?重難點(diǎn)08 七種數(shù)列數(shù)學(xué)思想方法（核心考點(diǎn)講與練）

題型一：函數(shù)與方程思想
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足：，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出在上恒成立，作出圖象，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意知，
設(shè)，

則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
畫出函數(shù)和的圖象，如圖，

由圖象可得，，
故選：D.
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（???????）
A．時(shí)，是遞減數(shù)列 B．時(shí)，是遞增數(shù)列
C．時(shí)， D．時(shí)，
【答案】C
【分析】設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出當(dāng)時(shí)，成立，從而可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，，由此可判斷選項(xiàng)B；結(jié)合蛛網(wǎng)圖可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，同時(shí)結(jié)合C中結(jié)論可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】設(shè)，，則，
若，則，所以存在，使所以，
此時(shí)，，
又，所以，即，
當(dāng)時(shí)，，，
所以時(shí)，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
易知函數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)，，
所以時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，， ，
所以時(shí)，，所需選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
要證，只需證，
即證
即只需證，
所以只需證，
由結(jié)合蛛網(wǎng)圖，可得到，
所以，所以選項(xiàng)C正確；

因?yàn)樗詴r(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，
且當(dāng)時(shí)，，同時(shí)結(jié)合C中結(jié)論可推出選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選C
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若是公差為d（）的等差數(shù)列，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，對(duì)于AB，令，可得，即，由于正負(fù)不確定，無(wú)法比較大?。粚?duì)于CD，令，可得，即，令，可得，即，作差法比較，進(jìn)而得到選項(xiàng).
【詳解】是公差為d（）的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為
，即
對(duì)于AB，當(dāng)時(shí)，，整理得：，即
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故AB錯(cuò)誤；
對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，，整理得：，又，
，
當(dāng)時(shí)，，整理得：，即
，


顯然為減函數(shù)，且，
又，，即，故D正確；
故選：D
4．（2021·浙江·高三階段練習(xí)）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，，給出下列三個(gè)結(jié)論：①若，則數(shù)列僅有有限項(xiàng)；②若，則數(shù)列單調(diào)遞增；③若，則對(duì)任意的，陼存在，使得成立．則上述結(jié)論中正確的為（???????）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】對(duì)于①，利用數(shù)列的單調(diào)性，通過(guò)累加法即可作出判斷；對(duì)于②，先證明，再借助作差法即可得到結(jié)果；對(duì)于③，判斷數(shù)列是有界的還是發(fā)散的即可.
【詳解】對(duì)于①，∵，∴，
又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)都為正數(shù)，∴，
∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴，∴；
∵，即
∴，
∴
，
∴，即，
∴，即，而為定值，
∴數(shù)列僅有有限項(xiàng)，命題正確；
對(duì)于②，先用數(shù)學(xué)歸納法證明.
（1）當(dāng)時(shí)，，顯然成立；
（2）假設(shè)時(shí)，，
則，
記，，
，∴在上單調(diào)遞增，
，
∴，
∴對(duì)，都有.
∵∴，
∴，
又在上單調(diào)遞增，
又，∴，
∴數(shù)列單調(diào)遞增，命題正確；
對(duì)于③，
∵，
∴，即，
又，∴，
∴，
∴，
∴，
顯然存在上界，即存在上界，
∴命題錯(cuò)誤.
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遞推關(guān)系顯然無(wú)法確定通項(xiàng)，從而要從項(xiàng)間關(guān)系切入，利用單調(diào)性、最值、周期性等，結(jié)合放縮思想即可得到結(jié)果.
二、多選題
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是公差為的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（???????）
A．若，則數(shù)列有最大項(xiàng)
B．若數(shù)列有最大項(xiàng)，則
C．若數(shù)列對(duì)任意的，恒成立，則
D．若對(duì)任意的，均有，則恒成立
【答案】ABD
【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，可看作關(guān)于的二次函數(shù)且，對(duì)于選項(xiàng)和，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷正誤；對(duì)于選項(xiàng)，舉出反例，即可判斷正誤；對(duì)于選項(xiàng)，由并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可得出，，即可判斷正誤，從而得出答案.
【詳解】解：由于等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，
對(duì)于選項(xiàng)，若，則有最大值，則數(shù)列有最大項(xiàng)，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)數(shù)列有最大項(xiàng)，則對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有最大值時(shí)，可知，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，令，對(duì)任意的，則數(shù)列遞增，滿足恒成立，但
，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)，若對(duì)任意的，均有，則，，則必為遞增數(shù)列，故選項(xiàng)正確.
綜上可知，正確的命題是ABD.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，，可看成關(guān)于的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題，考查邏輯推理能力和函數(shù)思想.
6．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，公差，和是函數(shù)的極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（???????）
A．－38 B． C． D．
【答案】ACD
【解析】首先根據(jù)和是函數(shù)的極值點(diǎn)，可以計(jì)算出數(shù)列的公差以及首項(xiàng)即可得出答案
【詳解】由題得，令，又因?yàn)楣?，所?，所以，經(jīng)計(jì)算，.所以
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了極值點(diǎn)以及等差數(shù)列的通項(xiàng)式和前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題。
三、填空題
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知：為整數(shù)且，則n的最小值為_(kāi)____________．
【答案】5
【分析】根據(jù)題意，由小到大代入整數(shù)n的值驗(yàn)證得出答案.
【詳解】根據(jù)題意，.
時(shí)，題中等式化簡(jiǎn)為
所以可看成是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解
而方程的判別式為，顯然方程的判別式為開(kāi)不盡的數(shù)
所以上述方程無(wú)整數(shù)解，即不符合題意；
時(shí)，題中等式化為
根據(jù)題意，可設(shè)，且為整數(shù)，又
同時(shí)為負(fù)整數(shù)時(shí)， 此時(shí)得
顯然不存在滿足題目條件的，即同時(shí)為負(fù)整數(shù)時(shí)不符合題意；
同時(shí)為正數(shù)時(shí)，得 ，
此時(shí)，顯然不滿足條件；
三個(gè)數(shù)中有一個(gè)為0時(shí)，情況與相同
所以時(shí)，不符合題意；
時(shí)，同上可設(shè)由 知，
當(dāng) 均為整數(shù)時(shí)， ，顯然不符合題意
當(dāng)存在負(fù)數(shù)時(shí)， ，此時(shí)有
同時(shí)的分析方法，不存在符合條件的.
所以，不符合題意；
時(shí)，取，此時(shí)滿足題中條件
所以滿足條件的n的最小值為5.
故答案為：5.
8．（2022·浙江·龍港中學(xué)高三階段練習(xí)）等差數(shù)列滿足，則的取值范圍是______．
【答案】
【分析】由題設(shè)可得，令則，可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，利用二次函數(shù)性質(zhì)求t范圍即可.
【詳解】由題設(shè)，，即，
當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，顯然有矛盾，故，
令，則，
所以，
令，則在上有解，
又開(kāi)口向上且對(duì)稱軸為，，
當(dāng)，即時(shí)，，滿足要求；
當(dāng)時(shí)，，又，，滿足要求；
綜上，.
故答案為：
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，．若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【分析】由已知得，運(yùn)用累加法求得，代入不等式，由恒成立思想可得答案.
【詳解】解：∵時(shí)，，即，
∴
．
又時(shí)，也符合上式，∴．
不等式化為，
∵，∴．
故答案為：.
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某新學(xué)校高一、高二、高三共有學(xué)生1900名，為了了解同學(xué)們對(duì)學(xué)校關(guān)于對(duì)手機(jī)管理的意見(jiàn)，計(jì)劃采用分層抽樣的方法，從這1900名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本容量為38的樣本，若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好組成一個(gè)以為公比的等比數(shù)列，則此學(xué)校高一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)_____人．
【答案】900
【分析】假設(shè)高一、高二、高三抽取人數(shù)分別為，根據(jù)抽取的容量可得，然后簡(jiǎn)單計(jì)算，即可得到高一人數(shù).
【詳解】因?yàn)楦咭弧⒏叨?、高三抽取的人?shù)恰好組成一個(gè)以為公比的等比數(shù)列
設(shè)從高二年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為人，
則從高二、高三年級(jí)抽取的人數(shù)分別為.
由題意可得，所以.
設(shè)我校高一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為N，再根據(jù)，
求得.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的應(yīng)用，熟悉分層抽樣的概念以及基本量的計(jì)算是解題關(guān)鍵.
四、解答題
11．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先令，求出，然后利用，代入便可求的通項(xiàng)公式.
（2）求導(dǎo)后分析單調(diào)性，便可知數(shù)列的最值.
(1)解：由題意得：



