2022-2023學年湖南省長沙市長郡中學高一下學期期中數(shù)學試題-試卷下載-教習網(wǎng)

時量：120分鐘滿分：150分
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 設，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量共線定理得存在實數(shù)，使，代入條件列式計算即可.
【詳解】若向量與向量共線，
則存在實數(shù)，使，
，
，
解得.
故選：D.
2. 定義：若，則稱復數(shù)是復數(shù)的平方根.根據(jù)定義，復數(shù)的平方根為（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】設復數(shù)的平方根為，然后平方后根據(jù)復數(shù)相等即可得出結(jié)論.
【詳解】設復數(shù)的平方根為，則，
化簡，所以，，解得
，或，，即復數(shù)的平方根為或，
故選：C
3. 與向量垂直的單位向量為（）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用單位向量的定義及向量垂直的坐標表示計算即可.
【詳解】設該單位向量為，則，
解之得或，
故選：B
4. 若一個球的外切正方體的表面積等于6 cm2，則此球的體積為（）
A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3
【答案】A
【解析】
【分析】設球的半徑為R cm，正方體棱長為a cm，根據(jù)表面積和棱長的關系求出棱長，進而可得半徑，再用體積公式求球的體積即可.
【詳解】設球的半徑為R cm，正方體棱長為a cm，
∴6a2＝6，∴a＝1cm，即2R＝1，∴Rcm，
∴球的體積
故選：A.
5. 在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球半徑為（）
A. 3B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先求出△外接圓半徑，利用勾股定理求出三棱錐外接球半徑.
【詳解】由正弦定理得,△外接圓直徑為，得r=3.
設球心到平面距離為，則.
∴三棱錐的外接球半徑為.
故選：C
6. 下列命題正確的為（）
①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于P、Q，R，則P，Q，R三點共線；
②若三條直線a，b、c互相平行且分別交直線于A、B、C三點，則這四條直線共面；
③已知a，b，c為三條直線，若a，b異面，b，c異面，則a，c異面；
④已知a，b，c為三條直線，若，，則.
A. ①③B. ②③C. ②④D. ①②
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)基本事實3可判斷①的正誤，利用基本事實及3個推論可判斷②的正誤，根據(jù)可能的反例可判斷③④的正誤.
【詳解】對于①，設平面平面，因為，平面，
所以，同理，，故、、三點共線，①正確；
對于②，因為，所以，可以確定一個平面，
因為，，，，所以，所以，
又，所以.
同理，也可以確定一個平面，且，，
因為，故重合，故這四條直線共面，所以②正確；
對于③，直線、異面，、異面，則，可能平行、相交或異面，所以③錯誤；
對于④，，，則，可能平行、相交或異面，所以④錯誤.
故選：D.
7. 如圖，在中，已知，，，、邊上的兩條中線，相交于點，則的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，取為基底，利用向量數(shù)量積求出，再利用向量夾角公式求解作答.
【詳解】在中，令，，則，，
因為、邊上的兩條中線，相交于點，則，，
于是，
，
，
所以.
故選：A
8. 如圖，某人用長的繩索，施力，把重物沿著坡度為30°的斜面向上拖了，拖拉點在豎直方向距離斜面的高度為，則此人對該物體所做的功為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理得出，再根據(jù)求功公式計算即可.
【詳解】在中，由正弦定理，
，
∴.
故選：B
二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9. 已知為復數(shù)，是共軛復數(shù)，則下列命題一定正確的是（）
A. 若為純虛數(shù)，則B. 若，則
C. 若，則的最大值為2D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的運算，復數(shù)的定義，復數(shù)模的三角不等式及共軛復數(shù)的定義，計算求解后判斷即得．
【詳解】對于A，為純虛數(shù)，所以，即，所以A錯誤；
對于B，，
因為，所以，從而，所以正確；
對于C，由復數(shù)模的三角不等式可得，所以C正確；
對于D，，所以D正確.
故選：BCD．
10. 關于直線，與平面，，以下四個命題中真命題是
A. 若，且，則B. 若，且，則
C. 若，且，則D. 若，且，則
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理，對四個結(jié)論逐一進行分析，易得到答案．
【詳解】解：若，且，則，可能平行也可能異面，也可以相交，故A錯誤；
若，且，則，一定垂直，故B正確；
若，且，則，一定垂直，故C正確；
若，且，則，可能相交?平行也可能異面，故D錯誤
故選：BC．
【點睛】考查線線平行與垂直的判定，基礎題.
11. 一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論，其中正確的是（）
A. B. 與所成的角為60°
C. 與是異面直線D. 平面
【答案】ACD
【解析】
【分析】將平面圖形還原為立體圖形，，，A正確B錯誤，觀察知C正確，根據(jù)平面平面得到D正確，得到答案.
【詳解】如圖所示，將平面圖形還原為立體圖形，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：
，，故，A正確B錯誤；
與是異面直線，C正確；
平面平面，平面，平面，D正確.
故選：ACD
12. 已知兩個不相等的非零向量,，兩組向量,,,,和,,,,均由2個和3個排列而成.記，表示所有可能取值中的最小值.則下列命題中真命題為（）
A. 可能有5個不同的值
B. 若，則與無關
C. 若，則
D. 若，，則與的夾角為
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)的取值依據(jù)所含的個數(shù)有0個、有1個、有2個，可得,進而可判斷A，根據(jù)數(shù)量積的運算，結(jié)合選項即可判斷BCD.
【詳解】根據(jù)題意得的取值依據(jù)所含的個數(shù)，分三類：有0個、有1個、有2個，記，分別得的取值為：，，，則至多有3個不同的值，A錯誤；
若，則，此時，，，又，為非零向量，則，與無關，B對；
若，則，
，，則，C對；
若，則，，，
∵，，
∴，解得，∴，D錯誤.
故選：BC
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 如圖，將一個長方體沿著相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，則此棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比是______.

