題型一:定義法求焦半徑
一、單選題
1． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））對(duì)于正數(shù)，，拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，線段與兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)分別為，．若，，則的值為（ ）
A．6B．C．7D．
2． (2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)線段的中點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．1
3． (2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為的直線l與拋物線C交于A，B（A在B的上方）兩點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A．B．C．2D．
4． (2023·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，Q為上一點(diǎn)，M為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)且軸.若為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在x軸上，且在點(diǎn)F的右側(cè)，，，，則準(zhǔn)線的方程為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．當(dāng)直線l過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與y軸相切
B．若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則直線AB的斜率為1
C．若，則弦長(zhǎng)AB最小值為8
D．當(dāng)直線l過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為2時(shí)，，，成等差數(shù)列
6． (2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知A（a，0），M（3，-2），點(diǎn)P在拋物線上，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，最小值為1
B．當(dāng)時(shí)，的最小值為3
C．當(dāng)時(shí)，的最小值為4
D．當(dāng)時(shí)，的最大值為2
7． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的方程為，的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)到軸的距離為2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的準(zhǔn)線方程為
B．的最大值為6
C．若，則直線的方程為
D．若，則面積的最小值為16
8． (2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知直線：與拋物線C：相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)是拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的公共點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
9． (2023·重慶一中高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)T（-1，0），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．若三角形TAB的面積為S，則S的最小值為
D．若線段AT中點(diǎn)為Q，且，則
三、解答題
10． (2023·遼寧·沈陽(yáng)二中模擬預(yù)測(cè)）曲線C的方程為，點(diǎn)D的坐標(biāo)，點(diǎn)P的坐標(biāo).
(1)設(shè)E是曲線C上的點(diǎn)，且E到D的距離等于4，求E的坐標(biāo)：
(2)設(shè)A，B是曲線C上橫坐標(biāo)不等于1的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB與y軸分別交于M?N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.證明；直線AB的斜率為定值，并求出此值.
11． (2023·河南焦作·三模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于點(diǎn)，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條互相垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為P，Q，求的最小值．
12． (2023·貴州畢節(jié)·三模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，且點(diǎn)與上點(diǎn)的距離的最大值為．
(1)求；
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，，是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，若直線，均與相切，求證：直線與相切．
題型二：定義轉(zhuǎn)換法求距離的最值問(wèn)題
一、單選題
1． (2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，則的最小值為（ ）
A．4B．5C．D．
2． (2023·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室二模（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1B．
C．D．6
3． (2023·河北張家口·三模）已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足記為N，動(dòng)點(diǎn)M滿足最小值為3，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q為以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則的最小值為（ ）
A．B．C．4D．5
5． (2023·河南·西平縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知M是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．10B．9C．8D．7
6． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且傾斜角為的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，交于點(diǎn)Q．下列說(shuō)法正確的是( )
A．
B．(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為
C．
D．若，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
二、多選題
7． (2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，為C上一動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為B．當(dāng)時(shí)，的值為6
C．的最小值為3D．的最大值為
8． (2023·湖北·宜城市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．的最小值為1B．的最小值為
C．的最小值為4D．的最小值為
9． (2023·福建福州·三模）已知拋物線的準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，以為圓心的圓與相切于點(diǎn)，點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)不重合，且，，則（ ）
A．圓的半徑是4
B．圓與直線相切
C．拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為4
D．拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和的最小值為4
三、填空題
10． (2023·山東·青島西海岸新區(qū)第一高級(jí)中學(xué)高三期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn)，圓M與線段MF相交于點(diǎn)A，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，若，則___________.
四、解答題
11． (2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知橢圓，經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線交于兩點(diǎn)，如圖.
(1)當(dāng)直線垂直軸時(shí)，，求的準(zhǔn)線方程；
(2)若三角形的重心在軸上，且，求的取值范圍.