當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，解得
故數(shù)列的通項(xiàng)公式
(2)由（1）可知：
設(shè)函數(shù)
則
令，解得，可知
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
可以看成函數(shù)取正整數(shù)時(shí)的離散的點(diǎn).
因?yàn)闉檎麛?shù)，故或，有為數(shù)列的最大值.
故數(shù)列的最大項(xiàng)為：
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且，，均為常數(shù)）的圖象上.
(1)求的值；
(2)當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)由（2），是否存在最小的整數(shù)，使得對(duì)于任意的，均有，若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】(1).(2).(3)存在，.
【分析】（1）由已知得，由求得 ，再根據(jù)等比數(shù)列的定義可求得答案；
（2）由（1）求得數(shù)列，再運(yùn)用錯(cuò)位相減法求得答案；
（3）運(yùn)用作差法判斷出數(shù)列的單調(diào)性，由此可得答案.
(1)解：因?yàn)閷?duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且，，均為常數(shù)）的圖象上，所以得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，公比為，所以，解得，首項(xiàng)，
；
(2)解：當(dāng)時(shí)，，，
則，，
兩式相減，得，
；
(3)解：若使得對(duì)于任意的，都成立，，即對(duì)于任意的，都成立，
又，
的最大值在時(shí)取得，最大值為2，
，，所以存在這樣的符合題意.
題型二：數(shù)形結(jié)合思想

一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知點(diǎn)在直線
上，若有且只有兩個(gè)正整數(shù)n滿足，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為8，公差為-2，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得或5時(shí)，取得最大值為20，根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得k的取值范圍．
【詳解】解：由已知可得，
由，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為8，公差為-2，
所以，
當(dāng)n=4或5時(shí)， 取得最大值為20，
因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)正整數(shù)n滿足，
所以滿足條件的和，
因?yàn)椋?br /> 所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是．
故選：C．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：最值范圍問(wèn)題常用的方法有：（1）函數(shù)單調(diào)性法；（2）數(shù)形結(jié)合法；（3）導(dǎo)數(shù)法；（4）基本不等式法.要根據(jù)已知靈活選擇合適的方法求解.
2．（2020·黑龍江·牡丹江一中高三階段練習(xí)（理））定義.若函數(shù)，數(shù)列滿足（），若是等差數(shù)列，則的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】求得的解析式，根據(jù)是等差數(shù)列，取得的取值范圍.
【詳解】由于定義，而函數(shù)，由解得或，畫出的圖像如下圖所示，
由圖可知.
由于數(shù)列滿足（），且是等差數(shù)列.當(dāng)時(shí)，，，……，推辭類推，數(shù)列 是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，符合題意.
當(dāng)時(shí)，，要使是公差為的等差數(shù)列，則需，解得或不符合.由，解得或.則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列.此時(shí)為等差數(shù)列.
當(dāng)時(shí)，由于，故不能構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，也不是常數(shù)列，不符合題意.
綜上所述，的取值范圍是
故選：C
【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)解析式的求法，考查等差數(shù)列的知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題.
二、填空題
3．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，（
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】先設(shè)，則在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，，的圖像，結(jié)合圖像，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
則在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，
在直角坐標(biāo)系中分別畫出，的圖象，
函數(shù)與都過(guò)點(diǎn)，
又當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)相交于，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)相交于點(diǎn)，
根據(jù)條件得圖象如下圖所示，
顯然函數(shù)，過(guò)定點(diǎn)，
由圖象易得，當(dāng)時(shí)，將函數(shù)旋轉(zhuǎn)到過(guò)點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的斜率為，
所以時(shí)，在上恒成立，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合的思想，熟記分段函數(shù)的性質(zhì)等即可，屬于常考題型.
4．（2020·山西長(zhǎng)治·高三階段練習(xí)（理））定義R在上的函數(shù)為奇函數(shù)，并且其圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱；當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＝9x﹣3．若數(shù)列{an}滿足an＝f（log2（64+n））（n∈N+）；若n≤50時(shí)，當(dāng)Sn＝a1+a2+…+an取的最大值時(shí)，n＝_____．
【答案】26
【解析】先由函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性求得函數(shù)的周期,再根據(jù)函數(shù)的值域及對(duì)數(shù)運(yùn)算求得及時(shí)的取值范圍,即可求得取得最大值時(shí)的值.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),所以,
又因?yàn)槠鋱D象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱,
所以,即,
所以,可得
即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
因?yàn)楫?dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＝9x﹣3，
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù),
所以當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),,
作出函數(shù)在上的圖象如圖所示:

