上中 高一期中數(shù)學(xué)試題一、填空題（每題3分，共36分）1. 已知集合，則______.【答案】或【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.【詳解】解：由，即，解得，所以，所以或.故答案為：或2. 設(shè)集合，若，則 __________．【答案】{ 1，2，5}【解析】【詳解】試題分析：解：∵A∩B={2}，∴l(xiāng)og2（a+3）=2．∴a=1．∴b=2．∴A={5，2}，B={1，2}．∴A∪B={1，2，5}，故答案為{1，2，5}．考點(diǎn)：并集點(diǎn)評:本題考查了并集的運(yùn)算，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于容易題．3. 化簡______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)冪之間互化以及立方和公式即可求解.【詳解】，故答案為：4. 不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】將不等式變形為，利用數(shù)軸標(biāo)根法得到不等式的解集.【詳解】解：不等式，即，方程的根有（2重根），，，，（2重根）， 按照數(shù)軸標(biāo)根法可得不等式的解集為.故答案為：5. 已知，，則用a，b表示的值為______.【答案】【解析】【分析】利用對數(shù)運(yùn)算公式和換底公式計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.6. 已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要條件是，則m的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】先求出不等式的解集，又設(shè)，則是的真子集，再求得的取值范圍.【詳解】由不等式|x－m|<1，得，即其解集，又設(shè)，由已知知是的真子集，得（等號不同時(shí)成立） ，得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了不等式解法，考查了將充分不必要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7. 集合，，則______.【答案】【解析】【分析】分別計(jì)算求得集合，在按照交集運(yùn)算即可得.【詳解】解：不等式變形為，所以或，解得或.所以或所以或.故答案為：.8. 方程在上有實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】記，.在同一個(gè)坐標(biāo)系作出和的圖像，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】記，.在同一個(gè)坐標(biāo)系作出和的圖像如圖所示：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以方程在上有實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故答案為：.9. 若對任意實(shí)數(shù)x都有，則a的取值范圍為_______．【答案】【解析】【分析】由題意分類寫出分段函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的最小值，再由小于等于函數(shù)的最小值可得關(guān)于的不等式，求解得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，由恒成立，可得，時(shí)顯然成立；當(dāng)時(shí)，，故，從而，解得，；當(dāng)時(shí)，，故，從而，解得，．綜上，，．故答案為：．10. 已知a＞b，關(guān)于x的不等式對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，又存在實(shí)數(shù)，使得成立，則最小值為_________．【答案】【解析】【分析】由對于一切實(shí)數(shù)恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，進(jìn)而可得的值為1，將可化為，利用基本不等式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>對于一切實(shí)數(shù)恒成立，所以，且，所以；再由，使成立，可得，所以，所以， 因?yàn)?/span>，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為，故答案為：11. 已知均為正實(shí)數(shù)，且，那么的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】本題目主要考察不等式的簡單性質(zhì)，將已知條件進(jìn)行簡單變形即可【詳解】因?yàn)?/span>均為正實(shí)數(shù)，所以由題可得：，即，，，三式相加得：，所以所以的最大值為4故答案為：412. 已知，且滿足，，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】首先求出，然后可得，然后求出的最小值即可.【詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，所以可得，所以，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以，故答案為：二、選擇題（每題4分，共16分）13. 已知，且，則下列不等式一定成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】用不等式的性質(zhì)判斷，不一定成立的不等式可舉反例說明．詳解】由題意可知，.當(dāng)時(shí)，，，則排除A，B；因?yàn)?/span>，，所以，所以. 因?yàn)?/span>，所以，所以，則C一定成立；因?yàn)?/span>，，所以，所以.因?yàn)?/span>，所以，所以，則排除D.故選：C．14. 若，且，，則下列各式中一定成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分析集合、的元素特征，再根據(jù)交集的定義、空集的定義以及集合的包含關(guān)系判斷即可.【詳解】解：由，即集合的元素為集合的所有子集，，即集合的所有子集組成集合，因?yàn)?/span>，即與沒有相同的元素，但是，，即，，所以，故B正確，A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，，所以或，故C錯(cuò)誤；故選：B15. 設(shè)a，b，c均為正數(shù)，若一元二次方程有實(shí)根，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】令判斷A，令判斷C，D；利用換元法和基本不等式進(jìn)行證明B.