數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法
1.數(shù)列的定義
按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).
2.數(shù)列的分類
3.數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.
4.數(shù)列的通項(xiàng)公式
(1)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子an＝f(n)來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.
5.數(shù)列求和的幾種常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.
(2)裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.
1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān).
3.易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào).
4.Sn與an關(guān)系問題的求解思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
5.由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an＋k}．
(4)形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解．
6.在利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)應(yīng)注意：
(1)在把通項(xiàng)裂開后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差；
(2)要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．
7.用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意
(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意
與的關(guān)系
1. （2022湖北省新高考） 已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，若，則__________．
由遞推公式求通項(xiàng)
1.（2022河南省頂級(jí)名校9月開學(xué)聯(lián)考）若數(shù)列滿足：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022遼寧省盤錦市高級(jí)中學(xué)9月月考）已知數(shù)列滿足，，且=+-（n≥2），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________.
分組求和
1.（2022湖北省武漢市部分學(xué)校9月質(zhì)量檢測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的表達(dá)式.
2.（2022安徽省江淮十校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，
（t為常數(shù)）．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
裂項(xiàng)相消法求和
1.（2022河南省部分名校高三上學(xué)期8月份摸底）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
錯(cuò)位相減求和
1.（2021高三數(shù)學(xué)沖刺原創(chuàng)卷）已知是首項(xiàng)為1的單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其中，，
成等比數(shù)列．的前項(xiàng)和為，且，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
2.（2022河南省頂級(jí)名校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知數(shù)列、滿足：且，．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列滿足：，其中，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．
1.（2020年新課標(biāo)Ⅰ）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則 ______________.
2.（2020年新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．
（1）求的公比；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
3.（2021年全國高考乙卷）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）求的通項(xiàng)公式．
一、單選題
1．（2022·浙江嘉興·二模）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列
的前n項(xiàng)和，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)的值為（ ）
A．2020B．2024C．2022D．2023
二、多選題
3．（2022·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于恒成立，若定義，，則以下說法正確的是（ ）
A．是等差數(shù)列B．
C．D．存在使得
三、填空題
4．（2022·遼寧葫蘆島·一模）已知數(shù)列，，對(duì)于任意正整數(shù)m，n，都滿足，則______．
5．（2022·江西景德鎮(zhèn)·三模（理））已知數(shù)列和正項(xiàng)數(shù)列，其中，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，記，滿足．對(duì)于某個(gè)給定或的值，則下列結(jié)論中：①；②；③若，則數(shù)列單調(diào)遞增；④若，則數(shù)列從第二項(xiàng)起單調(diào)遞增．其中正確命題的序號(hào)為______．
四、解答題
6．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知是公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列，數(shù)列化的前2n項(xiàng)和為，若，求正整數(shù)n
的最小值.
7．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
8．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)二模）已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求證：．
9．（2022·廣東廣州·二模）問題：已知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在數(shù)列，滿足，__________﹖若存在．求通項(xiàng)公式﹔若不存在，說明理由．
在①﹔②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
10．（2022·浙江嘉興·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，對(duì)任意恒成立.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
分類標(biāo)準(zhǔn)
類型
滿足條件
項(xiàng)數(shù)
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)有限
無窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)無限
項(xiàng)與項(xiàng)
間的大
小關(guān)系
遞增數(shù)列
an＋1＞an
其中n∈N+
遞減數(shù)列
an＋1＜an
常數(shù)列
an＋1＝an
擺動(dòng)數(shù)列
從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

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