河南省十所名校2022-2023學(xué)年高三理科數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試試題（Word版附解析）

這是一份河南省十所名校2022-2023學(xué)年高三理科數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試試題（Word版附解析），共3頁。試卷主要包含了 已知為第三象限角，且，則， 若，且，則， 已知函數(shù)的最小正周期為，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合和集合的含義求交集.
【詳解】聯(lián)立，解得，或，所以.
故選：C.
2. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)舉例說明判斷AC；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷B；結(jié)合分式的意義判斷D.
【詳解】A：不妨取，，，則，故A錯；
B：由得，又，所以，故B正確；
C：當(dāng)時，，，故C錯誤；
D：當(dāng)時，沒有意義，故D錯誤.
故選：B.
3. 已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求解，
【詳解】由題意得，
故選：B
4. 已知為第三象限角，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦的二倍角公式求解即可.
【詳解】，∵為第三象限角，∴.
故選：A.
5. 已知數(shù)列是的無窮等比數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“且，”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.
【詳解】解：若為遞增的等比數(shù)列，顯然后面的項都比大，
即且，，充分性成立；
反過來，若且，，即（為公比），
因為，所以，所以，從而可得為遞增數(shù)列，必要性成立，
所以“為遞增數(shù)列”是“且，”的充分必要條件.
故選：C.
6. 已知非零向量的夾角正切值為，且，則（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先求出非零向量的夾角余弦值，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義處理
，即可得到答案.
【詳解】解析 設(shè)，的夾角為，由得.
因為，所以，
得，解得或（舍去）.
故選：D.
7. 已知的角，，的對邊分別為，，，且，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理求出，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后根據(jù)面積公式計算可得.
【詳解】解：因為，令，，，
由余弦定理可得，
所以，所以.
故選：B
8. 已知函數(shù)，不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A. 或B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】確定，為方程兩根，利用韋達(dá)定理求出值，則得到原不等式，解出即可.
【詳解】依題知的根為，，則兩根之和為3，兩根之積為，
∴即∴可化為，即，解得，或，∴不等式的解集為或.
故選：A.
9. 若，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】對等式，取10為底的對數(shù)，得，則得到的值，
再利用化簡得到的值，即可得到答案.
【詳解】，∴，
又，∴，，
∴，即.
故選：A.
10. 已知函數(shù)的最小正周期為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由周期性得，再由對稱性與單調(diào)性判斷，
【詳解】因為最小正周期為，所以，
令得，
即在上單調(diào)遞增，同理得在上單調(diào)遞減，
而，，，
由三角函數(shù)性質(zhì)得
故選：D
11. 對任意實(shí)數(shù)，定義為不大于的最大整數(shù)，如，，.已知函數(shù)，則方程在上的實(shí)根個數(shù)為（ ）
A. 290B. 292C. 294D. 296
【答案】C
【解析】
【分析】依題意得到的解析式，即可得到的解析式，令，則問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得解.
【詳解】解：設(shè)，當(dāng)時，當(dāng)時，
當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，
所以，
則，
令，解得，畫出與的圖象如下所示：
由圖可知與在每個區(qū)間（且）內(nèi)均有個交點(diǎn)，
所以交點(diǎn)總數(shù)為，所以方程在上的實(shí)根個數(shù)為.
故選：C
12. 已知點(diǎn)在曲線上運(yùn)動，過點(diǎn)作一條直線與曲線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求的最小值就是求的最小值，首先求出上的且斜率為的切線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
【詳解】如下圖所示，，當(dāng)斜率為的直線與的圖像相切時，為切點(diǎn)，此時的值最小.
設(shè)，，則有，解得，代入函數(shù)，求得，
即，則的最小值即點(diǎn)到直線的距離，則.
故選：C
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 在等比數(shù)列中，，，則________.
【答案】32
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到，然后求即可.
【詳解】設(shè)的公比為，則，.
故答案為：32.
14. 在平行四邊形中，，，，且，，三點(diǎn)共線，則的最小值為________.
【答案】
【解析】
【分析】依題意可得，根據(jù)三點(diǎn)共線得到，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】解：因為，又，，三點(diǎn)共線，
所以，
又，所以，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號；
故答案為：
15. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，，且在內(nèi)恒成立（為的導(dǎo)函數(shù)），若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)為奇函數(shù)和得到，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)在內(nèi)恒成立，得到在上單調(diào)遞增，根據(jù)和的對稱性和周期性得到的周期性和對稱性，再結(jié)合在上單調(diào)遞增，得到，將不等式整理為，在結(jié)合即可得到的取值范圍.
