空間幾何體的表面積、體積
1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
3.空間幾何體的表面積與體積公式
1.求解幾何體表面積的類型及求法
2.求體積的常用方法
3.幾何體的外接球：一個多面體的頂點(diǎn)都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.
幾何體的內(nèi)切球：求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.
4.截面問題：在高考立體幾何考點(diǎn)中涉及到空間幾何體的截面的地方較多， 如:判斷截面的形狀、計(jì)算出空間幾何體的截面周長或面積、或者求與之相關(guān)的體積問題、以及最值問題都在考察之列，但是要順利地解決前面所提到的諸多問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出截面，并判斷其形狀.
空間幾何體的表面積
一、單選題
1． (2023·海南海口·模擬預(yù)測）已知圓柱的側(cè)面積等于上、下底面積之和，圓柱的體積與表面積的數(shù)值相同，則該圓柱的高為（ ）
A．8B．4C．2D．1
2． (2023·福建·模擬預(yù)測）已知某圓臺的高為，上底面半徑為，下底面半徑為，則其側(cè)面展開圖的面積為（ ）
A．B．C．D．
3.（2021湖北省黃石市高三上學(xué)期9月調(diào)研）已知圓錐的母線長為，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的底面面積是（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
4． (2023·山東聊城·二模）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱．這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高．橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．底面橢圓的離心率為
B．側(cè)面積為
C．在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為
D．底面積為
5． (2023·河北·模擬預(yù)測）已知正四棱臺（上下底面都是正方形的四棱臺）．下底面ABCD邊長為2，上底面邊長為1，側(cè)棱長為，則（ ）
A．它的表面積為
B．它的外接球的表面積為
C．側(cè)棱與下底面所成的角為60°
D．它的體積比棱長為的正方體的體積大
三、填空題
6.（2021貴州省貴陽市五校高三上學(xué)期聯(lián)合考試）學(xué)生到工廠參加勞動實(shí)踐，用薄鐵皮制作一個圓柱體，圓柱體的全面積為，則該圓柱體的外接球的表面積的最小值是__________________.
7． (2023·廣東廣州·二模）在梯形中，，將沿折起，連接，得到三棱錐，則三棱錐體積的最大值為__________．此時(shí)該三棱錐的外接球的表面積為__________．
空間幾何體的體積
一、單選題
1． (2023·遼寧沈陽·二模）現(xiàn)有一個側(cè)面展開圖為半圓形的圓錐，其內(nèi)部放有一個小球，當(dāng)小球體積最大時(shí)，該圓錐與小球的體積之比是（ ）
A．B．C．D．
2.（2021重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，若平面平面，且平面與棱，，分別交于點(diǎn)，，，其中點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（ ）
A．1 B． C． D．
3.（2021廣東省廣州市荔灣區(qū)高三上學(xué)期調(diào)研）若圓臺的下底面半徑為4，上底面半徑為1，母線長為5，則其體積為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題
4． (2023·海南?？凇つM預(yù)測）如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，則（ ）
A．△BDF是等邊三角形B．直線與BF是異面直線
C．平面BDFD．三棱錐與三棱錐的體積相等
5． (2023·福建·模擬預(yù)測）已知三棱錐外接球的球心為，外接球的半徑為，，，（為正數(shù)），則下列命題是真命題的是（ ）
A．若，則三棱錐的體積的最大值為
B．若不共線，則平面平面
C．存在唯一一點(diǎn)，使得平面
D．的最大值為
三、解答題
6． (2023·遼寧沈陽·二模）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，且，，，．
(1)求證：；
(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使二面角的余弦值為？若存在，求三棱錐體積；若不存在，請說明理由．
與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題
1.（2021河南省聯(lián)考高三核心模擬卷）在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為___________.
2.（2021江西省臨川一中、臨川一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三第一次月考）如圖，在底面邊長為4，高為6的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為_____________.
3． (2023·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測）棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這些球的最大半徑為（ ）
A．B．C．D．
柱錐臺的軸截面問題
一、單選題
1． (2023·山東·模擬預(yù)測）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個直角圓錐的側(cè)面積為，則它的體積為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2． (2023·廣東中山·模擬預(yù)測）正四棱錐的所有棱長為2，用垂直于側(cè)棱的平面截該四棱錐，則（ ）
A．截面可以是三角形
B．與底面所成的角為
C．與底面所成的角為
D．當(dāng)平面經(jīng)過側(cè)棱中點(diǎn)時(shí)，截面分四棱錐得到的上下兩部分幾何體體積之比為3：1
三、填空題
3． (2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知圓錐底面圓半徑為2，母線與底面成角為60°，則圓錐側(cè)面積為__________，若圓錐底面圓周及頂點(diǎn)均在一球上，則該球體積為__________.
4． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面PAB是邊長為a的正三角形，AB為圓錐的底面直徑，球O與圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為，球O的體積為，則______；若M，N是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面PMN截球O所得截面的面積為______.
5.（2021上海市高三春考模擬卷）已知圓錐的母線長為5，側(cè)面積為，過此圓錐的頂點(diǎn)作一截面，則截面面積最大為__________
四、解答題
6． (2023·湖南·雅禮中學(xué)二模）在空間直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的球體上任意一點(diǎn)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，可知以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心，為半徑的球體可用不等式表示.還有很多空間圖形也可以用相應(yīng)的不等式或者不等式組表示，記滿足的不等式組{?2+?2+?2?16,??0表示的幾何體為.
（1）當(dāng)表示的圖形截所得的截面面積為時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.記滿足的不等式組{?2??2+?2?16,0???4所表示的幾何體為請運(yùn)用祖暅原理求證與的體積相等，并求出體積的大小.