【詳解】對于A，若令，則一元二次方程的，，不成立，所以A不正確；對于C，若令，則一元二次方程的，，不成立，所以C不正確；對于D，若令，則一元二次方程的，，不成立，所以D不正確；對于B，令 ．下面分兩種情況證明B選項(xiàng)正確.若，結(jié)論已成立．若，則由，得．①又，即，則由①得，即．解得或．若，結(jié)論已成立；若，則．結(jié)論亦成立．綜上所述，．故選：B.16. 設(shè)，在上恒成立，則的最大值（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的特征，分別設(shè)，，，以及四種情況，討論不等式恒成立時(shí)，先討論的正負(fù)情況，再討論恒成立，求的取值范圍.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，，不成立，②當(dāng)時(shí)，恒成立，則恒成立，即，解得：，此時(shí)的最大值是；③當(dāng)時(shí)，恒成立，則，恒成立，即的最大值是；④當(dāng)時(shí)，恒立，則恒成立，即 ，恒成立，，解得：，此時(shí)最大值是.綜上可知，的最大值是.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考察了函數(shù)恒成立問題，本題的關(guān)鍵是分類的標(biāo)準(zhǔn)，第一種情況比較簡單，代入特殊值，即可說明不等式不成立，后幾種情況，先說明恒成立，再根據(jù)恒成立，即可求的取值范圍.三、解答題（17-19每題8分，20-21每題12分）17. （1）解不等式：（2）解不等式：【答案】（1）        （2）【解析】【分析】（1）按照絕對值不等式分類討論解不等式即可；（2）按照不等式分類求解即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，不等式為，解得，所以解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式為，解得，所以解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式為，解得，所以解集為；綜上：不等式的解集為：.（2）不等式，首先滿足，所以或當(dāng)或時(shí)，不等式成立，符合；當(dāng)或時(shí)，不等式成立，則，所以，則解集為；綜上：不等式的解集為：.18. 設(shè)，，是否存在實(shí)數(shù)a，使？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.【答案】不存在，理由見解析【解析】【分析】根據(jù)，得，討論中四個(gè)元素分別為1時(shí)，求的值，判斷此時(shí)集合的元素是否符合集合與元素的關(guān)系，即可得結(jié)論.【詳解】解：，，若，所以當(dāng)時(shí)，即，所以，，，所以不符合集合中元素特點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，即，舍去；當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)無意義，舍去；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，不滿足，舍去.故不存在實(shí)數(shù)a，使.19. 已知全集，，，且，求a的取值范圍.【答案】【解析】【分析】由一元二次方程根的分布求解，【詳解】由得，而，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，對于有，則解得，綜上，a的取值范圍是．20. （1）已知，求y的最大值.（2）設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)非零實(shí)根為，，問是否存在m，使得不等式對任意的以及恒成立？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）1    （2）存在，【解析】【分析】（1）令，所以，得，結(jié)合基本不等式求解最值即可；（2）方程可化為，，可知方程有兩不同的實(shí)根，，再由韋達(dá)定理建立得最值，若不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為，都成立，再求最小值即可．【詳解】解：（1）已知，令，所以則因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立所以；（2）方程可化為，有兩不同的實(shí)根，，則，，當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，所以得，對都成立，，設(shè)若使時(shí)都成立，則解得：或，所以的取值范圍是.21. （1）已知集合，任意從中取出k個(gè)四元子集，均滿足的元素個(gè)數(shù)不超過2個(gè)，求k的最大值.（舉出一個(gè)例子即可，無需證明）（2）已知集合，任意從中取出k個(gè)三元子集，均滿足的元素個(gè)數(shù)不超過一個(gè)，求k的最大值.【答案】（1）3    （2）7【解析】【分析】（1）列舉所有的四元子集，根據(jù)的元素個(gè)數(shù)不超過2個(gè)即可求解，（2）列舉所有的三元子集，根據(jù)的元素個(gè)數(shù)不超過1個(gè)，可得 滿足要求，當(dāng)時(shí)得到元素個(gè)數(shù)之和超過21矛盾，即可求解.【詳解】由題意知：，四元子集的個(gè)數(shù)一共有15個(gè)，如下， ，要使任意的元素個(gè)數(shù)不超過2個(gè)，則最大為2，比如： （2）由題意知：，三元子集的個(gè)數(shù)一共有35個(gè)，如下：,對,則 與中其他元素共構(gòu)成6個(gè)含的二元數(shù)對，而在每個(gè)含的三元子集中，恰好含的有2個(gè)這種數(shù)對，由題意可知：兩個(gè)不同的三元子集中所含的相應(yīng)數(shù)對不同，所以至多屬于三元集組中的3個(gè)，即至多出現(xiàn)在3個(gè)三元集中，由于的元素個(gè)數(shù)不超過一個(gè)，故在含的三元數(shù)對中，，由m的任意性，不妨取 ，包含1的三元集合不妨取滿足，去掉1，剩下6個(gè)元素為 ，分為3組： 若選這組中的2，則中可選一個(gè)數(shù)字4或5，則滿足至多一個(gè)元素的三元集合還有，故,故可取7.由于，所以至多屬于三元集組中的3個(gè)，即至多出現(xiàn)在3個(gè)三元集中，中一共有7個(gè)元素，則這7個(gè)元素故總共出現(xiàn)的次數(shù)至多為 當(dāng)時(shí)，每個(gè)三元集中的元素出現(xiàn)3次，那么所有的三元集中的元素出現(xiàn)次數(shù)為，則 ，這與總次數(shù)21矛盾，故，故的最大值為7

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