所以當(dāng)時(shí),，
當(dāng)時(shí),,，
由周期性可得：x∈（6，）時(shí)，f（x）＞0．
x∈（，）時(shí)，f（x）＜0．
f（）＝f（）＝0．
因?yàn)?
所以6＜log2（64+n）＜log2114＜7．
而當(dāng)6＜log2（64+n）時(shí),an＞0
即當(dāng)64＜64+n＜6490.496,an＞0
∴n≤26時(shí)，an＞0．
當(dāng)27≤n≤50時(shí)，log2（64+n）＜log2114＜7,此時(shí)an＜0，
∴當(dāng)n＝26時(shí),Sn＝a1+a2+…+an取的最大值．
故答案為:
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、圖象的對(duì)稱性、函數(shù)的周期性，對(duì)數(shù)的運(yùn)算及數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題；考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想；屬于綜合型、難度大型試題.
題型三：分類與整合思想
一、單選題
1．（2022·北京·北大附中高三開(kāi)學(xué)考試）在等比數(shù)列中，，記（，2，…）.則數(shù)列（???????）
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)
C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)
【答案】A
【分析】根據(jù)題意易求得等比數(shù)列的公比，設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)（，2，…），則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再分奇偶討論數(shù)列的項(xiàng)，即可得出結(jié)論.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，所以，
設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)（，2，…），
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)椋?br /> 所以，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)椋?br /> 所以，
綜上所述，數(shù)列有最大項(xiàng)和最小項(xiàng).
故選：A.
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則S18為（???????）
A．173 B．174 C．175 D．176
【答案】B
【分析】化簡(jiǎn)可得，討論取不同值時(shí)的通項(xiàng)公式，并項(xiàng)求和.
【詳解】
當(dāng) 時(shí)，；時(shí)，；
時(shí)，

所以
故選：B
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則該數(shù)列的前9項(xiàng)之和為（???????）
A．32 B．43 C．34 D．35
【答案】C
【分析】討論為奇數(shù)、偶數(shù)的情況數(shù)列的性質(zhì)，并寫出對(duì)應(yīng)通項(xiàng)公式，進(jìn)而應(yīng)用分組求和的方法求數(shù)列的前9項(xiàng)之和.
【詳解】，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則數(shù)列是常數(shù)列，；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，
.
故選：C
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正整數(shù)數(shù)列中，由1開(kāi)始依次按如下規(guī)則取它的項(xiàng)：第一次取1；第二次取2個(gè)連續(xù)偶數(shù)2，4；第三次取3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5，7，9；第四次取4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10，12，14，16；第五次取5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17，19，21，23，25，按此規(guī)律取下去，得到一個(gè)子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，則在這個(gè)子數(shù)列中第2 020個(gè)數(shù)是（???????）
A．3976 B．3974
C．3978 D．3973
【答案】A
【分析】根據(jù)題意分析出第次取個(gè)數(shù)，前次共取個(gè)數(shù)，且第n次取的最后一個(gè)數(shù)為n2，然后算出前次共取了個(gè)數(shù)，從而能得到數(shù)列中第2 020個(gè)數(shù)是3976.
【詳解】由題意可得，奇數(shù)次取奇數(shù)個(gè)數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個(gè)數(shù)，前n次共取了個(gè)數(shù)，且第n次取的最后一個(gè)數(shù)為n2，
當(dāng)時(shí)，，
即前63次共取了個(gè)數(shù)，第63次取的數(shù)都為奇數(shù)，并且最后一個(gè)數(shù)為，
即第2 016個(gè)數(shù)為3 969，
所以當(dāng)n＝64時(shí)，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020個(gè)數(shù)是3 976.
故選：A.
二、多選題
5．（2021·江蘇常州·高三階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)和為，下列選項(xiàng)中正確的是（???????）
A．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列 B．除以的余數(shù)只能為或
C．滿足的的最大值是 D．
【答案】ABD
【分析】由題意，可得，再由疊加法求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求的通項(xiàng)公式，可判斷A；再求的前項(xiàng)和代數(shù)式可判斷D，分別令為奇數(shù)，偶數(shù)兩種情況判斷B；令，求出的最大值，判斷出C，從而選出答案．
【詳解】解：，可得，