1.（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）
A. B. C. D.
2.（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)試題）已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
3.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）
A. B. C. D.
4.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)Ⅰ））已知為球的球面上的三個點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
一、單選題
1． (2023·江西萍鄉(xiāng)·二模（理））正方體棱長為，動點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），以下結(jié)論不正確的為（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．過，，三點(diǎn)若可作正方體的截面，則截面圖形為三角形或平面四邊形
C．當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，三棱錐的外接球體積為
D．直線與面所成角的正弦值的范圍為
2． (2023·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）底面半徑為3，表面積為的圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·天津·一模）已知一個圓柱的高是底面半徑的2倍，且其上?下底面的圓周均在球面上，若球的體積為，則圓柱的體積為（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·天津河西·一模）一個圓錐的高與底面圓的半徑相等，體積為，圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，則這個正方體的體積為（ ）．
A．B．
C．D．
5． (2023·新疆昌吉·二模（文））在三棱錐中，，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球體積為（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模（文））攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑．如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面(過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面)是底邊長為6 m，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)膫?cè)面積約為( )
A．B．C．D．
二、填空題
7． (2023·天津紅橋·一模）一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1、、3，則此球的體積為______．
8． (2023·江西·臨川一中模擬預(yù)測（理））如圖，是邊長為4的正三角形的一條中位線，將沿直線翻折至，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，過的中點(diǎn)M作該四棱錐的外接球的截面圓，則該截面圓的面積的最小值為___________.
9． (2023·陜西·安康市高新中學(xué)三模（理））已知四面體ABCD中，AC=3，其余棱長均為2，則該四面體外接球的表面積是______．
10． (2023·江西贛州·二模（理））我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》把上下兩個面平行且均為矩形的六面體稱為芻童，已知芻童ABCD—中四邊形?四邊形及四邊形都是正方形，，則芻童ABCD—外接球的表面積為___________.
11． (2023·四川遂寧·三模（文））稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個直角圓錐的體積為，則它的側(cè)面積________.
12． (2023·山西臨汾·三模（理））已知四邊形ABCD為菱形，AB=1，∠BAD=60°，將其沿對角線BD折成四面體，使，若四面體的所有頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為_______．
13． (2023·上?！つM預(yù)測）已知圓錐的母線長為5，側(cè)面積為，過此圓錐的頂點(diǎn)作一截面，則截面面積最大為__________
14． (2023·全國·模擬預(yù)測）2020年底，中國科學(xué)家成功構(gòu)建了76個光子的量子計(jì)算機(jī)“九章”，推動全球量子計(jì)算的前沿研究達(dá)到一個新高度.該量子計(jì)算機(jī)取名“九章”，是為了紀(jì)念中國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》.在《九章算術(shù)》中，底面是直角三角形的直三棱柱被稱為“塹堵”.如圖，棱柱為一“塹堵”，是的中點(diǎn)，，設(shè)平面過點(diǎn)且與平行，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：
①當(dāng)平面截棱柱的截面圖形為等腰梯形時(shí)，該圖形的面積等于；
②當(dāng)平面截棱柱的截面圖形為直角梯形時(shí)，該圖形的面積等于；
③異面直線與所成角的余弦值為；
④三棱錐的體積是該“塹堵”體積的.
所有正確結(jié)論的序號是___________.
三、雙空題
15． (2023·山東濰坊·二模）根據(jù)高中的解析幾何知識，我們知道平面與圓錐面相交時(shí)，根據(jù)相交的角度不同，可以是三角形、圓、橢圓、拋物線、雙曲線．如圖，AB是圓錐底面圓O的直徑，圓錐的母線，，E是其母線PB的中點(diǎn)．若平面過點(diǎn)E，且PB⊥平面，則平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，此時(shí)拋物線的焦點(diǎn)F到底面圓心O的距離為______；截面把圓錐分割成兩部分，在兩部分內(nèi)部，分別在截面的上方作一個半徑最大的球M，在截面下方作一個半徑最大的球N，則球M與球N的半徑的比值為______．
.
四、解答題
16.（2021湖北省金太陽百校聯(lián)考高三上學(xué)期10月月考）如圖，在三棱錐中，平面，，與的長度之和為6米，，現(xiàn)要給三棱錐的側(cè)面刷油漆，每平方米需要0.5升油漆，油漆價(jià)格為60元/升.
（1）設(shè)米，三棱錐的側(cè)面共需要油漆升，試寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
（2）刷油漆需要請油漆工來完成，工費(fèi)按照每平方米10元計(jì)算，若油漆工工費(fèi)及油漆費(fèi)用的總預(yù)算為400元，試問最后油漆工工費(fèi)及油漆費(fèi)用是否有可能會超預(yù)算？說明你的理由.
17. 已知圓錐的底面半徑為2，母線長為，點(diǎn)C為圓錐底面圓周上的一點(diǎn)，O為圓心，D是的中點(diǎn)，且．
（1）求三棱錐的表面積；
（2）求A到平面的距離．
名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行且全等
多邊形
互相平行且相似
側(cè)棱
平行且相等
相交于一點(diǎn)，但不一定相等
延長線交于一點(diǎn)
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一點(diǎn)
延長線交于一點(diǎn)
軸截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圓
側(cè)面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圓柱
圓錐
圓臺
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l
名稱
幾何體
表面積
體積
柱 體
(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝S底h
錐 體
(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)S底h
臺 體
(棱臺和圓臺)
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
求多面體
的表面積
只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積
求旋轉(zhuǎn)體
的表面積
可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系
求不規(guī)則
幾何體的
表面積
通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積
直接法
對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算
割補(bǔ)法
首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算
等體積法
選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

考點(diǎn)16 空間幾何體（核心考點(diǎn)講與練）
空間幾何體的表面積、體積
1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
3.空間幾何體的表面積與體積公式
1.求解幾何體表面積的類型及求法
2.求體積的常用方法
3.幾何體的外接球：一個多面體的頂點(diǎn)都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.
幾何體的內(nèi)切球：求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.
4.截面問題：在高考立體幾何考點(diǎn)中涉及到空間幾何體的截面的地方較多， 如:判斷截面的形狀、計(jì)算出空間幾何體的截面周長或面積、或者求與之相關(guān)的體積問題、以及最值問題都在考察之列，但是要順利地解決前面所提到的諸多問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出截面，并判斷其形狀.