題型三：定義法求焦點(diǎn)弦
一、單選題
1． (2023·河北石家莊·高三階段練習(xí)）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的等差中項(xiàng)為2，則（ ）
A．8B．6C．D．4
2． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（ ）
A．24B．20C．16D．12
二、多選題
3． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選題）已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)F作一直線l交拋物線于，兩點(diǎn)，以下結(jié)論正確的有（ ）
A．沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值B．
C．D．
4． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為、準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)、，點(diǎn)在上的射影為，則 （ ）
A．若，則
B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切
C．設(shè)，則
D．過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有條
三、填空題
5． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的焦點(diǎn)F恰好是圓的圓心，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，則______．
6． (2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)F與C交于A，B兩點(diǎn)，與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，若，則l的斜率為______．
四、解答題
7． (2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線被所截得的弦長(zhǎng)為.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點(diǎn)為拋物線上的任意一點(diǎn)，以為圓心的圓過(guò)點(diǎn)，且與直線相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
8． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）直線l：kx－y－k＝0過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C交于不同的兩點(diǎn)A，B．
(1)若，，成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)試判斷在x軸上存在多少個(gè)點(diǎn)，總在以AB為直徑的圓上．

重難點(diǎn)14三種拋物線解題方法（核心考點(diǎn)講與練）
能力拓展
題型一:定義法求焦半徑
一、單選題
1． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））對(duì)于正數(shù)，，拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，線段與兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)分別為，．若，，則的值為（ ）
A．6B．C．7D．
【答案】C
【分析】由拋物線方程求出其焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，由條件結(jié)合拋物線的定義列方程求出即可.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又，所以，
設(shè)，，
則，，
所以，又，
所以，
又，
所以，又，
所以，
故選：C.
2． (2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)線段的中點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】先設(shè)出，由拋物線定義求出，勾股定理求出，結(jié)合基本不等式求出的最大值即可.
【詳解】
如圖，以開口向右的拋物線為例，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，設(shè)，
則，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則，，
則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
即的最大值為.
故選：C.
3． (2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為的直線l與拋物線C交于A，B（A在B的上方）兩點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】設(shè)直線l的傾斜角為，求得．過(guò)A作準(zhǔn)線于，過(guò)B作準(zhǔn)線于，過(guò)B作于.由拋物線定義求出和.
在直角三角形ABC中，利用余弦的定義表示出,即可解得．
【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，根據(jù)條件可得，則可得．
過(guò)A作準(zhǔn)線于，過(guò)B作準(zhǔn)線于，過(guò)B作于.
由拋物線定義可得：.
因?yàn)椋?
而.
在直角三角形ABC中，,解得：．
故選：C
4． (2023·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，Q為上一點(diǎn)，M為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)且軸.若為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在x軸上，且在點(diǎn)F的右側(cè)，，，，則準(zhǔn)線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的定義以及已知的幾何關(guān)系，判斷出為等邊三角形，再運(yùn)用焦半徑公式求出邊長(zhǎng)，進(jìn)而解得的取值，求出準(zhǔn)線方程.
【詳解】由題意得，如圖，
點(diǎn)在焦點(diǎn)的右邊，且，，
由拋物線的定義知，∵，∴，
又，軸，
∴為等邊三角形，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，
又，∴，解得，
∴準(zhǔn)線的方程為，
故選：C.
二、多選題
5． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．當(dāng)直線l過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與y軸相切
B．若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則直線AB的斜率為1
C．若，則弦長(zhǎng)AB最小值為8
D．當(dāng)直線l過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為2時(shí)，，，成等差數(shù)列
【答案】ABC
【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線定義，可得，即可得AF為直徑的圓的半徑和圓心坐標(biāo)，又圓心到y(tǒng)軸距離為，即可判斷A的正誤；由題意，求得直線l的方程，即可判斷B的正誤；根據(jù)題意，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，可得長(zhǎng)表達(dá)式，根據(jù)m的范圍，即可判斷C的正誤；由題意得，根據(jù)焦半徑公式結(jié)合韋達(dá)定理，可求得k值，即可判斷D的正誤，即可得答案.
【詳解】設(shè)直線l的方程為，，．
聯(lián)立，消去x得，
由韋達(dá)定理得，．
對(duì)于A：，以AF為直徑的圓半徑為，圓心為，
圓心到y(tǒng)軸距離為，故以AF為直徑的圓與y軸相切，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：∵，∴，即，
∴直線l的方程為，∴直線AB的斜率為1，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C：若，則，
∴，∴，
則．
又，∴當(dāng)時(shí)，AB取最小為8，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：根據(jù)題意可得直線l的斜率存在．∵拋物線的焦點(diǎn)，
∴直線l的方程可設(shè)為，
與拋物線方程聯(lián)立，消去y整理得．
設(shè)，，∴，．
若，，成等差數(shù)列，則有，
即，化簡(jiǎn)得．
又，解得或（舍去）．
∵，∴，解得，
所以，與已知矛盾，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：ABC．
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義、焦半徑公式、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，并靈活應(yīng)用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.
