2022北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（上）期中數(shù)    學(xué)第I卷（共100分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)最符合題意.每小題5分，共40分）1. 若集合，，則A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由，解得或，即，又，故選C.考點(diǎn)：1.解二次不等式；2.集合的運(yùn)算.2. 命題“，”的否定為（     ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】對(duì)題干命題改量詞，否結(jié)論，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，命題“，”的否定為：“，”.故選：.3. 下列命題為真命題的是（    ）A. 若a>b>0，則ac2>bc2 B. 若a>b，則a2>b2C. 若a<b<0，則a2<ab<b2 D. 若a<b<0，則【答案】D【解析】【分析】舉反例說(shuō)明ABC不正確，依據(jù)不等式的性質(zhì)可知D正確，從而得出選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，當(dāng)c=0時(shí)，ac2=bc2，所以A不是真命題；對(duì)于B，當(dāng)a=0，b=-2時(shí)，a>b，但a2<b2，所以B不是真命題；對(duì)于C，當(dāng)a=-4，b=-1時(shí)，a<b<0，a2>ab>b2，所以C不是真命題；對(duì)于D，若a<b<0，則，所以D是真命題．故選:D．4. 設(shè)，則“”是“”的（     ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式求出不等式的解集，根據(jù)為的真子集，得到答案.【詳解】，等價(jià)于，解得：，，解得：，，因?yàn)?/span>為的真子集，所以，但，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B5. 已知函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的，有如下的對(duì)應(yīng)值表：123456123.5621.45-7.8211.45-53.76-128.88則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有（     ）A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)【答案】B【解析】【分析】由零點(diǎn)存在性定理得到函數(shù)零點(diǎn)至少有3個(gè).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像是連續(xù)不斷的，且，由零點(diǎn)存在性定理得：內(nèi)存在至少1個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，故由零點(diǎn)存在性定理得：內(nèi)存在至少1個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，故由零點(diǎn)存在性定理得：內(nèi)存在至少1個(gè)零點(diǎn)，綜上：函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有3個(gè).故選：B6. 下列函數(shù)中在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（    ）A. y＝x＋1 B. y＝－x2 C. y＝x3 D. 【答案】C【解析】【分析】依據(jù)奇偶性和單調(diào)性依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】y＝x＋1是非奇非偶函數(shù)，y＝－x2是偶函數(shù)，y＝x3由冪函數(shù)的性質(zhì)，是定義在R上的奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增，在在定義域?yàn)?/span>，不是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)奇偶性單調(diào)性的判斷，要求對(duì)奇偶性和單調(diào)性的判斷方式熟練掌握，是簡(jiǎn)單題目.7. 函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為（    ）A. ±1 B. -2或±1 C. -1 D. -2或-1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，分段求解，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，令 ，與矛盾，不合題意；當(dāng)時(shí)，令 ，取 ，符合題意，故選：C8. 已知函數(shù).關(guān)于的性質(zhì)，有以下四個(gè)推斷：①的定義域是；②是奇函數(shù)；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④的值域是.其中推斷正確的個(gè)數(shù)是（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】對(duì)于①因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，即①正確；根據(jù)函數(shù)奇偶性定義得到函數(shù)為奇函數(shù)，故②正確；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的證明方法得到函數(shù)為增函數(shù)，所以③正確；當(dāng)時(shí)，，再由函數(shù)為奇函數(shù)得到函數(shù)的整體值域?yàn)?/span>，，故④正確.【詳解】①因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，即①正確；②，所以是奇函數(shù)，即②正確；③任取，，且，則，因?yàn)?/span>，，且，所以，，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以③正確；④當(dāng)時(shí)，，由②知，函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，所以的值域是，，即④正確．故選：D．二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分）9. 函數(shù)定義域?yàn)?/span>__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意列出簡(jiǎn)單不等式，求解即可.【詳解】要使得函數(shù)有意義，則，且，解得：且，即的定義域?yàn)椋?/span>.故答案為：.10. 已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則____.【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故.∵為奇函數(shù)，∴.故答案為: .11. 欲用一段長(zhǎng)為米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)米，則這個(gè)菜園的最大面積為_______平方米.【答案】【解析】【分析】設(shè)矩形菜園與墻壁所在直線平行的邊的長(zhǎng)為米，則另外一邊的長(zhǎng)為米，求出的取值范圍，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得矩形菜園面積的最大值.【詳解】設(shè)矩形菜園與墻壁所在直線平行的邊的長(zhǎng)為米，則矩形菜園另外一邊的長(zhǎng)為米，則，矩形菜園的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故矩形菜園面積的最大值為平方米.故答案為：.12. 已知關(guān)于的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______．【答案】【解析】【分析】利用二次方程根分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)方程關(guān)于的方程的兩根分別為、，則，解得.故答案為：.13. 已知偶函數(shù)，寫(xiě)出一組使得恒成立的實(shí)數(shù)、的取值：_______，_______．【答案】    ①.     ②. （只需滿足即可）【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義可求得的值，利用可得出的取值范圍，即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，則，，所以，.故答案為：；（只需滿足即可）.14. 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其圖象如圖所示.函數(shù)是定義域?yàn)?/span>R的偶函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，.給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②不等式的解集為R；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①③【解析】【分析】由可知是周期為2的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，由此作出函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想依次判斷；【詳解】滿足，可知函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，又函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，作出圖像如圖所示，由圖可知，故①正確；不等式的解集為，故②錯(cuò)誤；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故③正確；故答案為：①③【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)的周期性，奇偶性，抽象函數(shù)在高考中?？嫉剑谧鲱}時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的圖像是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理與數(shù)形結(jié)合思想，屬于一般題.三、解答題（本題共3小題，每小題10分，共30分）15. 設(shè)集合，．（1）求和；（2）若，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；    （2）.【解析】【分析】（1）解不等式求出，，進(jìn)而求出和；（2）根據(jù)得到，求出，從而比較端點(diǎn)值，列出不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解得：，∴∵，解得：，∴，則，；【小問(wèn)2詳解】由，可知∵，則，所以，故的取值范圍為．16. 設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的圖像與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)最小值（3）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增.【答案】(1) 或   (2)  7     (3)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由解出方程可得答案.