空間幾何體的表面積
一、單選題
1． (2023·海南海口·模擬預(yù)測）已知圓柱的側(cè)面積等于上、下底面積之和，圓柱的體積與表面積的數(shù)值相同，則該圓柱的高為（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件及圓柱的側(cè)面積、表面積和體積公式即可求解.
【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，高為，則
由題意可知，，解得.
所以該圓柱的高為.
故選：B.
2． (2023·福建·模擬預(yù)測）已知某圓臺的高為，上底面半徑為，下底面半徑為，則其側(cè)面展開圖的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】可得展開圖為圓環(huán)的一部分，求出小圓和大圓半徑即可求出.
【詳解】易知母線長為，且上底面圓周為，下底面圓周為，易知展開圖為圓環(huán)的一部分，圓環(huán)所在的小圓半徑為3，則大圓半徑為6，
所以面積.
故選：C.
3.（2021湖北省黃石市高三上學(xué)期9月調(diào)研）已知圓錐的母線長為，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的底面面積是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求圓錐的底面半徑，由此即可計(jì)算出圓錐的底面面積.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，
則，解得
所以圓錐的底面面積為.
故選：B
二、多選題
4． (2023·山東聊城·二模）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱．這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高．橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．底面橢圓的離心率為
B．側(cè)面積為
C．在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為
D．底面積為
【答案】ABD
【分析】不妨過斜圓柱的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的是圓柱，作出過斜圓柱底面橢圓長軸的截面，截斜圓柱得平行四邊形，截圓柱得矩形，如圖，由此截面可得橢圓面與圓柱底面間所成的二面角的平面角，從而求得橢圓長短軸之間的關(guān)系，得離心率，并求得橢圓的長短軸長，得橢圓面積，利用橢圓的側(cè)面積公式可求得斜橢圓的側(cè)面積，由斜圓柱的高比圓柱的底面直徑大，可知斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的直徑與圓柱底面直徑相等，從而得其表面積，從而可關(guān)鍵各選項(xiàng)．
【詳解】不妨過斜圓柱的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的是圓柱，如圖，矩形是圓柱的軸截面，平行四邊形是斜圓柱的過底面橢圓的長軸的截面，
由圓柱的性質(zhì)知，
則，設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，則，，，
所以離心率為，A正確；
，垂足為，則，
易知，，又，
所以斜圓柱側(cè)面積為，B正確；
，，，，
橢圓面積為，D正確；
由于斜圓錐的兩個底面的距離為6，而圓柱的底面直徑為4，所以斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的半徑為2，球表面積為，C錯．
故選：ABD．
5． (2023·河北·模擬預(yù)測）已知正四棱臺（上下底面都是正方形的四棱臺）．下底面ABCD邊長為2，上底面邊長為1，側(cè)棱長為，則（ ）
A．它的表面積為
B．它的外接球的表面積為
C．側(cè)棱與下底面所成的角為60°
D．它的體積比棱長為的正方體的體積大
【答案】ACD
【分析】分別求得上、下底面面積，再求得側(cè)面等腰梯形的面積，即可判斷A的正誤；如圖作輔助線，可求得各個長度，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可判斷C的正誤；求得的長，分析可得即為正四棱臺外接球的球心，且外接球半徑，代入表面積公式，可判斷B的正誤；分別求得正四棱臺的體積和正方體的體積，利用作商法比大小，即可判斷D的正誤，即可得答案.
【詳解】由題意得：上底面的面積，下底面的面積，
側(cè)面為等腰梯形，過分別做AB的垂線，垂足為E、F，如圖所示
所以，則，
所以，
所以梯形的面積為，
所以正四棱臺的表面積，故A正確；
連接，且交于點(diǎn)，連接AC、BD交于點(diǎn)，連接，
則垂直底面ABCD，
過作于G，則底面ABCD，則四邊形為矩形，
由題意得，所以，
同理，
又，所以，
在中，，
所以，即側(cè)棱與下底面所成的角為60°，故C正確
所以.
連接，在中，，
所以點(diǎn)到的距離相等，均為，
所以點(diǎn)即為正四棱臺外接球的球心，且外接球半徑，
所以外接球的表面積，故B錯誤；
正四棱臺的體積，
棱長為的正方體的體積，
所以，所以，
所以正四棱臺的體積比棱長為的正方體的體積大，故D正確；
故選：ACD
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握棱臺的表面積、體積的求法及公式，并靈活應(yīng)用，難點(diǎn)在于求各個棱長及確定為外接球的球心，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題.
三、填空題
6.（2021貴州省貴陽市五校高三上學(xué)期聯(lián)合考試）學(xué)生到工廠參加勞動實(shí)踐，用薄鐵皮制作一個圓柱體，圓柱體的全面積為，則該圓柱體的外接球的表面積的最小值是__________________.
【答案】
【分析】設(shè)圓柱底面圓半徑為r，結(jié)合已知表示出圓柱的高h(yuǎn)，再利用球及其內(nèi)接圓柱的特征求出球的表面積與r的函數(shù)關(guān)系結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為r，高為h，則有，整理得，
由球及其內(nèi)接圓柱的結(jié)構(gòu)特征知，球心是圓柱兩底面圓圓心的中點(diǎn)，設(shè)球半徑為R，
于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，
因此，球的表面積為，
所以該圓柱體的外接球的表面積的最小值是.
故答案為：
7． (2023·廣東廣州·二模）在梯形中，，將沿折起，連接，得到三棱錐，則三棱錐體積的最大值為__________．此時(shí)該三棱錐的外接球的表面積為__________．
【答案】
【分析】注意到三棱錐體積最大時(shí)，平面平面ABC，可知以B為頂點(diǎn)時(shí)，BC為三棱錐的高，然后利用正余弦定理可得各棱長可得體積；利用球心到平面的距離、外接圓半徑和球的半徑滿足勾股定理可得球半徑，然后可得表面積.