，
可得，
則，所以為公差為2的等差數(shù)列，所以A正確；
可得，
當(dāng)時(shí)，，則，顯然除以4的余數(shù)為1；
當(dāng)，，則，可得除以4的余數(shù)為0，所以B正確；
因?yàn)?，，可得此時(shí)的的最大值為10，故C不正確；
因?yàn)?，所以，故D正確.
故選：ABD．
三、填空題
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且對(duì)任意都有或中有且僅有一個(gè)成立，，，則的最小值為_(kāi)__________.
【答案】31
【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論求出的值，即可求得的最小值.
【詳解】解：由題設(shè)，知：；
或中恰有一個(gè)成立；
或中恰有一個(gè)成立；
…
或中恰有一個(gè)成立；
則①，，，，
則，當(dāng)時(shí)，的和為最小值為：31；
②，，，，
則，當(dāng)時(shí)，的和為最小值為：32；
因此，的最小值為：31.
故答案為：31.
四、解答題
7．（2022·北京·二模）已知數(shù)列：，，…，，其中是給定的正整數(shù)，且.令，，，，，.這里，表示括號(hào)中各數(shù)的最大值，表示括號(hào)中各數(shù)的最小值.
(1)若數(shù)列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；
(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，且，求的值；
(3)若數(shù)列是公差的等差數(shù)列，數(shù)列是數(shù)列中所有項(xiàng)的一個(gè)排列，求的所有可能值（用表示）.
【答案】(1)，；(2)；(3)所有可能值為.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義寫出，即可.
（2）討論數(shù)列A的項(xiàng)各不相等或存在相等項(xiàng)，當(dāng)各項(xiàng)都不相等，根據(jù)題設(shè)定義判斷，當(dāng)存在相等項(xiàng)，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求q，進(jìn)而確定的值；
（3）利用數(shù)列A的單調(diào)性結(jié)合（2）的結(jié)論求的取值范圍，估計(jì)所有可能取值，再應(yīng)用分類討論求證對(duì)應(yīng)所有可能值均可取到，即可得結(jié)果.
(1)由題設(shè)，，，，則，
，，，則，
所以，.
(2)若數(shù)列任意兩項(xiàng)均不相等，
當(dāng)時(shí)；
當(dāng)且時(shí)，，
又，，
此時(shí)；
綜上，，故，不合要求；
要使，即存在且使，即，
又，則，
當(dāng)，則，不合要求；
當(dāng)，則，滿足題設(shè)；
綜上，.
(3)由題設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增且，
由（2）知：，
根據(jù)題設(shè)定義，存在且，，
則，
由比數(shù)列中個(gè)項(xiàng)大，，同理，
所以；
又至少比數(shù)列中一項(xiàng)小，，同理，
所以；
綜上，.
令數(shù)列，下證各值均可取到，
ⅰ、當(dāng)，而數(shù)列遞增，
，且，
此時(shí)，，，
則；
ⅱ、當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)且時(shí)，令，則，
所以，，
此時(shí)；
ⅲ、給定，
令()且()，
則()，()，
又?jǐn)?shù)列遞增，，
()，()，
所以，
此時(shí)且，
故，
綜上，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)，首先根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和定義求的取值范圍，再由定義結(jié)合分類討論求證范圍內(nèi)所有可能值都可取到.
8．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，.數(shù)列為等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)；(2)4.
【分析】（1）設(shè)公比可得，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程求公比，即可得{}的通項(xiàng)公式；
（2）利用關(guān)系求得，進(jìn)而得到討論n的奇偶性求范圍，即可確定的最小值.
(1)設(shè)數(shù)列{的公比為，由得：，
所以，即.
由成等差數(shù)列，
所以，即，解得或（舍）.
所以.
(2)由（1），當(dāng)時(shí)，則，對(duì)也成立,
所以.
設(shè)
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為遞減數(shù)列，所以；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，為遞增數(shù)列，所以.
綜上，，而，則的最小值為4.
題型四：轉(zhuǎn)化與劃歸思想
一、單選題
1．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（???????）
A． B．
C．?dāng)?shù)列存在最大值 D．是數(shù)列中的最大值
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，，所以在等比數(shù)列中，從到的每一項(xiàng)都大于，從開(kāi)始后面所有的項(xiàng)的值都小于且大于.再分析每一個(gè)選項(xiàng)即可求解.
【詳解】因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，且，，，
所以，，所以，所以在等比數(shù)列中，
從到的每一項(xiàng)都大于，從開(kāi)始后面所有的項(xiàng)的值都小于且大于.
對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A不正確；
對(duì)于B：，故B不正確；
對(duì)于C：根據(jù)上面的分析，等比數(shù)列中每一項(xiàng)都為正值，所以無(wú)最大值，
所以數(shù)列無(wú)最大值，故C不正確；
對(duì)于D：因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，從到的每一項(xiàng)都大于，
從開(kāi)始后面所有的項(xiàng)的值都小于且大于，所以是數(shù)列中的最大值，故D正確.
故選：D.
2．（2022·云南·高三階段練習(xí)（理））為了更好地解決就業(yè)問(wèn)題，國(guó)家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，有不少地區(qū)出臺(tái)了相關(guān)政策去鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”．老王2020年6月1日向銀行借了免息貸款10000元，用于進(jìn)貨.因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費(fèi)1000元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2021年5月底該攤主的年所得收入為（???????）（取，）
A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元
【答案】B
【分析】設(shè)攤主6月底手中現(xiàn)款為，n月月底攤主手中的現(xiàn)款為，n+1月月底攤主手中的現(xiàn)款為，則可得二者之間的關(guān)系，構(gòu)造新數(shù)列 成等比數(shù)列，求解，即可得到答案．
【詳解】設(shè)，從6月份起每月底用于下月進(jìn)貨的資金依次記為，，…，，，同理可得，
所以，
而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.2，
所以，，
∴總利潤(rùn)為，
故選:B．
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，已知，若，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】將原式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，運(yùn)用疊加法求出，根據(jù)題意即可選出答案.
【詳解】由題意可知，，
因?yàn)椋?br /> 所以，即.
令，得，
令，得，
令，得，
令，得，
令，得，
上式相加，得，
即，所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，所以，即.
故選：C
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，且，，對(duì)，與有且僅有一個(gè)成立，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，由題設(shè)易知或有一項(xiàng)為1，則，判斷各項(xiàng)取值情況，進(jìn)而求的最小值.
【詳解】當(dāng)滿足時(shí)，，
令，則或有一項(xiàng)為1，而，
∴，又是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，
∴，，，，
此時(shí)的最小值為，
當(dāng)滿足時(shí)，，，，，，，時(shí)，
，
因?yàn)椋?br /> 所以的最小值為20
故選：B.
二、多選題
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，對(duì)于任意，，，不等式恒成立，則的取值可以是（???????）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】BD
【分析】根據(jù)，可得，由此可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，從而可得的范圍，再根據(jù)不等式恒成立即可求得答案.
【詳解】解：根據(jù)題意，，
兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得，，
即得，
由此可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
，
，
又因?yàn)樵?，上恒成立?br /> 所以，，.
故選：BD.
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”．下列說(shuō)法正確的是（???????）
A．若數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，則數(shù)列是“和有界數(shù)列”
B．若數(shù)列是等差數(shù)列，且數(shù)列是“和有界數(shù)列”，則公差
C．若數(shù)列是等比數(shù)列，且公比滿足，則數(shù)列是“和有界數(shù)列”
D．若數(shù)列是等比數(shù)列，且數(shù)列是“和有界數(shù)列”，則公比滿足
【答案】BC
【分析】利用給定定義結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和對(duì)選項(xiàng)A，B并借助一次、二次函數(shù)性質(zhì)分析判斷；
結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和對(duì)選項(xiàng)C并借助即可推理判斷，舉特例判斷選項(xiàng)D作答.
【詳解】若數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，則，
當(dāng)時(shí)，若，則，是的一次函數(shù)，不存在符合題意的，A錯(cuò)誤；
數(shù)列是“和有界數(shù)列”，當(dāng)時(shí)，是的二次函數(shù)，不存在符合題意的，當(dāng)，時(shí)，存在符合題意的，B正確；
若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則，
因滿足，則，即，，則存在符合題意的實(shí)數(shù)，即數(shù)列是“和有界數(shù)列”，C正確；
若等比數(shù)列是“和有界數(shù)列”，當(dāng)時(shí)，若為偶數(shù)，則，若為奇數(shù)，則，即，從而存在符合題意的實(shí)數(shù)，D錯(cuò)誤.
故選：BC
三、填空題
7．（2021·河南新鄉(xiāng)·高三階段練習(xí)（文））設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的
，均有，則稱是間隔遞減數(shù)列，是的間隔數(shù)．已知，若是間隔遞減數(shù)列，且最小間隔數(shù)是，則的取值范圍是________．
【答案】
【分析】依題意得到恒成立，存在，使得成立，同時(shí)存在使得成立，由此可得的范圍．
【詳解】由題意可得，對(duì)任意的成立，
則存在，使成立，且存在，使成立．
因?yàn)槭钦麛?shù)，所以，且，解得．
故答案為：
8．（2020·江蘇省板浦高級(jí)中學(xué)高三期末）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則______.
【答案】360
【分析】根據(jù)遞推公式，當(dāng)求出，當(dāng)，求出關(guān)系，即可求解.
【詳解】，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
，又，
是為首項(xiàng)公比為的等比數(shù)列，，
.
故答案為：.
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，記最接近的整數(shù)為，則__________；__________．(用表示)
【答案】???? ????
【分析】先求出，觀察特點(diǎn)得，，最接近的數(shù)字為253；
由得，，判斷 為奇數(shù)或偶數(shù)從而得解.
【詳解】
，