6． (2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知A（a，0），M（3，-2），點(diǎn)P在拋物線上，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，最小值為1
B．當(dāng)時(shí)，的最小值為3
C．當(dāng)時(shí)，的最小值為4
D．當(dāng)時(shí)，的最大值為2
【答案】ACD
【分析】當(dāng)時(shí)，得到為拋物線焦點(diǎn)，利用焦半徑求出，從而判斷A選項(xiàng)；作輔助線，得到當(dāng)N，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，求出最小值，判斷C選項(xiàng)；延長(zhǎng)AM交拋物線于點(diǎn)，此時(shí)為的最大值，求出最大值，判斷D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，利用兩點(diǎn)間距離公式和配方求出最小值，判斷B選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)時(shí)，為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，
則，故的最小值為1，A正確；
設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥l于點(diǎn)N，
此時(shí)，
故當(dāng)N，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，C正確；
當(dāng)時(shí)，，
連接AM，并延長(zhǎng)AM交拋物線于點(diǎn)，
此時(shí)為的最大值，
當(dāng)在其他位置時(shí)，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，可知均小于，
因?yàn)?，故D正確；
此時(shí)
當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤.
故選：ACD
7． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的方程為，的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)到軸的距離為2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的準(zhǔn)線方程為
B．的最大值為6
C．若，則直線的方程為
D．若，則面積的最小值為16
【答案】BCD
【分析】直接求出準(zhǔn)線方程即可判斷A選項(xiàng)；由以及拋物線的定義結(jié)合即可判斷B選項(xiàng)；設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立拋物線，由解出點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷C選項(xiàng)；由求得直線恒過(guò)點(diǎn)結(jié)合即可求出面積最小值，即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】
由題意知的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故的準(zhǔn)線方程為， A錯(cuò)誤；
設(shè)的中點(diǎn)為，分別過(guò)點(diǎn)，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，
因?yàn)榈捷S的距離為2，所以.
由拋物線的定義知，，所以.
因?yàn)?，所以，所以B正確；
由得直線過(guò)點(diǎn)，直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得化簡(jiǎn)得，
則.由于，所以，得，
得，所以，
所以，直線的方程為，故C正確；
設(shè)，，由，得，又
所以，由題意知，所以.
又，故直線的方程為.
由于，所以，
則直線恒過(guò)點(diǎn)，所以，
所以面積的是小值為16，故D正確.
故選：BCD.
8． (2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知直線：與拋物線C：相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)是拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的公共點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線為，利用拋物線的幾何性質(zhì)求出和拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直線的方程可知，直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，利用拋物線的定義表示出以為直徑的圓的半徑和圓心,由得到關(guān)于的方程，解方程求出，利用拋物線的定義求得焦半徑計(jì)算可判斷的對(duì)錯(cuò).
【詳解】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線為，即，解得，故選項(xiàng)A正確；
因?yàn)椋話佄锞€的方程為：，其焦點(diǎn)為，
又直線 ，所以直線恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，
聯(lián)立方程，兩式相減可得，，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
解得可得，所以點(diǎn)是以為直徑的圓的圓心，
由拋物線的定義知，圓的半徑，
因?yàn)椋裕?br>解得，故選項(xiàng)B正確；
因?yàn)椋?所以，故選項(xiàng)C正確；
過(guò)做軸，過(guò)做軸，拋斷線的準(zhǔn)線交軸與點(diǎn)，設(shè),
，，
，，
又，，則，
則D錯(cuò)誤.
故選：ABC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式；考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力；熟練掌握直線與拋物線的位置關(guān)系和拋物線的幾何性質(zhì)、圓的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于綜合型、難度大型試題.
9． (2023·重慶一中高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)T（-1，0），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．若三角形TAB的面積為S，則S的最小值為
D．若線段AT中點(diǎn)為Q，且，則
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)，設(shè)出直線AB：，與聯(lián)立后得到兩根之積；B選項(xiàng)，利用拋物線的定義得到，，轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積的關(guān)系式，代入求解；C選項(xiàng)，表達(dá)出，求出最小面積；D選項(xiàng)，根據(jù)得到，，得到，進(jìn)而計(jì)算出，求出.