【詳解】過點(diǎn)C作，垂足為E，
為等腰梯形，
，
由余弦定理得，即
易知，當(dāng)平面平面ABC時(shí)，三棱錐體積最大，
此時(shí)，平面
易知，
記O為外接球球心，半徑為R
平面，
O到平面的距離
又的外接圓半徑
故答案為：，
空間幾何體的體積
一、單選題
1． (2023·遼寧沈陽·二模）現(xiàn)有一個側(cè)面展開圖為半圓形的圓錐，其內(nèi)部放有一個小球，當(dāng)小球體積最大時(shí)，該圓錐與小球的體積之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖為半圓，求得母線與底面半徑的關(guān)系，利用當(dāng)小球是圓錐的內(nèi)切球時(shí)，小球體積最大，求得小球的半徑，可得答案.
【詳解】由圓錐側(cè)面展開圖為半圓，設(shè)圓錐母線為l，底面半徑為R，
則，所以，可知圓錐軸截面為正三角形，圓錐高為 ,
又由當(dāng)小球是圓錐的內(nèi)切球時(shí)，小球體積最大，軸截面如圖示：
設(shè)此時(shí)小球半徑為r，則有 ，即，
故，，
所以，
故選：A
2.（2021重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，若平面平面，且平面與棱，，分別交于點(diǎn)，，，其中點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理可確定出，根據(jù)點(diǎn)的位置可確定出的位置，由此可計(jì)算出三棱錐的體積.
【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，
由正方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知：，
所以六點(diǎn)共面，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面?br>又平面平面，平面平面，
所以，由為所在邊中點(diǎn)可知為中點(diǎn)，
同理可知：為的中點(diǎn)，
所以，且，，兩兩垂直，
所以三棱錐的體積為，
故選：D.
3.（2021廣東省廣州市荔灣區(qū)高三上學(xué)期調(diào)研）若圓臺的下底面半徑為4，上底面半徑為1，母線長為5，則其體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】畫出圓臺的軸截面，即可求出圓臺的高，從而根據(jù)公式求出圓臺的體積；
【詳解】解：圓臺的軸截面如圖所示：
則圓臺的高，所以圓臺的體積
故選：C
二、多選題
4． (2023·海南?？凇つM預(yù)測）如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，則（ ）
A．△BDF是等邊三角形B．直線與BF是異面直線
C．平面BDFD．三棱錐與三棱錐的體積相等
【答案】AC
【分析】A選項(xiàng)可根據(jù)幾何關(guān)系求三角形的各個邊長進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)證點(diǎn)，E，B，F(xiàn)四點(diǎn)共面得出矛盾；C選項(xiàng)證，線線垂直，可得線面垂直；D選項(xiàng)點(diǎn)A與點(diǎn)F到平面的距離不相等，即是高不相等，體積也不會相等.
【詳解】對于A，設(shè)AB＝1，則，故△BDF是等邊三角形，A正確；
對于B，連接、，如圖所示：
易知，,故點(diǎn)，E，B，F(xiàn)共面，B錯誤；
對于C，設(shè)AB＝1，則，，，所以
所以，
同理可知，又因?yàn)?，所以平面BDF，故C正確；
對于D，三棱錐與三棱錐有公共的面，
若要它們的體積相等，則點(diǎn)A與點(diǎn)F到平面的距離相等，這顯然不成立，故D錯誤．
故選：AC.
5． (2023·福建·模擬預(yù)測）已知三棱錐外接球的球心為，外接球的半徑為，，，（為正數(shù)），則下列命題是真命題的是（ ）
A．若，則三棱錐的體積的最大值為
B．若不共線，則平面平面
C．存在唯一一點(diǎn)，使得平面
D．的最大值為
【答案】AB
【分析】由可求得球心到平面的距離，由此可得三棱錐高的最大值，由棱錐體積公式可知A正確；設(shè)的中點(diǎn)為，可證得平面，由外接球性質(zhì)可知平面，由面面垂直判定可知B正確；設(shè)直線與球的另一交點(diǎn)為，可知平面，知C錯誤；由四點(diǎn)共面可求得，由此可得，知D錯誤.
【詳解】對于A，若，則，，
則外接圓的半徑，球心到平面的距離，
三棱錐高的最大值為，
體積的最大值為，A正確；
對于B，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
則，，，
又，，平面，平面，
平面，平面，又平面平面，
四點(diǎn)共面，平面，又平面，
平面平面，B正確；
對于C，設(shè)直線與球的另一交點(diǎn)為，若平面，則平面，C錯誤；
對于D，當(dāng)最大時(shí)，四點(diǎn)共面，
，，，D錯誤.
故選：AB.
三、解答題
6． (2023·遼寧沈陽·二模）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，且，，，．
(1)求證：；
(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使二面角的余弦值為？若存在，求三棱錐體積；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析(2)存在，
【分析】（1）證明，結(jié)合，證明平面PAC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，求出平面MAC的一個法向量，結(jié)合平面ACD法向量以及條件可推出即M為PD中點(diǎn)，即可求得答案.
(1)因?yàn)?，，，所以?br>又因?yàn)?，且，?br>所以，所以，
又因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面ABCD，所以，
又因?yàn)?，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，
又因?yàn)槠矫鍼AC，所以．
(2)在BC上取點(diǎn)E，使，則，故以A為原點(diǎn)，以，，分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，，
在平面MAC中，，，
設(shè)平面MAC的一個法向量為，則，
令，則，，所以，
可取平面ACD法向量為，
所以，即，
解得，所以M為PD中點(diǎn)，
所以三棱錐的高h(yuǎn)為1，．
與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題
1.（2021河南省聯(lián)考高三核心模擬卷）在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)題設(shè)長度關(guān)系，可證明平面，由正弦定理可得的外接圓半徑為，又在線段的垂直平分線上，可得，即可得，利用球的表面積公式即得解
【詳解】
在中，，，
所以，所以，
在中，，，
所以，所以.
又，，平面，
所以平面，
在中，，
所以的外接圓半徑為，
不妨設(shè)的外接圓圓心為，三棱錐的外接球球心為
連接，由于，故在線段的垂直平分線上，
即
故三棱錐的外接球半徑，
外接球的表面積為.