若，則，
若，則，

故答案為：；.
【點(diǎn)睛】求出 ，關(guān)鍵在于處理，從而得出，將結(jié)論進(jìn)行一般化，要注意n為奇數(shù)還是偶數(shù).
四、解答題
10．（2022·浙江溫州·三模）數(shù)列滿足，.
(1)證明：；
(2)若數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.
【分析】（1）首先從函數(shù)的角度證明不等式的右邊成立，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法或求通項(xiàng)的方法證明不等式右邊成立，在利用求通項(xiàng)的方法時(shí)，需要給出數(shù)列的單調(diào)性說(shuō)明才能證得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）運(yùn)用放縮法，將進(jìn)行放縮，進(jìn)而表示出，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)證得結(jié)論成立.
(1)證明：右邊：，
左邊：法一（數(shù)學(xué)歸納法）：
，，
當(dāng)時(shí)，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立
即，即成立
則當(dāng)時(shí)，


綜上所述，.
法二（求通項(xiàng)）：
，，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：
數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

數(shù)列單調(diào)性證明：
思路1：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，知單調(diào)遞增，；
思路2：，；
思路3：，；
綜上所述，.
(2)證明：法一：放縮到裂項(xiàng)
因?yàn)?，所以?br /> 由（1）知
所以
所以

所以，
又，所以，所以.
法二：放縮到等比
，
所以，
所以，
所以
所以.
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，且對(duì)任意，，有.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)已知，，且滿足，求，；
(3)若（其中對(duì)任意恒成立，求的最大值.
【答案】(1)(2)，；或，；或，(3)
【分析】（1）令，根據(jù)等差數(shù)列定義即可求解；
（2）根據(jù)（1）化簡(jiǎn)后求解即可；
（3）原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，再由的單調(diào)性求最小值即可.
(1)由已知，令，則，即，
則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
；
(2)由（1），得，
則.
由，知，，
則或或，
解得，；或，；或，；
(3)不等式對(duì)任意恒成立，
即為恒成立，
即不等式恒成立.
令，
則
，于是，
單調(diào)遞增，則中，為最小，
故.
的最大值為.
題型五：特殊與一般思想
一、單選題
1．（2021·貴州貴陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知數(shù)列中，前項(xiàng)和滿足，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在中，令可解得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 令得，解得；
令得，解得；
令得，解得.
故選：C.