【詳解】因為， 為奇函數(shù)，所以，，
令，則，又在內(nèi)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
因為，所以是的一個周期，
因為，所以是的一條對稱軸，
又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，
可整理為，所以.
故答案為：.
16. 設(shè)，其中，，，成公差為d的等差數(shù)列，，，成公比為3的等比數(shù)列，則d的最小值為______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項可知，進(jìn)而得解.
【詳解】，設(shè)，則
又，，，成公差為d的等差數(shù)列，，，成公比為3的等比數(shù)列，
即，
可得，只需即可，所以.
當(dāng)m取最小值時，由不等式組得，故d的最小值為.
故答案為：
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊均與軸正半軸重合，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，角的終邊經(jīng)過點(diǎn).
（1）求的值；
（2）若角的終邊為（銳角）的平分線，求的值.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出，再根據(jù)差的正切公式即可求出；
（2）由題可得，先求出，再根據(jù)二倍角公式即可求出.
【小問1詳解】
依題知，，
∴.
【小問2詳解】
由條件得，，，，
∵角的終邊是（銳角）的平分線，∴，
∴，
∴.
18. 已知數(shù)列各項均不為0，其前項的乘積.
（1）若為常數(shù)列，求這個常數(shù)；
（2）若，設(shè)，求數(shù)列的通項公式.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時代入，利用常數(shù)列即可求出常數(shù)值；
（2）由得出，兩邊同時取對數(shù)可得出的通項，即可求出的通項公式.
【小問1詳解】
已知，當(dāng)時，有，
因為為常數(shù)列，所以
故這個常數(shù)為2.
【小問2詳解】
已知，
所以當(dāng)時，，
兩邊同時取對數(shù)，則，
當(dāng)時，，，
因此的首項為1，且從第二項開始，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以
所以數(shù)列的通項公式為.
19. 如圖所示，在平面四邊形中，，，，，.
（1）求的值；
（2）求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)，，利用余弦定理得到，然后利用正弦定理得到，最后利用同角三角函數(shù)基本公式求即可；
（2）利用誘導(dǎo)公式得到，然后利用余弦定理解三角形即可.
【小問1詳解】
設(shè)，，則，所以，
利用正弦定理得，解得，
又，所以，.
【小問2詳解】
因為，所以，
根據(jù)余弦定理得，解得.
20. 已知數(shù)列的前項和為，，.
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，得到是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可證明；
（2）由（1）中的結(jié)論可得，然后根據(jù)錯位相減法即可得到.
【小問1詳解】
當(dāng)時，,
當(dāng)時，由得，
∴，又∵，
∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴，
∴，
∵，
∴是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列
【小問2詳解】
由（1）知，∴
∵，
∴
∴
，
∴.
21. 已知函數(shù)的最小值為1.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若直線：與曲線沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意，若則不符合題意；若，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而得出關(guān)于a的方程，解之即可；
(2)將原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解，當(dāng)時符合題意，當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，即可求解.
【小問1詳解】
若，易知單調(diào)遞增，沒有最小值，不符合題意；
若，，
令，得，
在上，，在上，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
解得；
【小問2詳解】
直線：與曲線沒有公共點(diǎn)，
等價于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解，
即關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解，
①當(dāng)時，該方程可化為，在上沒有實(shí)數(shù)解；
②當(dāng)時，該方程化為，
令，則，
由，得，
在上，，在上，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，又當(dāng)時，，
故函數(shù)的值域為，所以當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)解，
解得，
綜合①②，可知的取值范圍是.
22. 已知函數(shù).
（1）討論單調(diào)性；
（2）若存在，且，使得，求證：.
【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可；
（2）由（1）得，設(shè)，，利用導(dǎo)函數(shù)可得，從而可得；設(shè)，，利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義可得，從而可得，兩式聯(lián)立即可求解.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，
，
令，得或，
在上，，在上，，在上，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
由（1）可知，
設(shè)，，
則，
因為，所以，在上單調(diào)遞增.
又，所以當(dāng)時，，即.
因為，所以，所以，
因在上單調(diào)遞增，且，，
所以，即.①
設(shè)，，
則.
因為，所以，在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時，，即，
因為，所以，所以.
因為在上單調(diào)遞增，且，，
所以，即.②
由①得，由②得，所以.
【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.