【詳解】將直線AB：與聯(lián)立得：
設(shè)，則，故A正確；
由拋物線的定義可知：，，
則
，B正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故S的最小值為4，C錯(cuò)誤；
由可得：，即，
所以，
解得：或（舍去），
又因?yàn)椋裕?br>因此，D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)是比較多的，要重點(diǎn)記憶一些，比如，，等.
三、解答題
10． (2023·遼寧·沈陽(yáng)二中模擬預(yù)測(cè)）曲線C的方程為，點(diǎn)D的坐標(biāo)，點(diǎn)P的坐標(biāo).
(1)設(shè)E是曲線C上的點(diǎn)，且E到D的距離等于4，求E的坐標(biāo)：
(2)設(shè)A，B是曲線C上橫坐標(biāo)不等于1的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB與y軸分別交于M?N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.證明；直線AB的斜率為定值，并求出此值.
【答案】(1)或.(2)證明見(jiàn)解析，定值為.
【分析】（1）化簡(jiǎn)曲線曲線C的方程得，根據(jù)拋物線的定義可求出結(jié)果；
（2）聯(lián)立直線與拋物線方程求出的坐標(biāo)，利用的垂直平分線經(jīng)過(guò)得到與的斜率為相反數(shù)，再聯(lián)立直線與拋物線方程得到的坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式可證結(jié)論成立.
(1)曲線C的方程為，
移項(xiàng)平方得，化簡(jiǎn)得，
∴曲線C的方程為.
∴為拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線.
設(shè)，則.∵，，解得.
∴，解得.∴E的坐標(biāo)為或.
(2)∵，曲線C的方程為，點(diǎn)在曲線C上，
∵A?B是曲線C上橫坐標(biāo)不等于1的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，直線PA?PB與y軸分別交于點(diǎn)M?N，∴直線PA?PB的斜率都存在，且都不為0，
分別設(shè)為k?，則，
直線PA的方程為，即.
當(dāng)時(shí)，，即.
同理可得.
∵線段MN的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，
∴，即.
由，得：.
設(shè)，則1，是的解.
由書達(dá)定理得：
∴，同理可得
∴，∴直線AB的斜率為定值.
11． (2023·河南焦作·三模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于點(diǎn)，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條互相垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為P，Q，求的最小值．
【答案】(1)(2)8
【分析】（1）設(shè)出，由焦半徑得到方程，求出，進(jìn)而求出拋物線方程；
（2）設(shè)出直線方程，表達(dá)出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)出，利用基本不等式求出最小值.
(1)依題意，設(shè)．
由拋物線的定義得，解得：，
因?yàn)樵趻佄锞€上，
所以，所以，解得：．
故拋物線的方程為．
(2)由題意可知，直線的斜率存在，且不為0．
設(shè)直線的方程為，，．
聯(lián)立，整理得：，
則，從而．
因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以，
同理可得．
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，
故的最小值為8．
【點(diǎn)睛】圓錐曲線與直線相交問(wèn)題，一般設(shè)出直線方程，聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合題目條件列出方程，或表達(dá)出弦長(zhǎng)，常常結(jié)合基本不等式或二次函數(shù)等進(jìn)行求解.
12． (2023·貴州畢節(jié)·三模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，且點(diǎn)與上點(diǎn)的距離的最大值為．
(1)求；
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，，是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，若直線，均與相切，求證：直線與相切．
【答案】(1)或(2)證明見(jiàn)解析
【分析】(1)作圖，分析圖中的幾何關(guān)系即可求解；
(2)分別寫出BD，BE，ED的直線方程，化簡(jiǎn)，利用點(diǎn)到直線距離公式即可.
(1)依題意作下圖：
由于，依題意有
解得或；
(2)
當(dāng)時(shí)，拋物線，
設(shè)，，的坐標(biāo)分別為，，，
由題意可知直線，，的斜率均存在，
所以 ，
直線的方程為，
即，直線均與相切，
所以有，即…①，
同理…②，
得： ， ，
所以直線的方程為 ，，
所以圓心到直線的距離為 ，
所以直線與相切；
題型二：定義轉(zhuǎn)換法求距離的最值問(wèn)題
一、單選題
1． (2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，則的最小值為（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)焦點(diǎn)為，到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義，可得，故將變?yōu)?求得答案.