2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，…．該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（???????）
A．1 B．98 C． D．198
【答案】A
【分析】根的題意找出的規(guī)律即可求解.
【詳解】由題意得，；；；…．
所以可歸納總結(jié)為，
故.
故選:A
二、多選題
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，使的可以是（???????）
A．2019 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】AD
【分析】求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而可判斷出數(shù)列為周期數(shù)列，進(jìn)而可求出答案.
【詳解】因?yàn)?，?br /> 所以，，，，，，，……
所以數(shù)列為周期數(shù)列，且，
所以，，，.
故選：AD.
三、填空題
4．（2022·四川成都·三模（理））已知數(shù)列滿足，，則的值為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系得到數(shù)列的周期及一個(gè)周期內(nèi)各項(xiàng)的值，再應(yīng)用周期性求.
【詳解】由題設(shè)，則，而，
所以，，，，…
故是周期為4的數(shù)列且，，，，
所以.
故答案為：
5．（2022·陜西咸陽(yáng)·三模（文））觀察下列等式

照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】由已知等式結(jié)合等差數(shù)列的定義寫出左側(cè)表達(dá)式，再由右側(cè)與行數(shù)的關(guān)系寫出右側(cè)表達(dá)式，即可確定第n個(gè)等式.
【詳解】由已知等式，對(duì)于第n行有：
左側(cè)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列前n項(xiàng)和，左側(cè)可寫為，
右側(cè)隨行數(shù)n增大依次為，
所以第n個(gè)等式為.
故答案為：
四、解答題
6．（2022·北京·人大附中高三階段練習(xí)）已知為無(wú)窮數(shù)列，給出以下二個(gè)定義：
I.若對(duì)任意的，總存在i，且，使成立，則稱為“H數(shù)列”；
II.若為“H數(shù)列”，且對(duì)任意的，總存在唯一的有序數(shù)對(duì)使成立，則稱為“強(qiáng)H數(shù)列”；
(1)若，判斷數(shù)列是否為“H數(shù)列”，說(shuō)明理由；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得數(shù)列
存在且不為常數(shù)列，求同時(shí)滿足所選兩個(gè)條件的所有數(shù)列的通項(xiàng)公式
條件①：為等差數(shù)列；
條件②：為等比數(shù)列；
條件③：為“強(qiáng)H數(shù)列”．
【答案】(1)不是“H數(shù)列”，(2)條件①②數(shù)列不存在，條件①③數(shù)列不存在，
條件②③是公比為，首項(xiàng)為任何非零實(shí)數(shù)的等比數(shù)列.
【分析】（1） 按照題目所給的定義，推理即可；
（2） 按照題目所給的定義，分類討論；
(1)對(duì)于 ，若存在 ，使得 ，
則 ，
而 是偶數(shù)， 是奇數(shù)，奇數(shù) 偶數(shù)，
所以 不是“H數(shù)列”；
(2)條件①，不妨設(shè) ，假設(shè)存在 ，
使得，則有 ，
整理得 ，對(duì)于任意的n都成立，
當(dāng)n=3時(shí)也成立，由于 ，所以i=1，j=2， ，
即只要i+j=n，就有，因此 是“H數(shù)列”，
由于i，j不是唯一的，比如 ， 不是“強(qiáng)H數(shù)列”；
條件②，不妨設(shè) ，假設(shè)存在，
使得，則有 ，
當(dāng)n=3時(shí)也成立，由于 ，所以i=1，j=2，
得 ， 或 ，
，
所以對(duì)于任意的n，總存在 ，使得成立，
當(dāng)公比為 或時(shí)， 是“H數(shù)列”；
下面證明 是“強(qiáng)H數(shù)列”，即證明對(duì)于任意的n，i，j是唯一的：
考慮 ，函數(shù) 是增函數(shù)，
不妨假設(shè) ，（對(duì)于 也相同）
若j=n-1，必有i=n-2，是唯一的，
若j=n-2，則 ， ，故i，j不存在，
若 ，則必然由 ，故i，j也不存在，
即對(duì)于公比為的等比數(shù)列， 是“強(qiáng)H數(shù)列”；
當(dāng)時(shí)，考慮，是絕對(duì)值單調(diào)遞減的擺動(dòng)數(shù)列，
若j=n-1，必有i=n-2，是唯一的，
若j=n-2，則 ，必有???，故i，j不存在，
令 ，則 ，則 是單調(diào)遞減的正數(shù)列，
若，假設(shè)n=偶數(shù)，???，
若，則必①②有，
考慮一下幾種情況：
若i，j都是偶數(shù)，???…①，
?????，
故①不成立，即i，j不存在；
若i，j都是奇數(shù)，若，則有…②，
，②不成立，即i，j不存在；
若i是奇數(shù)，j是偶數(shù)，則有， …③，
，③不成立，即i，j不存在；
若i為偶數(shù)，j為奇數(shù)，則有…④
則有 ，由于 ，并且是遞減的， ，
，
又 ，
∴④不成立，即i，j不存在；
同理可以證得當(dāng)n=奇數(shù)時(shí)，i，j也是不存在的，
故有當(dāng)時(shí)， 是“強(qiáng)H數(shù)列”；
綜上，條件①②數(shù)列不存在，條件①③數(shù)列不存在，
②③存在“強(qiáng)H數(shù)列”，是公比為 或的等比數(shù)列
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)有數(shù)列，對(duì)于給定的，記滿足不等式：的構(gòu)成的集合為，并稱數(shù)列具有性質(zhì).
(1)若，數(shù)列： 具有性質(zhì) ， 求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
(2)若，數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)且公比大于1的等比數(shù)列，且數(shù)列不具有性質(zhì)，設(shè)，試判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
(3)若數(shù)列具有性質(zhì)，當(dāng) 時(shí)， 都為單元素集合，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.
【答案】(1)(2)數(shù)列不具有性質(zhì)(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由數(shù)列具有性質(zhì)，建立不等式組求解即可；
（2）根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列計(jì)算，利用不等式可得，由數(shù)列不具有性質(zhì)可得存在使得，轉(zhuǎn)化為，求出，即可判斷；
（3）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)，運(yùn)用不等式可得對(duì)任意的都成立，先證明時(shí)，，同理可得，即可證明.
(1)由題意可得，即
解得；
(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，
，
因?yàn)閿?shù)列不具有性質(zhì)，
所以存在使得，
所以，
，
，
不具備性質(zhì)X；
(3)因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，
所以 ，
對(duì)任意的都成立，
當(dāng)時(shí)，需滿足對(duì)任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，有，即，
當(dāng)時(shí)，有，
當(dāng)時(shí)，，
，
所以只需 即可滿足條件，
為單元素集合，