（2）利用均值不等式可得答案.(3)由定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟即可證明.【詳解】（1）由，即，解得或所以函數(shù)的圖像與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)為或（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，取得等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為7.(3) 任取，且則 由，且，則，所以，則所以，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞增【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，證明函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性解不等式.證明函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟為：(1)在給定的區(qū)間內(nèi)任取變量，且設(shè).(2)作差變形，注意變形要徹底，變形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.(3)判斷符號(hào)，得出大小.(4)得出結(jié)論.17. 已知二次函數(shù)滿足.（1）求b，c的值；（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，（?。┲苯訉?xiě)出的單調(diào)遞減區(qū)間為                ；（ⅱ）若，求a的取值范圍.【答案】（1）；；（2）或【解析】【詳解】試題分析：（1）代值計(jì)算即可，
（2）先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出的解析式，（i）根據(jù)函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，
（ii）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)可得 或解得即可.試題解析：二次函數(shù)滿足，解得：；.  （2）（ⅰ）.（ⅱ）由（1）知，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以.  若，則或   解得或. 綜上，a的取值范圍為或.第Ⅱ卷（共50分）四、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）18. 若是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，比較，，的大小關(guān)系．（用“>”或“<”連接）【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性得到，由函數(shù)單調(diào)性求出，從而得到.【詳解】因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，所以，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，所以，故.19. 函數(shù)的值域?yàn)?/span>，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則符合要求的函數(shù)可以為_____．（寫(xiě)出符合條件的一個(gè)函數(shù)即可）【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的值域?yàn)?/span>,且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,即是符合要求的一個(gè)函數(shù)．【詳解】解：∵函數(shù)的值域?yàn)?/span>,且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,∴函數(shù)即是符合要求的一個(gè)函數(shù),故答案：【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域,是基礎(chǔ)題．20. 某購(gòu)物網(wǎng)站在年月開(kāi)展“買三免一”活動(dòng)，規(guī)則是“購(gòu)買件商品，最便宜的一件商品免費(fèi)”，比如如下結(jié)算案例：包的價(jià)格為元，衣服的價(jià)格為元，鞋的價(jià)格為元，用戶應(yīng)支付元，減免價(jià)格最低商品價(jià)格元，實(shí)際支付元，實(shí)際折扣約折，立省元.（1）如果在此網(wǎng)站上購(gòu)買的三件商品價(jià)格分別為元、元、元，按照“買三免一”的規(guī)則購(gòu)買這三件商品的實(shí)際折扣為是________折；（2）在這個(gè)網(wǎng)站上購(gòu)買件商品，按照“買三免一”的規(guī)則，這件商品實(shí)際折扣力度最大約為________折（保留一位小數(shù)）.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】（1）按照“買三免一”的規(guī)則可計(jì)算可得出購(gòu)買這三件商品的實(shí)際折扣；（2）設(shè)在這個(gè)網(wǎng)站上購(gòu)買件商品，這件商品的價(jià)格從高到低依次為元、元、元，即，利用不等式的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】解：（1）因?yàn)?/span>，按照“買三免一”的規(guī)則購(gòu)買這三件商品的實(shí)際折扣為是折；（2）設(shè)在這個(gè)網(wǎng)站上購(gòu)買件商品，這件商品的價(jià)格從高到低依次為元、元、元，即，所以，這件商品實(shí)際折扣為，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故這件商品實(shí)際折扣力度最大約為折.故答案為：（1）；（2）.21. 已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，正實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】令，分、兩種情況討論，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，其中.因?yàn)?/span>，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，且，①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，則，解得或，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.五、解答題（本大題共3小題，共30分）22. 已知，且．（1）求的最小值；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件“，且”，直接應(yīng)用基本不等式得到，從而求得結(jié)果；（2）將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值處理，利用基本不等式求得，從而得到不等式，求解得答案.【詳解】（1），且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故的最小值為．（2），且，，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取等號(hào)，即的最小值為，，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)不等式的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用基本不等式求和的最小值，將恒成立問(wèn)題向最值轉(zhuǎn)化，一元二次不等式的解法，屬于簡(jiǎn)單題目.23. 設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求的表達(dá)式．【答案】（1）最大值為，最小值為    （2）【解析】【分析】（1）利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得的表達(dá)式.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，又因?yàn)?/span>，，則，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在上連續(xù).①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，，且，此時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，，此時(shí)，.綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”型最值的方法，解法如下：（1）根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行分析；（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.24. 已知集合.對(duì)于，定義：與的差為；與之間的距離為.（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求；（2）若對(duì)于任意的，有，求的值并證明：.【答案】（1）；；（2）；證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）直接代入計(jì)算和；（2）根據(jù)，都有或，可計(jì)算得；然后表示出，分別討論與兩種情況.【詳解】（1）；；（2）證明：因?yàn)?/span>，，所以對(duì)于任意的，即對(duì)，都有或，所以得.設(shè)則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以【點(diǎn)睛】解答該題的關(guān)鍵是需要注意理解并表示出，然后代入化簡(jiǎn)判斷與兩種情況.    

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