1.5　全稱量詞與存在量詞1.5.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
1．通過實(shí)例總結(jié)含有一個(gè)量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)律．2．能正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定．通過含量詞的命題的否定，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
想一想：用自然語言描述的全稱量詞命題的否定形式唯一嗎？提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四邊形”，它的否定是“存在一個(gè)菱形不是平行四邊形”，也可以是“有些菱形不是平行四邊形”．
練一練：命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是__________________________________.[解析]　原命題是全稱量詞命題，其否定是存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)．
存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)
想一想：一般命題的否定與含有一個(gè)量詞的命題的否定相同嗎？提示：一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結(jié)論，得到真假性完全相反的兩個(gè)命題；含有一個(gè)量詞的命題的否定，是在否定結(jié)論p(x)的同時(shí)，改變量詞的屬性，即將全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞．
練一練：命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是( )A．任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B．任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C．存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D．存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)[解析]　量詞“存在”改為“任意”，結(jié)論“它的平方是有理數(shù)”否定后為“它的平方不是有理數(shù)”，故選B.
(1)已知A為奇數(shù)集，B為偶數(shù)集，命題p：?x∈A,2x∈B，則( )A．? p：?x∈A,2x?BB．? p：?x?A,2x?BC．? p：?x?A,2x?BD．? p：?x∈A,2x?B
(2)寫出下列全稱量詞命題的否定，并判斷真假：①任何一個(gè)平行四邊形的對邊都平行；②?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有實(shí)數(shù)根；③?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；④可以被5整除的整數(shù)，末位是0.[分析]　把全稱量詞改為存在量詞，然后否定結(jié)論．[解析]　(1)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．?x∈A,2x∈B的否定：?x∈A,2x?B.(2)①該命題的否定：存在一個(gè)平行四邊形，它的對邊不都平行．因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膬山M對邊都平行，所以這是一個(gè)假命題．
②該命題的否定：?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0沒有實(shí)數(shù)根．當(dāng)a＝0時(shí)，方程x2＋2＝0沒有實(shí)數(shù)根，所以這是一個(gè)真命題．③該命題的否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．當(dāng)a＝0，b＝1，方程ax＝b的解不存在，所以這是一個(gè)真命題．④該命題的否定：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0,15是可以被5整除的整數(shù)，末位不是0.所以這是一個(gè)真命題．
[歸納提升]　1.對全稱量詞命題否定的兩個(gè)步驟(1)改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~；(2)否定結(jié)論：原命題中的“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等．2．全稱量詞命題否定后的真假判斷方法全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，其真假性與全稱量詞命題相反；要說明一個(gè)全稱量詞命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可．
寫出下列全稱量詞命題的否定：(1)?x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；(2)任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)數(shù)；(3)所有分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)；(4)任意兩個(gè)等邊三角形都相似．[解析]　(1)該命題的否定：?x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|1，x2－41，x2－4≥0B．?x≤1，x2－41，x2－4≥0
[分析]　把存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論．[解析]　(1)命題p：?x>1，x2－41，x2－4≥0.故選D.
[歸納提升]　1.對存在量詞命題否定的兩個(gè)步驟(1)改變量詞：把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞；(2)否定結(jié)論：原命題中的“有”“存在”等更改為“沒有”“不存在”等．2．存在量詞命題否定后的真假判斷存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，其真假性與存在量詞命題相反；要說明一個(gè)存在量詞命題是真命題，只需要找到一個(gè)實(shí)例即可．
[解析]　(1)該命題的否定：任意一個(gè)奇數(shù)都能被3整除．這個(gè)命題是假命題，如5是奇數(shù)，但5不能被3整除．(2)該命題的否定：任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角不都是60°.這個(gè)命題是假命題，如等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°.
已知命題p：?x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解析]　因?yàn)榻恜為假命題，所以命題p：?x∈R，m＋x2－2x＋5>0為真命題，m＋x2－2x＋5>0可化為m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4對任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m>－4}．(說明：本題也可利用二次函數(shù)y＝x2－2x＋5＋m的圖象恒在x軸上方，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程Δ

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1.5 全稱量詞與存在量詞

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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