同理可證，對(duì)任意的時(shí)，都有，
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
【點(diǎn)睛】本題的證明過(guò)程，采用了類比的方法，首先證明時(shí)，需滿足，再由為單元素集可得，類似的可證得其他情況都有，由等差數(shù)列的定義知為等差數(shù)列.
8．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）根據(jù)以下數(shù)列的前4項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．
①，，，，…；②－3，7，－15，31，…；③2，6，2，6，….
【答案】①；②；③或.
【分析】根據(jù)各數(shù)列前4項(xiàng)找到各項(xiàng)與位置n之間的關(guān)系式，即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】①由題設(shè)，，，，…，
∴第n項(xiàng)為.
②由題設(shè)，，，，…，
∴第n項(xiàng)為．
③由題設(shè)，數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，而，而2＝4－2，6＝4＋2，
∴第n項(xiàng)為，也可表示為.
題型六：有限與無(wú)限思想
一、單選題
1．（2022·浙江臺(tái)州·高三期末）已知在數(shù)列中，，命題對(duì)任意的正整數(shù)，都有．若對(duì)于區(qū)間中的任一實(shí)數(shù)，命題為真命題，則區(qū)間可以是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系分析式子要有意義，數(shù)列中的項(xiàng)不能取那些值即可求解.
【詳解】p為真命題，則，
由從后往前推，
，, ,,,
而，排除，,排除，
由蛛網(wǎng)圖可知,而，之前的項(xiàng)會(huì)趨向于3，所以C項(xiàng)排除.
因?yàn)椋呀?jīng)越過(guò)不能取的值，故正確.

