河南省十所名校2022—2023學(xué)年高三年級(jí)上學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合和集合的含義求交集.【詳解】聯(lián)立，解得，或，所以.故選：C.2. 若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)舉例說(shuō)明判斷AC；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷B；結(jié)合分式的意義判斷D.【詳解】A：不妨取，，，則，故A錯(cuò)；B：由得，又，所以，故B正確；C：當(dāng)時(shí)，，，故C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，故D錯(cuò)誤.故選：B.3. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（    ）A. 2 B.  C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求解，【詳解】由題意得，故選：B4. 已知為第三象限角，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式求解即可.【詳解】，∵為第三象限角，∴.故選：A.5. 已知數(shù)列是的無(wú)窮等比數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“且，”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：若為遞增的等比數(shù)列，顯然后面的項(xiàng)都比大，即且，，充分性成立；反過(guò)來(lái)，若且，，即（為公比），因?yàn)?/span>，所以，所以，從而可得為遞增數(shù)列，必要性成立，所以“為遞增數(shù)列”是“且，”的充分必要條件.故選：C.6. 已知非零向量的夾角正切值為，且，則（    ）A. 2 B.  C.  D. 1【答案】D【解析】【分析】先求出非零向量的夾角余弦值，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義處理，即可得到答案.【詳解】解析 設(shè)，的夾角為，由得.因?yàn)?/span>，所以，得，解得或（舍去）.故選：D.7. 已知的角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的面積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求出，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后根據(jù)面積公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?/span>，令，，，由余弦定理可得，所以，所以.故選：B8. 已知函數(shù)，不等式的解集為，則不等式的解集為（    ）A. 或 B. C.  D. 或【答案】A【解析】【分析】確定，為方程兩根，利用韋達(dá)定理求出值，則得到原不等式，解出即可.【詳解】依題知的根為，，則兩根之和為3，兩根之積為，∴即∴可化為，即，解得，或，∴不等式的解集為或.故選：A.9. 若，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】對(duì)等式，取10為底的對(duì)數(shù)，得，則得到的值，再利用化簡(jiǎn)得到的值，即可得到答案.【詳解】，∴，又，∴，，∴，即.故選：A.10. 已知函數(shù)的最小正周期為，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由周期性得，再由對(duì)稱(chēng)性與單調(diào)性判斷，【詳解】因?yàn)?/span>最小正周期為，所以，令得，即在上單調(diào)遞增，同理得在上單調(diào)遞減，而，，，由三角函數(shù)性質(zhì)得故選：D11. 對(duì)任意實(shí)數(shù)，定義為不大于的最大整數(shù)，如，，.已知函數(shù)，則方程在上的實(shí)根個(gè)數(shù)為（    ）A. 290 B. 292 C. 294 D. 296【答案】C【解析】【分析】依題意得到的解析式，即可得到的解析式，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，則，令，解得，畫(huà)出與的圖象如下所示：由圖可知與在每個(gè)區(qū)間（且）內(nèi)均有個(gè)交點(diǎn)，所以交點(diǎn)總數(shù)為，所以方程在上的實(shí)根個(gè)數(shù)為.故選：C12. 已知點(diǎn)在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作一條直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】求的最小值就是求的最小值，首先求出上的且斜率為的切線(xiàn)方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解.【詳解】如下圖所示，，當(dāng)斜率為的直線(xiàn)與的圖像相切時(shí)，為切點(diǎn)，此時(shí)的值最小.設(shè)，，則有，解得，代入函數(shù)，求得，即，則的最小值即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，則.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 在等比數(shù)列中，，，則________.【答案】32【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到，然后求即可.【詳解】設(shè)的公比為，則，.故答案為：32.14. 在平行四邊形中，，，，且，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)得到，再利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?/span>，又，，三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，又，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)；故答案為：15. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，，且在內(nèi)恒成立（為的導(dǎo)函數(shù)），若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)和得到，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)在內(nèi)恒成立，得到在上單調(diào)遞增，根據(jù)和的對(duì)稱(chēng)性和周期性得到的周期性和對(duì)稱(chēng)性，再結(jié)合在上單調(diào)遞增，得到，將不等式整理為，在結(jié)合即可得到的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>， 為奇函數(shù)，所以，， 令，則，又在內(nèi)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，所以是的一個(gè)周期，因?yàn)?/span>，所以是的一條對(duì)稱(chēng)軸，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，可整理為，所以.故答案為：.16. 