故答案為：
2.（2021江西省臨川一中、臨川一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三第一次月考）如圖，在底面邊長為4，高為6的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為_____________.
【答案】
【分析】結(jié)合圖形，由題意可知大球的半徑為，設(shè)小球的半徑為，利用已知條件，結(jié)合勾股定理，推出結(jié)果即可．
【詳解】解：由題意可知大球的半徑為，設(shè)小球的半徑為，
如圖，設(shè)大圓的圓心為O，小圓的圓心為C，E為小圓與上底面的切點(diǎn)，作交于點(diǎn)D，
由題意可知，，，，
所以，即，，
解得，
故答案為：．
3． (2023·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測）棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這些球的最大半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出正四面體的體積及表面積，利用求出內(nèi)切球的半徑，再通過求出空隙處球的最大半徑即可.
【詳解】
如圖，由題意知球和正四面體的三個側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時(shí)半徑最大，設(shè)內(nèi)切球球心為，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，
為的中心，易知面，為中點(diǎn)，球和球分別與面相切于和.
易得，，，由，
可得，又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，即球的最大半徑為.
故選：C.
柱錐臺的軸截面問題
一、單選題
1． (2023·山東·模擬預(yù)測）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個直角圓錐的側(cè)面積為，則它的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意知直角圓錐的底面圓半徑為r等于高h(yuǎn)，再由直角圓錐的側(cè)面積求出底面圓的半徑，即可求出其體積.
【詳解】設(shè)該直角圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線長為l，
因?yàn)橹苯菆A錐的軸截面為等腰直角三角形，所以，.
因?yàn)橹苯菆A錐的側(cè)面積為，所以，解得，
所以該直角圓錐的體積為.
故選：B.
二、多選題
2． (2023·廣東中山·模擬預(yù)測）正四棱錐的所有棱長為2，用垂直于側(cè)棱的平面截該四棱錐，則（ ）
A．截面可以是三角形
B．與底面所成的角為
C．與底面所成的角為
D．當(dāng)平面經(jīng)過側(cè)棱中點(diǎn)時(shí)，截面分四棱錐得到的上下兩部分幾何體體積之比為3：1
【答案】ACD
【分析】對于A：取PC的中點(diǎn)E，連結(jié)BE、DE、BD.可以證明面BDE，即可判斷A；
對于B、C：作為與底面所成的角.即可求得；
對于D：分別求出上下兩部分幾何體的體積，即可判斷.
【詳解】對于A:取PC的中點(diǎn)E，連結(jié)BE、DE、BD.
因?yàn)檎睦忮F的所有棱長為2，所以△PBC、△PBC為正三角形，所以又,則面BDE，即△BDE為截面.故A正確；
對于B、C:過P作底面ABCD于O，則O為AC中點(diǎn).則即為與底面所成的角.
因?yàn)檎睦忮F的所有棱長為2，所以,
所以,所以.故B錯誤，C正確；
對于D:由A的推導(dǎo)過程可知：平面經(jīng)過側(cè)棱中點(diǎn)時(shí)，平面即為平面BDE.
此時(shí).
因?yàn)?
所以,
所以.故D正確
故選：ACD
三、填空題
3． (2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知圓錐底面圓半徑為2，母線與底面成角為60°，則圓錐側(cè)面積為__________，若圓錐底面圓周及頂點(diǎn)均在一球上，則該球體積為__________.
【答案】
【分析】求出圓錐的母線長可得側(cè)面積，求出圓錐軸截面三角形外接圓半徑即圓錐外接球半徑，從而可得球體積．
【詳解】如圖，是圓錐的軸截面，由題意，，則，
側(cè)面積為；
的外接圓半徑為，即為圓錐外接球半徑，
所以球體積為．
故答案為：；．
4． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面PAB是邊長為a的正三角形，AB為圓錐的底面直徑，球O與圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為，球O的體積為，則______；若M，N是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面PMN截球O所得截面的面積為______.
【答案】 ； .
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出球O的半徑，從而可分別求出圓錐的體積為和球O的體積為；
設(shè)MN的中點(diǎn)為C，連接PC，DM，首先求出點(diǎn)到直線的距離，然后結(jié)合球O的半徑，即可求出平面PMN截球O所得截面圓的半徑為r.
【詳解】如圖，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，連接PD，由題意知PD為圓錐的高，且，
易知球O的半徑，
所以，，所以；
設(shè)MN的中點(diǎn)為C，連接PC，DM，則，
易知，，所以，所以.
過O點(diǎn)作，垂足為E，易知，則，
又，則.
設(shè)平面PMN截球O所得截面圓的半徑為r，
則，所以截面的面積為.
故答案為：；.
5.（2021上海市高三春考模擬卷）已知圓錐的母線長為5，側(cè)面積為，過此圓錐的頂點(diǎn)作一截面，則截面面積最大為__________
【答案】
分析】圓錐軸截面頂角（兩母線夾角）小于等于時(shí)，軸截面面積最大，軸截面夾角大于時(shí)，母線夾角為時(shí)截面面積最大.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則，
，
圓錐的高，
設(shè)軸截面中兩母線夾角為，則，
，
所以當(dāng)兩母線夾角為時(shí)，過此圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大，
最大面積為.
故答案為：
四、解答題
6． (2023·湖南·雅禮中學(xué)二模）在空間直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的球體上任意一點(diǎn)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，可知以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心，為半徑的球體可用不等式表示.還有很多空間圖形也可以用相應(yīng)的不等式或者不等式組表示，記滿足的不等式組表示的幾何體為.
（1）當(dāng)表示的圖形截所得的截面面積為時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.記滿足的不等式組{?2??2+?2?16,0???4所表示的幾何體為請運(yùn)用祖暅原理求證與的體積相等，并求出體積的大小.
【答案】（1）；（2）證明見解析，體積為.