【詳解】設(shè)焦點(diǎn)為，到準(zhǔn)線的距離為，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)P,M,F三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
故選：A．
2． (2023·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室二模（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1B．
C．D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)，代入得利用基本不等式處理．
【詳解】設(shè)直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，
設(shè)，，則，，
所以，，
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
故選：B．
3． (2023·河北張家口·三模）已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足記為N，動(dòng)點(diǎn)M滿足最小值為3，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分點(diǎn)M在拋物線外部，點(diǎn)M在拋物線上或內(nèi)部?jī)煞N情況討論得解.
【詳解】當(dāng)點(diǎn)M在拋物線外部時(shí)，，，
點(diǎn)M的軌跡方程為（在拋物線外部的部分），
與聯(lián)立解得，
∴ 軌跡與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為，，則，圓在拋物線外部的弧長(zhǎng)為；
當(dāng)點(diǎn)M在拋物線上或內(nèi)部時(shí)，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)點(diǎn)M的軌跡方程為，其長(zhǎng)度為.
所以點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為.
故選：C.
4． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q為以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則的最小值為（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)圓內(nèi)的定點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離關(guān)系確定的最大值，結(jié)合拋物線的定義求其最小值.
【詳解】設(shè)圓P的半徑為r，則．易知的最大值．設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義得，
故選：C．
5． (2023·河南·西平縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知M是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】過(guò)M作直線的垂線，垂足為N，根據(jù)拋物線的定義可知，即求的最小值，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)兩點(diǎn)之間距離最短可求解.
【詳解】由題意直線為拋物線的準(zhǔn)線.
過(guò)M作直線的垂線，垂足為N，根據(jù)拋物線的定義可知，
故,即求的最小值，
當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即過(guò)點(diǎn)C作直線的垂線，此時(shí)
所以過(guò)點(diǎn)C作直線的垂線，與拋物線的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)M，此時(shí)，
故的最小值為9
故選：B
6． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且傾斜角為的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，交于點(diǎn)Q．下列說(shuō)法正確的是( )
A．
B．(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為
C．
D．若，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
【答案】A
【分析】設(shè)l的方程，和拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)關(guān)系，求出，根據(jù)求出p的值.
A：用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，驗(yàn)證兩斜率之積是否為－1；
B：利用三角形面積公式即可求解；
C：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)可判斷；
D：數(shù)形結(jié)合，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線的距離即可求出最值.
【詳解】∵l過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為，
∴直線l的方為，與拋物線方程聯(lián)立，得，
設(shè)，則，，
∴，，
又，∴，∴；
不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
∴過(guò)A的切線斜率為，
同理可得過(guò)B的切線斜率為，
∴，∴，故A正確；
，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；
設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，若，則，則D錯(cuò)誤．
故選：A．
二、多選題
7． (2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，為C上一動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為B．當(dāng)時(shí)，的值為6
C．的最小值為3D．的最大值為
【答案】BCD
【分析】A選項(xiàng)，求導(dǎo)，求出在的導(dǎo)函數(shù)值，即切線斜率，進(jìn)而用點(diǎn)斜式求出切線方程；B選項(xiàng)，由焦半徑求出的值；C選項(xiàng)，利用拋物線定義得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)和最小，求出最小值；D選項(xiàng)，作出輔助線，找到.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，所以，
所以拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程為，整理得：，A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故，B正確；
如圖，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥準(zhǔn)線于點(diǎn)B，則由拋物線定義可知：，則，當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，和最小，最小值為1+2=3，C正確；
由題意得：，連接AF并延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)P，此點(diǎn)即為取最大值的點(diǎn)，此時(shí)，其他位置的點(diǎn)，由三角形兩邊之差小于第三邊得：，故的最大值為，D正確.
故選：BCD
8． (2023·湖北·宜城市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．的最小值為1B．的最小值為
C．的最小值為4D．的最小值為
【答案】AC
【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷A，根據(jù)圓的性質(zhì)判斷B，結(jié)合拋物線的定義判斷C，D.