設(shè)，其中，，，成公差為d的等差數(shù)列，，，成公比為3的等比數(shù)列，則d的最小值為______.【答案】【解析】【分析】由已知利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)可知，進(jìn)而得解.【詳解】，設(shè)，則又，，，成公差為d的等差數(shù)列，，，成公比為3的等比數(shù)列，即，可得，只需即可，所以.當(dāng)m取最小值時(shí)，由不等式組得，故d的最小值為.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17. 在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊均與軸正半軸重合，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的值；（2）若角的終邊為（銳角）的平分線(xiàn)，求的值.【答案】（1）2    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，再根據(jù)差的正切公式即可求出；（2）由題可得，先求出，再根據(jù)二倍角公式即可求出.【小問(wèn)1詳解】依題知，，∴.【小問(wèn)2詳解】由條件得，，，，∵角的終邊是（銳角）的平分線(xiàn)，∴，∴，∴.18. 已知數(shù)列各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)的乘積.（1）若為常數(shù)列，求這個(gè)常數(shù)；（2）若，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）2    （2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)代入，利用常數(shù)列即可求出常數(shù)值；（2）由得出，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得出的通項(xiàng)，即可求出的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)1詳解】已知，當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?/span>為常數(shù)列，所以故這個(gè)常數(shù)為2.【小問(wèn)2詳解】已知，所以當(dāng)時(shí)，，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，，因此的首項(xiàng)為1，且從第二項(xiàng)開(kāi)始，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.19. 如圖所示，在平面四邊形中，，，，，. （1）求的值；（2）求.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，，利用余弦定理得到，然后利用正弦定理得到，最后利用同角三角函數(shù)基本公式求即可；（2）利用誘導(dǎo)公式得到，然后利用余弦定理解三角形即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，則，所以，利用正弦定理得，解得，又，所以，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?/span>，所以，根據(jù)余弦定理得，解得.20. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，得到是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可證明；（2）由（1）中的結(jié)論可得，然后根據(jù)錯(cuò)位相減法即可得到.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，由得，∴，又∵，∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，∴，∵，∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列【小問(wèn)2詳解】由（1）知，∴∵，∴∴，∴.21. 已知函數(shù)的最小值為1.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線(xiàn)：與曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）2    （2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，若則不符合題意；若，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而得出關(guān)于a的方程，解之即可；(2)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】若，易知單調(diào)遞增，沒(méi)有最小值，不符合題意；若，，令，得，在上，，在上，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得；【小問(wèn)2詳解】直線(xiàn)：與曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，①當(dāng)時(shí)，該方程可化為，在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解；②當(dāng)時(shí)，該方程化為，令，則，由，得，在上，，在上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的值域?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，解得，綜合①②，可知的取值范圍是.22. 已知函數(shù).（1）討論單調(diào)性；（2）若存在，且，使得，求證：.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.    （2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可；（2）由（1）得，設(shè)，，利用導(dǎo)函數(shù)可得，從而可得；設(shè)，，利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義可得，從而可得，兩式聯(lián)立即可求解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，令，得或，在上，，在上，，在上，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，設(shè)，，  則，因?yàn)?/span>，所以，在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，，即.因?yàn)?/span>，所以，所以，因在上單調(diào)遞增，且，，所以，即.①設(shè)，，則.因?yàn)?/span>，所以，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?/span>，所以，所以.因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且，，所以，即.②由①得，由②得，所以.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.

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