【分析】（1）由題意可得幾何體表示上半球，球半徑為4，從而有，進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)的值；
（2）由題意可得幾何體為圓柱內(nèi)挖去一個同底等高的圓錐，且該圓錐的對稱軸與母線的夾角為然后由祖暅原理可求得結(jié)果
【詳解】（1）{?2+?2+?2?16,??0,則幾何體表示上半球，球半徑為4.
當(dāng)時(shí)，，截面為圓面，則，解得
又，所以
（2）設(shè)，則點(diǎn)到軸的距離為，由，
即，即點(diǎn)到軸的距離為
所以所表示的幾何體為圓柱體.
由，即點(diǎn)到軸的距離為，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在以一直角邊在軸上的等腰直角三角形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的倒圓錐面上.
所以所表示的幾何體為圓柱內(nèi)挖去一個同底等高的圓錐.
且該圓錐的對稱軸與母線的夾角為
在中，平面所截的截面為圓，其面積為，
在中，平面所截的截面為圓環(huán)，在圓柱中的截面圓面積為，
在圓錐中的截面圓面積為，所以在中截面面積為，
即截所得面積均相等，從而由祖暅原理知體積相等，
由為半球知其體積
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查祖暅原理的應(yīng)用，考查新定義，考查不等式與幾何圖形的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義和祖暅原理，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題
1.（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得.
故選：B.
2.（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)試題）已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進(jìn)而求得體積.
【詳解】，為等腰直角三角形，，
則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，
設(shè)到平面的距離為，
則，
所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.
3.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.
【詳解】如圖，設(shè)，則，
由題意，即，化簡得，
解得（負(fù)值舍去）.
故選：C.
【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.
4.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)Ⅰ））已知為球的球面上的三個點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長，得出的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，
得，為等邊三角形，
由正弦定理可得，
，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，
，
球的表面積.
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
一、單選題
1． (2023·江西萍鄉(xiāng)·二模（理））正方體棱長為，動點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），以下結(jié)論不正確的為（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．過，，三點(diǎn)若可作正方體的截面，則截面圖形為三角形或平面四邊形
C．當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，三棱錐的外接球體積為
D．直線與面所成角的正弦值的范圍為
【答案】D
【分析】根據(jù)錐體體積公式、正方體的截面、三棱錐的外接球、線面角等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，平面，
所以平面，
所以到平面的距離為定值，設(shè)到平面的距離為，
則為定值，A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，當(dāng)與重合時(shí)，截面圖形為平面四邊形；
當(dāng)與重合時(shí)，平面四邊形；
當(dāng)與、不重合時(shí)，截面圖形為三角形，所以B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，三棱錐的外接球，也即正方體的外接球，
外接球的直徑為，半徑為，體積為，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則
設(shè)，，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
設(shè)直線與面所成角為，
則，
對于函數(shù)，開口向上，對稱軸，
所以最大值為，最小值為，
所以，
，D選項(xiàng)錯誤.
故選：D
2． (2023·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）底面半徑為3，表面積為的圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)圓錐的母線長為，進(jìn)而結(jié)合表面積得，進(jìn)而得圓錐的高，再計(jì)算體積即可.
【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為，因?yàn)閳A錐的底面半徑為3，表面積為
所以，解得，
所以圓錐的高為，
所以，圓錐的體積為.
故選：A
3． (2023·天津·一模）已知一個圓柱的高是底面半徑的2倍，且其上?下底面的圓周均在球面上，若球的體積為，則圓柱的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，球O的半徑為，由題可得，進(jìn)而可得，然后利用圓柱的體積公式即得.
【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，球O的半徑為，
由題可知，解得，
則，可得，
所以.
故選：C.
4． (2023·天津河西·一模）一個圓錐的高與底面圓的半徑相等，體積為，圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，則這個正方體的體積為（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】圓錐的軸截面為一個等腰直角三角形，內(nèi)接正方體的對角面，根據(jù)三角形相似可得正方體的邊長.
【詳解】設(shè)底面半徑為由題知：所以，
設(shè)正方體邊長為，如圖，
由軸截面可知，所以
所以.
故選：C.
5． (2023·新疆昌吉·二模（文））在三棱錐中，，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題結(jié)合球的基本性質(zhì)可知：過三棱錐其中兩個面的三角形的外接圓圓心，作該面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為三棱錐的球心，結(jié)合三角形的相關(guān)知識分析求得三棱錐的外接球的半徑．
【詳解】如圖、分別為Rt△PAC、△ABC的外接圓圓心，作平面PAB，平面ABC，則O為三棱錐的外接球的球心．
在△ABC中，，即，可得：．
由正弦定理可得：，即，
又∵為線段AC的中點(diǎn)，則可得，且，
∴二面角的大小的平面角即為∠，則∠
．
∴三棱錐的外接球的半徑R=，
則三棱錐的外接球體積為V=．
故選：Ａ．
6． (2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模（文））攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑．如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面(過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面)是底邊長為6 m，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)膫?cè)面積約為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意作出圓錐軸截面圖像，根據(jù)圖像求出圓錐底面半徑r和母線l，根據(jù)側(cè)面積公式πrl即可求解.
【詳解】如圖所示為該圓錐軸截面，
由題意，底面圓半徑為，母線，側(cè)面積πrl＝π×3×＝6﹒
故選：B.
二、填空題
7． (2023·天津紅橋·一模）一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1、、3，則此球的體積為______．
【答案】
【分析】求得長方體外接球的半徑，從而求得球的體積.
【詳解】長方體外接球的直徑為，
所以外接球半徑為，
所以球的體積為.
故答案為：
8． (2023·江西·臨川一中模擬預(yù)測（理））如圖，是邊長為4的正三角形的一條中位線，將沿直線翻折至，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，過的中點(diǎn)M作該四棱錐的外接球的截面圓，則該截面圓的面積的最小值為___________.
【答案】
【分析】先判斷出面面.設(shè)外接球的球心為O，確定出過面BCDE的外接圓的圓心的垂線m和過的外心的垂線的交點(diǎn)即為球心O.求出外接球半徑.再判斷出OM垂直于截面時(shí)，截面圓的面積的最小，求出其半徑，即可求出截面圓的面積.
