考點08三角恒等變換（核心考點講與練）一、任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0).(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1，0).如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線.二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：＝tan__α.2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__α cos__α －cos__α sin__α－sin__α 正切tan αtan__α－tan__α－tan__α  口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限三、解兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝.3.函數(shù)f(α)＝asin α＋bcos α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).[名師提醒]1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β).2.cos2α＝，sin2α＝.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.1.定義法求三角函數(shù)值的三種情況①已知角α終邊上一點P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值．先求P到原點的距離，再用三角函數(shù)的定義求解；②已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值；③已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點的坐標(biāo)．2.三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數(shù)式時，一般需要升次．3.“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．
4.“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．5.“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．三角函數(shù)的定義1. （2020湖北百所重點校高三聯(lián)考）已知角的終邊經(jīng)過點且，則等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【詳解】試題分析：依題意有．考點：三角函數(shù)概念．2.已知頂點在原點，始邊在x軸非負(fù)半軸的銳角繞原點逆時針轉(zhuǎn)后，終邊交單位圓于，則的值為（    ）A．    B．    C．    D．【答案】C【分析】設(shè)銳角繞原點逆時針轉(zhuǎn)后得角，由，則，按的值分類討論結(jié)合三角函數(shù)的定義，求解即可，根據(jù)條件進(jìn)行取舍.【詳解】設(shè)銳角繞原點逆時針轉(zhuǎn)后得角，則，由為銳角， 根據(jù)題意角終邊交單位圓于，則，則
若，則 所以，與為銳角不符合.若，則 所以，滿足條件.故選：C.化簡求值1. (2020湖北武漢模擬)  ＝（     ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的切化弦結(jié)合正弦二倍角以及輔助角公式對函數(shù)化簡即可得答案．【詳解】解：．故選：A2.（2022高三一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（一）（全國1卷））已知，則___________.
【答案】【分析】，再利用二倍角得余弦公式即可得解.【詳解】解：.故答案：.3. （2022河南省大聯(lián)考） 若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【分析】由題可得，然后利用二倍角公式及兩角差公式即求.【詳解】由得，即∴，∴，∴，故選：A.4.（2022云南省昆明市五華區(qū)高三模擬）若，，則______．【答案】【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式化簡即可求值.【詳解】因為，所以或，
又，所以，故答案為：5. (2020四川南充模擬)已知，，且，，則________.【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式及已知條件，分別求得及， 由，利用正弦差角公式展開即可求得的值，再由即可得.【詳解】因為，，且，，所以由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得，，則，因為，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的簡單應(yīng)用，正弦差角公式的展開式及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
1. （2021年全國高考乙卷） （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.2. （2021年全國高考甲卷） 若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出.
3. （2021年全國新高考Ⅰ卷）若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．一、單選題1．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若的圖象在區(qū)間上有且只有1個最低點，則實數(shù)的取值范圍為（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用輔助角公式化簡可得，根據(jù)x的范圍，可求得的范圍，根據(jù)題意，分析可得，計算即可得答案.【詳解】由題意得，
因為，所以，因為有且只有1個最低點，所以，解得.故選：D2．（2022·遼寧丹東·一模）已知，若，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，確定的范圍，結(jié)合其正切值，求得正弦和余弦值，再用湊出目標(biāo)角，利用余弦的和角公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為，則，又，故，則，故.故選：C.3．（2022·四川廣安·一模（理））若，，則的值為（       ）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】結(jié)合二倍角公式化簡可求，再結(jié)合萬能公式可求.【詳解】因為，，所以且，解得，所以.
故選：D 4．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）在△ABC中，若，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角和的正切公式和二倍角公式求解.【詳解】因為，所以，所以，，故選：A．二、多選題5．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）在中，，則下列說法正確的是（       ）A． B．C．的最大值為 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合得，，進(jìn)而得，可判斷AD；進(jìn)而得或，故或，再分別討論的最大值問題即可判斷BC.【詳解】解：因為，，所以，所以，，故A選項正確；所以，，即；所以，故D選項正確；所以，即或，
所以或，故B選項錯誤；當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，此時，不滿足內(nèi)角和定理；當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，此時，滿足題意.綜上，的最大值為，故C選項正確.故選：ACD6．（2022·重慶·模擬預(yù)測）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢品人朝，產(chǎn)品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內(nèi)外．經(jīng)歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展成為具有獨特風(fēng)格的中國傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛．古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長，偏稱游人攜袖里，不勞侍女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團(tuán)圓共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中，動點P在上（含端點），連接OP交扇形OAB的弧于點Q，且，則下列說法正確的是（       ）圖1                                          圖2A．若，則 B．若，則C． D．【答案】ABD【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，設(shè) ，可得，由
，結(jié)合題中條件可判斷A,B;表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判斷C，D.【詳解】如圖，作 ,分別以為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 ,設(shè) ，則,由可得 ，且 ，若，則，解得 ，（負(fù)值舍去），故，A正確；若，則，，故B正確； ，由于，故，故，故C錯誤；由于，故 ，而，故，故D正確，故選：ABD7．（2022·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）已知向量，，且，
，其中，下列說法正確的是（       ）A．與所成角的大小為 B．C．當(dāng)時，取得最大值 D．的最大值為【答案】AD【分析】利用向量夾角定義和模的求法即可選定A選項，利用正弦倍角公式和積化和差公式可以排除B選項，根據(jù)均值不等式和余弦定理結(jié)合選項B中得出的結(jié)論即可判斷C選項和D選項的正誤.【詳解】對于A選項：因為,所以有：，解得，所以與所成角的大小為；對于B選項：，因為 ，所以，結(jié)合得，將代入化簡，得，故B選項錯誤；對于C選項和D選項：以B點為圓心，建立平面直角坐標(biāo)系，
則由可設(shè)，使用余弦定理得： ，故可得， 當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，結(jié)和公式，以及選項B中的，可知當(dāng)時，取得最大值，而此時平方后化為一元二次方程后無解，因此D選項正確，C選項錯誤.故選：AD.三、填空題8．（2022·廣東湛江·二模）若，，則___________.【答案】【分析】利用正切兩角和的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，，所以，故答案為：9．（2022·河北秦皇島·二模）已知為銳角，且，則___________.【答案】【分析】根據(jù)，求出，利用二倍角公式化簡，代入即可求值.