【答案】
【解析】
【分析】設長方體的長、寬、高分別為，，，根據(jù)長方體的幾何特征，我們可得，，兩兩垂直，代入棱錐體積公式及長方體體積公式，求出三棱錐的體積與剩下的幾何體體積，進而得到答案．
【詳解】設長方體的長、寬、高分別為，，，
即，，．
由長方體，得，，兩兩垂直，
所以，
于是．
故剩下幾何體的體積，
因此，．
故答案為：.

14. 已知向量 , ，則向量的模的最大值是________.
【答案】
【解析】
【分析】求出向量的坐標，根據(jù)模的計算公式求出模的表達式，并化簡，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得最大值.
【詳解】∵ ，
則，
當時，有最大值，且為，
故答案為：
15. 在復平面內(nèi)，為原點，向量，對應復數(shù)為，將繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，且將向量的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得向量，此時向量對應的復數(shù)為.現(xiàn)有一平行四邊形，如圖，，，，，則點直角坐標為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件代入公式計算即可.
【詳解】易得,故對應的復數(shù)為：，即，
故答案為：
16. 如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是______.
【答案】
【解析】
【分析】通過構造平行線將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交線的夾角，解三角形即可.
【詳解】如圖，在棱上取一點，使得，取的中點，連接，，，由于，分別是棱，的中點，所以，，
故四邊形為平行四邊形，進而，
又因為，分別是，的中點，所以，所以，則或其補角是異面直線與所成的角.
設，則，，.
從而，，
，，
故，
故異面直線與所成角的余弦值是.
故答案為：.
四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知復數(shù)，，其中是實數(shù)．
（1）若，求實數(shù)的值；
（2）若是純虛數(shù)，是正實數(shù)，求．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）利用復數(shù)的乘法運算及復數(shù)相等的概念求解
（2）利用為純虛數(shù)求，從而得，然后通過復數(shù)的周期性進行求解即可
【小問1詳解】
∵，，
∴
從而，解得a=2
所以實數(shù)a的值為2．
【小問2詳解】
依題意得：
因為是純虛數(shù)，所以：，從而a=2或；
又因為a是正實數(shù)，所以a=2．
當a=2時，，
因為，，，，……，，，，，（）
所以
所以
18. 某校學生利用解三角形有關知識進行數(shù)學實踐活動.處有一棟大樓，某學生選，兩處作為測量點，測得的距離為，，，在處測得大樓樓頂?shù)难鼋菫?5°.
（1）求兩點間的距離；
（2）求大樓的高度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理計算即可求解；
（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合兩角和的正切公式計算即可求解.
【小問1詳解】
因為，
在中，由正弦定理得，
即，所以m，
即AC兩點的距離為m；
【小問2詳解】
在中，因為，，
所以，
又，
所以m，
即大樓的高度為m.
19. 已知在直角三角形中，，（如圖所示）
（1）若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積.
（2）一只螞蟻在問題（1）形成的幾何體上從點繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點，求螞蟻爬行的最短距離.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，由圓錐的表面積公式，即可求出結(jié)果．
（2）利用側(cè)面展開圖，要使螞蟻爬行最短距離，則沿點B的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形（如圖）最短距離就是點B到點的距離，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果．