【詳解】要使三棱錐的體積最大，只需高最大，即面面.
設(shè)外接球的球心為O，面BCDE的外接圓的圓心為,則球心在過且垂直于面BCDE的直線m上.
取DE的中點(diǎn)為N，連結(jié)，則DE，所以面.所以.
為邊長為2的正三角形，過的外心作直線n面.則m、n的交點(diǎn)即為球心O.
在底面四邊形BCDE中，如圖示：
設(shè)為BC邊的中點(diǎn)，由題意是邊長為4的正三角形的一條中位線，可得：和均為邊長為2的等邊三角形.所以，即為面BCDE的外接圓的圓心. .
則,即.
所以外接球半徑.
由球的性質(zhì)可知：當(dāng)OM垂直于截面時(shí)，截面圓的面積的最小，設(shè)其半徑為r.
此時(shí)
所以.
所以截面圓的面積的為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】多面體的外接球問題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：
(1)公式法；(2) 多面體幾何性質(zhì)法；(3)補(bǔ)形法；(4)尋求軸截面圓半徑法；(5)確定球心位置法．
9． (2023·陜西·安康市高新中學(xué)三模（理））已知四面體ABCD中，AC=3，其余棱長均為2，則該四面體外接球的表面積是______．
【答案】
【分析】根據(jù)圖形的對稱性，找到球心，再通過余弦定理、勾股定理可求得外接球的半徑，從而可求得外接球的表面積.
【詳解】取BD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，CE，在ACE中，，AC=3，可得∠AEC=120°．
四面體外接球的球心必在過ABD，CBD的外接圓圓心且與其所在面垂直的直線上．
設(shè)CBD，ABD外接圓的圓心分別為，，作平面CBD，平面ABD，則O即為四面體ABCD外接球的球心，連結(jié)OE，如圖，在中，，，所以．在中，，
所以，所以四面體ABCD外接球的表面積為．
故答案為：
10． (2023·江西贛州·二模（理））我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》把上下兩個面平行且均為矩形的六面體稱為芻童，已知芻童ABCD—中四邊形?四邊形及四邊形都是正方形，，則芻童ABCD—外接球的表面積為___________.
【答案】
【分析】先判斷出球心的位置，然后計(jì)算出球的半徑，從而求得球的表面積.
【詳解】取AD中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)F，
設(shè)是的中點(diǎn)，在梯形中，，
由于是的中點(diǎn)，所以，
所以，所以是等邊三角形，
所以是梯形外接圓的圓心，
同理可證得是梯形外接圓的圓心.
芻童可看作直四棱柱，
四邊形與四邊形外接圓圓心連線的中點(diǎn)就是芻童ABCD—外接球的球心，
所以EF中點(diǎn)O就是芻童ABCD—外接球的球心，
該球半徑，
所以芻童ABCD—外接球的表面積
故答案為：
11． (2023·四川遂寧·三模（文））稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個直角圓錐的體積為，則它的側(cè)面積________.
【答案】
【分析】首先設(shè)圓錐的底面半徑為，根據(jù)題意得到，三棱錐的高為，母線為，再求側(cè)面積即可.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，
因?yàn)槿忮F的軸截面為等腰直角三角形，所以三棱錐的高為，母線為，
所以，解得，三棱錐的高為，母線為，
則三棱錐的側(cè)面積為.
故答案為：
12． (2023·山西臨汾·三模（理））已知四邊形ABCD為菱形，AB=1，∠BAD=60°，將其沿對角線BD折成四面體，使，若四面體的所有頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為_______．
【答案】
【分析】四面體為正四面體，將其放到正方體中，即可求出外接球半徑，從而得解.
【詳解】解：由題意可知四面體為正四面體.
如圖,將其放到正方體中，該四面體的外接球和該正方體的外接球相同，
又AB=1，所以正方體的棱長為，
所以外接球的半徑為：，
該球的表面積為,
故答案為：.
13． (2023·上?！つM預(yù)測）已知圓錐的母線長為5，側(cè)面積為，過此圓錐的頂點(diǎn)作一截面，則截面面積最大為__________
【答案】
【分析】圓錐軸截面頂角（兩母線夾角）小于等于時(shí)，軸截面面積最大，軸截面夾角大于時(shí)，母線夾角為時(shí)截面面積最大.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則，
，
圓錐的高，
設(shè)軸截面中兩母線夾角為，則，
，
所以當(dāng)兩母線夾角為時(shí)，過此圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大，
最大面積為.
故答案為：
14． (2023·全國·模擬預(yù)測）2020年底，中國科學(xué)家成功構(gòu)建了76個光子的量子計(jì)算機(jī)“九章”，推動全球量子計(jì)算的前沿研究達(dá)到一個新高度.該量子計(jì)算機(jī)取名“九章”，是為了紀(jì)念中國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》.在《九章算術(shù)》中，底面是直角三角形的直三棱柱被稱為“塹堵”.如圖，棱柱為一“塹堵”，是的中點(diǎn)，，設(shè)平面過點(diǎn)且與平行，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：
①當(dāng)平面截棱柱的截面圖形為等腰梯形時(shí)，該圖形的面積等于；
②當(dāng)平面截棱柱的截面圖形為直角梯形時(shí)，該圖形的面積等于；
③異面直線與所成角的余弦值為；
④三棱錐的體積是該“塹堵”體積的.
所有正確結(jié)論的序號是___________.
【答案】①③④
【分析】分別對四個結(jié)論結(jié)合題意分析判斷即可.
【詳解】對于①，如圖，取，，分別為對應(yīng)邊中點(diǎn)，
易知四邊形是等腰梯形，且高為，
當(dāng)不是中點(diǎn)時(shí)，不平行平面，
則四邊形不是梯形，等腰梯形有且僅有一個，.
