重難點15七種圓錐曲線的應用解題方法（核心考點講與練）-2024年高考數(shù)學一輪復習核心考點講與練（新高考專用）(解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

?重難點15七種圓錐曲線的應用解題方法（核心考點講與練）

題型一：弦長問題
一、單選題
1．（2022·福建廈門·模擬預測）已知拋物線的準線被圓所截得的弦長為，則（???????）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】有幾何關(guān)系，圓與拋物線交點的坐標與圓半徑滿足勾股定理，可求得準線，即可求得p
【詳解】由題，圓與拋物線都關(guān)于x軸對稱，故所截得的弦AB與x軸垂直，圓心為原點，圓半徑為2，則有，解得，故，得，
故選：C

2．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））己知直線l過拋物線的焦點，并且與拋物線C交于不同的兩點A、B，若為線段的中點，則的值為（???????）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】先求出拋物線的準線方程，分別過作準線的垂線，垂足分別為，由拋物線的定義可得出答案.
【詳解】拋物線的準線方程為：
分別過作準線的垂線，垂足分別為
則點到準線的距離為
根據(jù)拋物線的定義可得,且
所以
故選：C

3．（2022·河南鄭州·三模（文））斜率為1的直線l與橢圓相交于A，B兩點，則的最大值為（???????）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】設直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得弦長，即可得到最大值.
【詳解】設兩點的坐標分別為，，直線l的方程為，
由消去y得，
則，.
∴
，
∴當時，取得最大值，
故選:D.
二、多選題
4．（2022·河北邯鄲·二模）已知P是圓O：上的動點，點Q(1，0)，以P為圓心，PQ為半徑作圓P，設圓P與圓O相交于A，B兩點．則下列選項正確的是（???????）
A．當P點坐標為(2,0)時，圓P的面積最小
B．直線AB過定點
C．點Q到直線AB的距離為定值
D．
【答案】ACD
【分析】A由題意圓P的面積最小只需最小，結(jié)合圓的性質(zhì)判斷；B應用特殊點，討論為圓O在x軸交點分別判斷直線的位置即可判斷；C由兩圓相交弦所在直線的求法確定直線，再由點線距離公式判斷；D由垂直平分，結(jié)合弦心距、半徑、弦長關(guān)系得到關(guān)于圓P半徑的表達式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求范圍.
【詳解】A：根據(jù)圓的性質(zhì)知：P點坐標為(2,0)時最小，此時圓P的面積最小，正確；
B：若圓P的半徑為且，
如下圖，當為圓O在x軸右側(cè)交點，此時，顯然直線垂直于x軸，在點右側(cè)；

如下圖，當為圓O在x軸左側(cè)交點，此時，顯然直線也垂直于x軸，在點左側(cè)；

所以直線不可能過定點，錯誤；
C：由對稱性，不妨設，則，
所以圓P方程為，又直線為兩圓相交弦，
則圓P、圓O相減并整理得：直線，
所以Q到直線AB的距離為定值，正確；
D：由題意，與交于C且垂直平分，

令，則，可得，故，
所以，正確；
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：選項C利用兩圓相交求相交弦所在直線方程，結(jié)合點線距離公式求距離，選項D通過弦心距、弦長、半徑的幾何關(guān)系得到關(guān)于圓P半徑的表達式.
三、填空題
5．（2022·江蘇·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，以為直徑的圓分別與x軸交于異于F的P，Q兩點，若，則線段的長為________．
【答案】
【分析】作出圖形，結(jié)合幾何性質(zhì)求出，進而可求出直線的斜率，然后將直線方程與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達定理即可求出結(jié)果.
【詳解】

過點分別作準線的垂線，垂足分別為，過點作的垂線，垂足為，由題意可知，所以，設，
所以，且，因此，故，所以，即，因此直線的斜率為，又因為，所以直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，即，設，
則，因此，
故答案為：.
【點睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
6．（2022·江蘇泰州·模擬預測）已知拋物線，直線被拋物線C截得的弦長為8，則拋物線C的準線方程為___．
【答案】
【分析】聯(lián)立直線方程和拋物線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，利用弦長可求得，即可求得答案.
【詳解】由題意得，，消x可得，，
設，則，
故
，∴，則準線方程為，
故答案為：
四、解答題
7．（2022·全國·二模（理））已知動圓M經(jīng)過定點，且與圓相內(nèi)切．
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；
(2)設點T在上，過點T的兩條直線分別交軌跡C于A，B和P，Q兩點，且，求直線AB的斜率和直線PQ的斜率之和．
【答案】(1) (2) 0
【分析】（1）設動圓圓心，半徑為r，利用橢圓的定義可得到動圓圓心M的軌跡方程.
（2）設出AB直線方程和PQ直線方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達定理，利用弦長公式表示出，即可得到斜率之和.
(1)設動圓圓心，半徑為r，
由題意得：
得．
所以圓心M的軌跡是以，為焦點的橢圓，且
故軌跡C方程為．
(2)設，，，AB直線方程為，
，，PQ直線方程為，
聯(lián)立相消得，

同理，又，
，又，．
8．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（理））已知橢圓：的離心率為，直線交橢圓的弦長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)經(jīng)過定點的直線交橢圓于兩點，橢圓的右頂點為，設直線，的斜率分別為，，求證：恒為定值.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】根據(jù)韋達定理得弦長公式，結(jié)合離心率即可求解，進而得橢圓方程.
聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)兩點的斜率公式，即可化簡求解.
(1)∵，則，，∴即為：
把代入整理得：，則，
這時，，∴
∴所求的方程為：
(2)由題意可知，直線斜率存在.
設：即代入橢圓方程整理得：

∴，又
，同理
∴

【方法二】
平移坐標軸以為原點，這時的方程為

設：代入橢圓方程整理得：
，則，
這時，
9．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓中心三模（文））已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，
(1)求圓心的軌跡方程
(2)若過點且斜率的直線與交與兩點，線段的垂直平分線交軸與點，證明的值是定值.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得到