的斜率存在且不為0，所以利用兩直線平行的性質(zhì)求解出參數(shù)，注意討論即可.【小問1詳解】由題意設(shè)直線方程為：將點(diǎn)代入得：所以直線方程：所以直線l的一般式方程為：【小問2詳解】由（1）知直線l的斜率存在且不為0,所以若直線與直線平行則所以或當(dāng)時(shí)，直線滿足題意當(dāng)時(shí)，直線與直線重合不滿足題意所以18. 在長方體中，底面是邊長為2的正方形，分別是的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；    （2）.【解析】【分析】以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.（1）利用向量法證明平面；（2）利用向量法求與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】由題意可知，以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，.因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn)，所以,.所以 在長方體中，為平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?/span>，且平面，所以平面.【小問2詳解】,.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，不妨設(shè)，則.設(shè)與平面所成角為，則.即與平面所成角的正弦值為.19. 已知是雙曲線上的兩點(diǎn)．（1）若是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線經(jīng)過的右焦點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若線段的中點(diǎn)為，求直線的方程．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）討論斜率是否存在，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程，然后根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦問題即可.【小問1詳解】由題知：雙曲線焦點(diǎn)在 軸上， ，所以右焦點(diǎn)為 ，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為 ，此時(shí)設(shè) ， ,,不滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為 ，，聯(lián)立方程，消去 得： ，所以 ，因?yàn)?/span> ，所以 解得 ，所以直線的方程為；【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>在雙曲線上，所以，化簡(jiǎn)得：，所以，所以因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，所以所以，即 ，所以直線的方程為，即20. 已知圓的圓心坐標(biāo)為，，且圓與軸相切，并與圓外切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】（1）    （2）直線方程為：或，見詳解【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)圓方程找出半徑，圓心，由圓與軸相切，并與圓外切，聯(lián)立方程組解出即可的方程（2）分直線斜率存在不存在的情況討論，利用圓與直線的位置關(guān)系求解即可.【小問1詳解】由圓，知標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心為，半徑為3設(shè)圓的半徑為，且圓與軸相切所以                    ①又圓與圓外切所以       ②聯(lián)立解的所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為：此時(shí)代入中解的：所以滿足題意所以直線方程為：②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，又經(jīng)過點(diǎn)則直線方程為：即由圓的圓心到直線的距離為由直線與圓交兩點(diǎn)，且，圓的半徑為所以即解得：所以直線方程為：21. 已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的弦長為6.（1）求橢圓的方程；（2）為第一象限內(nèi)橢圓上一點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)，記和的面積分別為，若，求的坐標(biāo).【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)利用離心率和弦長公式即可聯(lián)立求解；(2)利用的坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)面積公式即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】因?yàn)殡x心率為,所以，即，又因?yàn)?/span>，所以，聯(lián)立，解得，所以過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的弦長為，所以由 解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè) 由（1）可知，,因?yàn)?/span>共線，所以,即，解得，又因?yàn)?/span>共線，所以,即，解得，所以，，所以，整理得，解得或（舍），將代入橢圓方程得或（舍），所以的坐標(biāo)為.22. 如圖，菱形的邊長為2，，E為AB的中點(diǎn).將沿DE折起，使A到達(dá)，連接，，得到四棱錐.（1）證明：；（2）當(dāng)二面角在內(nèi)變化時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直即可得線線垂直，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量與方向向量的夾角求解線面角，結(jié)合基本不等式即可求解最值.【小問1詳解】在菱形中，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，，所以，在翻折過程中，恒有，，又，平面，所以平面，而平面，所以.【小問2詳解】由（1）知為二面角的平面角，記其為，則，以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，的方向?yàn)?/span>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，， ,設(shè)平面的法向量，則，得 令，得，，則.令，，得.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.設(shè)直線與平面所成角為 ，則 故直線與平面所成角的正弦值的最大值為. 
 

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