【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，作出圖象，
對(duì)選項(xiàng)A：由拋物線的性質(zhì)可知：的最小值為，選項(xiàng)A正確；
對(duì)選項(xiàng)B：注意到F是定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可知：的最小值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)CD：過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由拋物線定義可知，故，的最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，故最小值為4，從而選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：AC.
9． (2023·福建福州·三模）已知拋物線的準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，以為圓心的圓與相切于點(diǎn)，點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)不重合，且，，則（ ）
A．圓的半徑是4
B．圓與直線相切
C．拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為4
D．拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和的最小值為4
【答案】AC
【分析】由拋物線的定義，得，又，，易得是等邊三角形，結(jié)合圖像得到，即可求解；求得的坐標(biāo)，則判斷出A和B選項(xiàng)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，得到的最小值；設(shè)交于點(diǎn)，通過(guò)拋物線的定義結(jié)合三點(diǎn)共線得，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】由拋物線的定義，得，，準(zhǔn)線
以為圓心的圓與相切于點(diǎn)，所以，即軸，
又，所以；因?yàn)?，所以是等邊三角形，即?br>設(shè)點(diǎn)在第一象限，作的中點(diǎn)，連接，
，，則，即，
解得：，則拋物線的方程為：，則=3，
對(duì)于A選項(xiàng)，有，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，易得圓與直線不相切，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)拋物線上的點(diǎn)，則
化簡(jiǎn)，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線交于點(diǎn)，
由拋物線的定義，知，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：AC.
三、填空題
10． (2023·山東·青島西海岸新區(qū)第一高級(jí)中學(xué)高三期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn)，圓M與線段MF相交于點(diǎn)A，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，若，則___________.
【答案】
【分析】先將點(diǎn)M代入拋物線方程得到一個(gè)關(guān)系式，而后利用拋物線的定義將A到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，然后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式用勾股定理得到第二個(gè)關(guān)系式，進(jìn)一步解出即可.
【詳解】如圖所示，在拋物線上，則……①
易知，，
由，
因?yàn)楸恢本€截得的弦長(zhǎng)為，則，
由， 于是在中，
……②
由①②解得：，所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題應(yīng)當(dāng)結(jié)合拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和定義以及勾股定理在拋物線中的應(yīng)用，一定要結(jié)合圖形找到各個(gè)量之間的聯(lián)系，拋物線題目切記拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離.
四、解答題
11． (2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知橢圓，經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線交于兩點(diǎn)，如圖.
(1)當(dāng)直線垂直軸時(shí)，，求的準(zhǔn)線方程；
(2)若三角形的重心在軸上，且，求的取值范圍.
【答案】(1)x=-1；(2)
【分析】(1)根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得，根據(jù)題意可得，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線方程求出p的值即可；
(2)根據(jù)題意設(shè)，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線PB的斜率進(jìn)而表示出方程，聯(lián)立橢圓方程并消去x，利用韋達(dá)定理求出，根據(jù)三角形的重心可得，列出方程并解之得出，利用拋物線的定義表示，結(jié)合換元法化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
(1)由知，，
當(dāng)直線PF垂直于x軸時(shí)，由，得，
有，
所以的準(zhǔn)線方程為：，即；
(2)由題意知，，設(shè)直線，，
則，，
，
由，即直線PB的斜率為，
所以直線PB的方程為：，即，
，
，又G為的重心，且G在x軸上，故，
所以，又，所以，
整理，得，解得，
①，令，則，
所以①式②，
令，則，
所以②式，
故的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、曲線的條件；
(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與 聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積和取值范圍等問(wèn)題．
題型三：定義法求焦點(diǎn)弦
一、單選題
1． (2023·河北石家莊·高三階段練習(xí)）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的等差中項(xiàng)為2，則（ ）
A．8B．6C．D．4
【答案】B
【分析】由題可得，然后利用焦點(diǎn)弦公式即得.
【詳解】∵過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的等差中項(xiàng)為2，
∴，
∴.
故選：B.
2． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（ ）
A．24B．20C．16D．12
【答案】C
【分析】設(shè)兩條直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式求出最小值
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線：，直線：，
聯(lián)立 得：，所以，所以焦點(diǎn)弦，同理得：，所以，因?yàn)?，所?br>，
故選：C
二、多選題
3． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選題）已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)F作一直線l交拋物線于，兩點(diǎn)，以下結(jié)論正確的有（ ）
A．沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】可設(shè)直線AB的方程為，將其與拋物線的方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，得到，判斷出C選項(xiàng)，由拋物線的定義知，，，求出，判斷出B選項(xiàng)，由基本不等式判斷出A選項(xiàng)，表達(dá)出，代入兩根之和，兩根之積即可.
【詳解】由題意知，，直線AB的斜率不可能為0，故可設(shè)其方程為，聯(lián)立，消去x，得，，，即選項(xiàng)C正確；由拋物線的定義知，,，
所以，即選項(xiàng)B正確；
∵，
∴，
∴，∴有最小值，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
又，
∴，即選項(xiàng)D正確；
故選：BCD
4． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為、準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)、，點(diǎn)在上的射影為，則 （ ）
A．若，則
B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切
C．設(shè)，則
D．過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有條
【答案】ABC
【分析】利用拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可判斷AB選項(xiàng)；利用拋物線的定義結(jié)合三點(diǎn)共線可判斷C選項(xiàng)；求出過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，則，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，線段的中點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線的方程為，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，B對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，顯然直線，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
設(shè)過(guò)且斜率不為零的直線為，
聯(lián)立，可得，令，則，
所以直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)有三條直線符合題意，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、填空題
5． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的焦點(diǎn)F恰好是圓的圓心，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，則______．
【答案】8
【分析】根據(jù)題意可得：，，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理求．
【詳解】由題意知，焦點(diǎn)，則拋物線，
直線，設(shè)，，
聯(lián)立消去y并整理得．則，
所以．
故答案為：8．
6． (2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)F與C交于A，B兩點(diǎn)，與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，若，則l的斜率為______．
【答案】
【分析】分點(diǎn)A在第一象限和第四象限考慮，由結(jié)合拋物線定義求得，，由勾股定理求得，由即可求出斜率.
【詳解】
如圖，當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，．設(shè)，則由，
可得，從而，所以，則，所以，
故直線l的斜率為．同理，當(dāng)點(diǎn)A在第四象限時(shí)，可求得直線l的斜率為．綜上，直線l的斜率為．
故答案為：.
四、解答題
7． (2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線被所截得的弦長(zhǎng)為.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知點(diǎn)為拋物線上的任意一點(diǎn)，以為圓心的圓過(guò)點(diǎn)，且與直線相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可構(gòu)造方程求得，由此可得拋物線方程；
（2）設(shè)，圓的半徑為，利用面積公式，借助可求得，結(jié)合拋物線定義可知，由此可得，進(jìn)而得到所求范圍.
(1)
由拋物線方程得：，可設(shè)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線為：，
由得：，
由拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得：，解得：，
拋物線的方程為：.
(2)
由（1）知：，準(zhǔn)線方程為：；
設(shè)，圓的半徑為，則，，
，又，；
由拋物線定義可知：，即，，
即的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，本題第二問(wèn)求解的基本思路是能夠?qū)⑺缶嚯x之積轉(zhuǎn)化為關(guān)于圓的半徑的函數(shù)的形式，通過(guò)拋物線定義確定的取值范圍后，即可得到所求距離之積的取值范圍.
8． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）直線l：kx－y－k＝0過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C交于不同的兩點(diǎn)A，B．
(1)若，，成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)試判斷在x軸上存在多少個(gè)點(diǎn)，總在以AB為直徑的圓上．
【答案】(1)(2)1個(gè)
【分析】（1）由直線l的方程判斷出拋物線C的焦點(diǎn)，求出.設(shè)，．用“設(shè)而不求法”得到，由，，成等差數(shù)列，得到，解出斜率k；
（2）把整理得：，利用得到，求出滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè).
(1)直線l的方程可寫為，可知直線l恒過(guò)定點(diǎn)，即拋物線C的焦點(diǎn)，所以，p＝2，因此．
設(shè)，．
聯(lián)立整理得，恒成立，所以，．
因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以．
又因?yàn)?，，?br>所以，整理得．又，
即，即，解得或（舍去），則．
所以，
解得k．故實(shí)數(shù)k的值為．
(2)若存在點(diǎn)總在以AB為直徑的圓上，即AT⊥TB，則，
即，整理得．
又，所以，則，
恒成立，且，故滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)．

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