所以① 正確；
對于②，向下作截面滿足題意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且僅有一個，
其面積. 所以②錯誤；
對于③，將三棱柱補(bǔ)成正方體，為對應(yīng)邊中點(diǎn)，易知為異面直線與所成角或補(bǔ)角，，，所以，所以③ 正確；
對于④，，，所以④正確.
故答案為：①③④.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
平移線段法是求兩異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：
①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出兩異面直線所成的角；
②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角（或補(bǔ)角）；
③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；
④取舍：由于兩異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．
三、雙空題
15． (2023·山東濰坊·二模）根據(jù)高中的解析幾何知識，我們知道平面與圓錐面相交時(shí)，根據(jù)相交的角度不同，可以是三角形、圓、橢圓、拋物線、雙曲線．如圖，AB是圓錐底面圓O的直徑，圓錐的母線，，E是其母線PB的中點(diǎn)．若平面過點(diǎn)E，且PB⊥平面，則平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，此時(shí)拋物線的焦點(diǎn)F到底面圓心O的距離為______；截面把圓錐分割成兩部分，在兩部分內(nèi)部，分別在截面的上方作一個半徑最大的球M，在截面下方作一個半徑最大的球N，則球M與球N的半徑的比值為______．
【答案】 ##0.5
【分析】（1）以E為原點(diǎn)，EO為x軸建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出拋物線方程，即可求出拋物線的焦點(diǎn)F到底面圓心O的距離；
（2）作出直截面，分析位置關(guān)系，利用幾何知識分別求出球M與球N的半徑，即可求解.
【詳解】
如圖示：
因?yàn)閳A錐的母線，，所以，所以PB⊥PA.
連結(jié)OE.因?yàn)镻B⊥平面，所以PB⊥OE.所以.
在中，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E為中位線，所以.
設(shè)平面交底面圓于CD,則.
以E為原點(diǎn)，EO為x軸建立坐標(biāo)系如圖示，則.
可設(shè)拋物線，把帶入拋物線方程可得：，
所以拋物線為：，焦點(diǎn),
所以,即拋物線的焦點(diǎn)F到底面圓心O的距離為.
作出直截面如圖所示，則球M的半徑即為圓M的半徑，球N的半徑即為圓N的半徑.
因?yàn)榍騇為截面的上方的最大的球，所以圓M與PA相切，切點(diǎn)為Q,則.又，所以.
同理：.所以Q、M、R三點(diǎn)共線，為直徑.
由四邊形PQRE為矩形，可得：,所以球M的半徑.
在等腰三角形OBE中，,.
圓N為三角形OBE的內(nèi)切圓.設(shè)圓N的半徑為，由等面積法可得：
，即，解得：.
所以球M與球N的半徑的比值為.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】外接球問題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：
①公式法；②多面體幾何性質(zhì)法；③補(bǔ)形法；④尋求軸截面圓半徑法；⑤確定球心位置法．
四、解答題
16.（2021湖北省金太陽百校聯(lián)考高三上學(xué)期10月月考）如圖，在三棱錐中，平面，，與的長度之和為6米，，現(xiàn)要給三棱錐的側(cè)面刷油漆，每平方米需要0.5升油漆，油漆價(jià)格為60元/升.
（1）設(shè)米，三棱錐的側(cè)面共需要油漆升，試寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
（2）刷油漆需要請油漆工來完成，工費(fèi)按照每平方米10元計(jì)算，若油漆工工費(fèi)及油漆費(fèi)用的總預(yù)算為400元，試問最后油漆工工費(fèi)及油漆費(fèi)用是否有可能會超預(yù)算？說明你的理由.
【答案】（1）（）；（2）最后有可能會超預(yù)算，理由見解析.
【分析】（1）由題易知，，，，然后由三棱錐的側(cè)面積公式寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）設(shè)油漆工工費(fèi)及油漆的費(fèi)用之和為元，則
，然后計(jì)算分析可得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，所以，?br>由題意得，，，
，
，
，
則
（）；
（2）設(shè)油漆工工費(fèi)及油漆的費(fèi)用之和為元，
則，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為405.
因?yàn)?，所以最后有可能會超預(yù)算.
17. 已知圓錐的底面半徑為2，母線長為，點(diǎn)C為圓錐底面圓周上的一點(diǎn)，O為圓心，D是的中點(diǎn)，且．
（1）求三棱錐的表面積；
（2）求A到平面的距離．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）三棱錐的表面積等于,求出每個三角形的面積即可；
（2）A到平面的距離即為B到平面的距離，過B作垂足為，可得線段長度即為B到平面的距離，求出線段長度即可.
【詳解】解：（1）由已知，
則面，
則
三棱錐的表面積等于，
，，
圓錐的高
則，
對于，
則，
所以，
則，
故三棱錐的表面積為；
（2）因?yàn)镈是的中點(diǎn)，則A到平面的距離即為B到平面的距離，
過B作垂足為，
因?yàn)槊?，且?br>所以面面，又，面面，
則面，
則線段長度即為B到平面的距離，
，
所以A到平面的距離為.
名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行且全等
多邊形
互相平行且相似
側(cè)棱
平行且相等
相交于一點(diǎn)，但不一定相等
延長線交于一點(diǎn)
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一點(diǎn)
延長線交于一點(diǎn)
軸截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圓
側(cè)面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圓柱
圓錐
圓臺
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l
名稱
幾何體
表面積
體積
柱 體
(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝S底h
錐 體
(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)S底h
臺 體
(棱臺和圓臺)
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
求多面體
的表面積
只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積
求旋轉(zhuǎn)體
的表面積
可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系
求不規(guī)則
幾何體的
表面積
通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積
直接法
對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算
割補(bǔ)法
首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算
等體積法
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考點(diǎn)16 空間幾何體（核心考點(diǎn)講與練）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）(解析版）

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考點(diǎn)16 空間幾何體（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）

考點(diǎn)16 空間幾何體（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）
考點(diǎn)16 空間幾何體（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）

考點(diǎn)16 空間幾何體（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）
高中數(shù)學(xué)高考考點(diǎn)16 空間幾何體（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）(原卷版）

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