【小問1詳解】
在直角三角形中，由
即，得，若以為軸旋轉(zhuǎn)一周，
形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，
則，其表面積為.
【小問2詳解】
由問題（1）的圓錐，要使螞蟻爬行的最短距離，
則沿點的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形，
最短距離就是點到點的距離，，
在中，由余弦定理得.
20. 在銳角中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知邊，且.
（1）若，求的面積；
（2）記邊的中點為，求的最大值，并說明理由.
【答案】（1）
（2），理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理、余弦定理可得，利用三角恒等變換化簡計算可得，進而，結(jié)合三角形的面積公式計算即可求解；
（2）根據(jù)余弦定理得，由平面向量的線性運算可得，結(jié)合基本不等式計算即可求解.
【小問1詳解】
在中，，
∴，
由正弦定理得：，即，
由余弦定理得：，又，則，
∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，即，
當時，為正三角形，得，
∴；
【小問2詳解】
由余弦定理得：，
∵，，∴，
∵邊的中點為，∴，
∴，
∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴，當且僅當時，等號成立，
故的最大值為.
21. 如圖所示，點是所在平面上一點，并且滿足，已知，，.

（1）若是的外心，求、的值；
（2）如果是的平分線上某點，則當達到最小值時，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）設的中點為，利用三角形外心的性質(zhì)可推出，從而得，結(jié)合已知可得的關系式，繼而設的中點為，則，同理可得的關系式，解方程組可得答案.
（2）利用三角形角平分線可得，推出，，利用基本不等式求得的值，結(jié)合向量的模的運算即可求得答案.
【小問1詳解】
設的中點為，因為是的外心，故，

而，
故，
由，可得，
故，
設的中點為，則，
，
由，
即，
即，；
【小問2詳解】
因為是的平分線上某點，
所以，
所以由，可得，，
由，當且僅當時取等號，即時取等號，
此時，，
所以，
所以.
22. 如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,,,底面,,點在棱上,且
（1）證明：面面;
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）見證明；（2）
【解析】
【分析】方法一：（1）由題意，得出，再由菱形的性質(zhì)，求得，由線面垂直的判定定理，證得面，進而利用面面垂直的判定定理，即可得到面面；
（2）連接OE,證得，得到是二面角平面角，在中，即可求解.
法二：（1）以點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為，根據(jù)，得面，在面面垂直的判定定理，證得面面；
（2）分別求得平面和平面的法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：∵面
∴
∵在菱形中，
且
∴面
故面面
（2）連接，則面面
故在面內(nèi)的射影為
∵
∴
又由（1）可得，
故是二面角的平面角
菱形中，,
∴,
又所以
故
∴ 即二面角的余弦值為
法二：（1）菱形中，又面
故可以以點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系
由可知相關點坐標如下：

則平面的一個法向量為
因為所以故面
從而面面
（2）設，則
因為
所以
故
可得：
平面的一個法向量為
設平面的一個法向量
則故
∴
即二面角的余弦值為
【點睛】本題考查了立體幾何中的直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定，以及二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

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