【詳解】由，得，即，解得或，因為為銳角，所以，故，故答案為：.10．（2022·安徽·蕪湖一中三模（理））已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相鄰的三個交點依次為A，B，C，且的面積是，則______．【答案】【分析】由得，，不妨設(shè)，，，求出，，后，根據(jù)三角形面積公式列式可求出結(jié)果.【詳解】由得，所以，所以，所以，即，，因為相鄰的三個交點依次為A，B，C，所以不妨設(shè)，，，所以，，，所以，邊上的高為，所以，依題意可得，得.
故答案為：.四、解答題11．（2022·天津·一模）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求角B的大??；(2)設(shè)，，求和的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用正弦定理得到，即可得到，從而求出；（2）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，即可求出，再利用二倍角公式求出、，最后根據(jù)兩角和的正弦公式計算可得；(1)解：在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，又因為，可得.(2)解：由（1）得，在中，，，由余弦定理有，故.由正弦定理，即，可得.又因為，故.因此，.所以.12．（2022·廣東惠州·一模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且.(1)求證：；(2)當(dāng)時，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意利用二倍角公式及兩角和差的余弦公式得到
，再由正弦定理將角化邊即可；（2）依題意是邊的中點，則，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及余弦定理得到，最后由余弦定理計算可得；(1)證明：因為所以，所以所以，結(jié)合正弦定理，可得，命題得證.(2)解：由題意知，點是邊的中點，則兩邊平方整理得，即根據(jù)余弦定理兩式相加得，再由余弦定理13．（2022·四川雅安·二模）已知向量，，設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且______，求的取值范圍．從下面三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的問題中作答．①；②；③，，成等比數(shù)列．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一解答計分．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合降冪公式以及輔助角公式化簡得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得增區(qū)間；（2）若選①，通過正弦定理以及“切化弦”思想可得，進(jìn)而得
，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果；若選②，通過正弦定理將邊化為角，結(jié)合兩角和的正弦公式可得，余下同①；若選③，由余弦定理可得，進(jìn)而得的范圍，余下同①.(1)因為，，所以由，得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)若選①，由正弦定理可得，即，即，由于，所以，解得，由于，得，所以，所以，得，即的取值范圍是.若選②，由正弦定理可得，即，由于，所以，由于，得，所以，所以，得，即的取值范圍是.若選③，，成等比數(shù)列，即，由余弦定理可得，所以，
所以，得，即的取值范圍是.14．（2022·全國·模擬預(yù)測）在中，，，分別為角A，，的對邊，且滿足．（1）求A；（2）若點滿足，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由及余弦的二倍角公式得到，解得，最后求出即可；（2）設(shè)，可得，在中，由余弦定理可得，，進(jìn)而可得，然后根據(jù)三角函數(shù)的有界性求得取值范圍即可.【詳解】（1），，解得，又，；（2）設(shè)，因為點滿足，，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，，所以，即，因為，所以，，
所以.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的解題關(guān)鍵是在中，由余弦定理得到，，進(jìn)而求得，最后求得取值范圍.15．（2022·安徽·蕪湖一中三模（理））已知函數(shù)的最小正周期為6．(1)已知△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若，，求的值；(2)若，求數(shù)列的前2022項和．【答案】(1)2；(2).【分析】（1）利用三角恒等變換化簡為標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)合最小正周期求得解析式，再結(jié)合已知條件求得，利用正弦定理即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，再利用并項求和法求解即可.(1)，因為的最小正周期為6，故可得，，解得，故，因為，，故可得，又，則，；因為，故可得，又，則或，或，因為，則，當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，不滿足題意，舍去；由正弦定理可得：.(2)根據(jù)（1）中所求可得：，故
.即數(shù)列的前2022項和.16．（2022·湖北·二模）如圖，在平面四邊形中，．(1)若，求；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接后由余弦定理與兩角和的正弦公式求解（2）由余弦定理與面積公式求解(1)連接，在中，，且，，所以．在中，由余弦定理得，所以．所以(2)在中，由余弦定理得，
即，解得或（舍去），所以四邊形的面積為   

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