故選：D
2．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《莊子·天下》篇中記述了一個(gè)著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”反映這個(gè)命題本質(zhì)的式子是（???????）
A．1＋ B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得到每天截取的線段長(zhǎng)度構(gòu)成了以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，然后用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和，根據(jù)其和小于即可說(shuō)明命題.
【詳解】該命題說(shuō)明每天截取的線段長(zhǎng)度構(gòu)成了以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
因?yàn)?，所以能反映命題本質(zhì)的式子是.
故選：B.
3．（2020·浙江·高三階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足，，
，則下列說(shuō)法正確的是（???????）
A．存在有理數(shù)a，對(duì)任意正整數(shù)m，都有
B．對(duì)于任意有理數(shù)a，存在正整數(shù)m，使得
C．存在無(wú)理數(shù)a與正整數(shù)m，使得
D．對(duì)于任意無(wú)理數(shù)a，存在正整數(shù)m，使得
【答案】B
【解析】根據(jù)數(shù)列的定義，以及有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的運(yùn)算分析判斷．
【詳解】首先若，則，否則，于是，（舍去），
（1）若是無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)，也是無(wú)理數(shù)，不論還是，仍然是無(wú)理數(shù)，這樣數(shù)列中各項(xiàng)均為無(wú)理數(shù)，所以不可能有，C、D均錯(cuò)誤．
（2）①若是正整數(shù)，則或，如果某一項(xiàng)大于1就減去1，得數(shù)列的下一項(xiàng)，經(jīng)過(guò)這種操作都可以減小到1，所以存在正整數(shù)，使得，從而，
②若不是正整數(shù)，設(shè)，互質(zhì)的正整數(shù)，），若，則為正整數(shù)，回到①的情形；
③若不是正整數(shù)，設(shè)，互質(zhì)的正整數(shù)，），若，
若，則，若，則，不妨記，則，由得到稱為一次操作，經(jīng)過(guò)有限次減1操作后，一定有，在時(shí)，這樣再繼續(xù)剛才的操作，，…，由此可得到一列數(shù)：，首先分子逐漸減小，然后分母減小，再分子逐漸減小，再分母減?。谴_定的正整數(shù)，此操作步驟一定是有限的，最后都會(huì)變成（是大于1的正整數(shù)），那么數(shù)列的下一項(xiàng)為，又回到①的情形，所以一定存在正整數(shù)，使得，從而．由此A錯(cuò)誤，B正確．
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題方法是對(duì)正實(shí)數(shù)進(jìn)行分類，無(wú)理數(shù)，有理數(shù)，有理數(shù)又分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，分別利用遞推公式得出數(shù)列的下一項(xiàng)，這稱為一次操作，對(duì)所有的有理數(shù)經(jīng)過(guò)有限次操作后都會(huì)得到1，即數(shù)列中總會(huì)出現(xiàn)1，而以后每一項(xiàng)都是1．這是一種無(wú)限與有限的結(jié)合．有理數(shù)是有無(wú)限個(gè)，但對(duì)每一個(gè)有理數(shù)又是有限的操作，從而完成證明．
二、多選題
4．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（，2，…），則（???????）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，只需判斷；
對(duì)于B選項(xiàng)，通過(guò)通項(xiàng)公式可求得；
對(duì)于C選項(xiàng)，將條件轉(zhuǎn)化為，可判斷錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，將數(shù)列放縮成等比數(shù)列求和，可判斷正確.
【詳解】由條件，兩邊同時(shí)除以，得，
∴∴，∴，
對(duì)于A選項(xiàng)，∵，∴，∴，故A選項(xiàng)正確；
，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，，等價(jià)于，由極限思想知，當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
∴
，又∵，所以D選項(xiàng)正確.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列由遞推公式求通項(xiàng)公式，以及關(guān)鍵對(duì)通項(xiàng)公式的形式進(jìn)行分析，放縮，判斷.屬于較難題.
三、填空題
5．（2021·河南商丘·高三階段練習(xí)（理））將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則其通項(xiàng)___________.
【答案】
【分析】經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，觀察歸納可得.
【詳解】數(shù)列中的項(xiàng)為：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256，…
經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng).
即，，，256，… 可以寫成的形式，觀察，歸納可得.
故答案為：.
四、解答題
6．（2022·北京·高三專題練習(xí)）若無(wú)窮數(shù)列{}滿足如下兩個(gè)條件，則稱{}為無(wú)界數(shù)列：
①（n=1，2，3......）
②對(duì)任意的正數(shù)，都存在正整數(shù)N，使得.
(1)若，（n=1，2，3......），判斷數(shù)列{}，{}是否是無(wú)界數(shù)列；
(2)若，是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于一切，都有成立？若存在，求出k的范圍；若不存在說(shuō)明理由；
(3)若數(shù)列{}是單調(diào)遞增的無(wú)界數(shù)列，求證：存在正整數(shù)m，使得.
【答案】(1){}是無(wú)界數(shù)列；{}不是無(wú)界數(shù)列.(2)存在，(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）對(duì)任意的正整數(shù)，取為大于的一個(gè)偶數(shù)，有，符合無(wú)界數(shù)列的定義；取，顯然，不符合無(wú)界數(shù)列的定義.
（2）討論，，都不成立，當(dāng)時(shí)，將變形為：
，從而求得k的范圍.
（3）觀察要證的不等式結(jié)構(gòu)與（2）相似，故應(yīng)用（2）變形后，再由{}是單調(diào)遞增的無(wú)界正數(shù)列證明.
(1){}是無(wú)界數(shù)列，理由如下：
對(duì)任意的正整數(shù)，取為大于的一個(gè)偶數(shù)，有，所以{}是無(wú)界數(shù)列.
{}不是無(wú)界數(shù)列，理由如下：
取，顯然，不存在正整數(shù)，滿足，所以{}不是無(wú)界數(shù)列.
(2)存在滿足題意的正整數(shù)k，且.
當(dāng)時(shí)，，不成立.
當(dāng)時(shí)，，不成立
當(dāng)時(shí)，，不成立
當(dāng)時(shí)，將變形為：
.
即取，對(duì)于一切，有成立.
(3)因?yàn)閿?shù)列{}是單調(diào)遞增的無(wú)界數(shù)列，所以，
所以
.
即
因?yàn)閧}是無(wú)界數(shù)列，取，由定義知存在正整數(shù)，使所以.
由定義可知{}是無(wú)窮數(shù)列，考察數(shù)列，，…，顯然這仍是一個(gè)單調(diào)遞增的無(wú)界數(shù)列，同上理由可知存在正整數(shù)，使得
.
故存在正整數(shù)，使得
.
故存在正整數(shù)，使得成立
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)（，2，…），使，，，…組成公差為d的等差數(shù)列，求a的取值范圍．
【答案】
【分析】分情況討論等差數(shù)列是遞增，還是遞減，分別列出不等式求解范圍.
【詳解】解：注意到橢圓的對(duì)稱性及最多只能兩兩相等，可知題中的等差數(shù)列可能是遞增的，也可能是遞減的，但不可能為常數(shù)列，即．先考慮一般情形，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式有
，（），因此．
對(duì)于橢圓（），其焦半徑的最大值是，最小值是（其中）．
當(dāng)?shù)炔顢?shù)列遞增時(shí)，有，．
從而．
再由題設(shè)知，且，故，因此．
同理，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列遞減時(shí)，可解得，
故所求d的取值范圍為．
8．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：（常數(shù)），（，）.數(shù)列滿足：（）.
（1）求，的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在k，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù)？若存在，求出k
的所有可能值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）經(jīng)過(guò)計(jì)算可知：，由數(shù)列滿足：，從而可求，；
（2）由條件可知：，得，兩式相減整理得，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）假設(shè)存在正數(shù)，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù)則由（2）可知，由，，可求得，2，證明，2時(shí)，滿足題意，說(shuō)明為1，2時(shí)，數(shù)列是整數(shù)列即可.
【詳解】（1）由已知得，，
所以，.
（2）由條件可知：（），①
所以（）.②
①②得.
即：.
因此：，
故（），又因?yàn)椋?br /> 所以.
（3）假設(shè)存在k，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù)，則k為正整數(shù).
由（2）知（，2，3…）③
由，，所以或2，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，
利用，，結(jié)合③，各項(xiàng)均為整數(shù)；
當(dāng)時(shí)③變成（，2，3…）
消去，得：（）
由，，所以偶數(shù)項(xiàng)均為整數(shù)，
而，所以為偶數(shù)，故，故數(shù)列是整數(shù)列.
綜上所述，k的取值集合是.
【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，注意分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于難題.
題型七：或然與必然思想
一、單選題
1．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）己知數(shù)列滿足：，．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)和遞推關(guān)系式可知，可將遞推關(guān)系式變形為；令，為的前項(xiàng)和，可知為遞減數(shù)列，知，借助的范圍可得的范圍，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得的范圍，由可得結(jié)果.
【詳解】，，…，依次類推，則；
由得：，
，
，
令，為的前項(xiàng)和，，
又，為遞減數(shù)列，即為遞減數(shù)列，，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，
，，，
，即，，
，，
，.
故選：B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑦f推關(guān)系式進(jìn)行變形，得到，并結(jié)合遞推關(guān)系式和數(shù)列的單調(diào)性得到的范圍，從而進(jìn)行放縮運(yùn)算，借助等比數(shù)列求和公式來(lái)求解.
二、解答題
2．（2021·北京豐臺(tái)·二模）設(shè)數(shù)集S滿足：①任意，有；②任意，有或，則稱數(shù)集S具有性質(zhì)P.
（1）判斷數(shù)集是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；
（2）若數(shù)集且具有性質(zhì)P.
（i）當(dāng)時(shí)，求證：是等差數(shù)列；
（ii）當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí)，寫出n的最大值.(結(jié)論不需要證明)
【答案】（1）不具有，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；4
【分析】（1）取，即可驗(yàn)證數(shù)集A不具有性質(zhì)P；
（2）根據(jù)數(shù)集B具有性質(zhì)P及滿足的條件知，數(shù)列是單增數(shù)列，從而求得數(shù)集B具有的性質(zhì)，求得，利用單調(diào)性求得數(shù)列的遞推關(guān)系，從而證明數(shù)列是等差數(shù)列；容易驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，均可證得數(shù)列是等差數(shù)列，從而最大值為4.
【詳解】（1）時(shí)，易知，有；
取，有且，
故數(shù)集A不具有性質(zhì)P；
（2）（i）由數(shù)集且具有性質(zhì)P知：
數(shù)列是單增數(shù)列，即；
當(dāng)時(shí)，取，
∵，
∴
∴
則（），
故，
又
∴，，
即（），
同理（），
∴，
故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列.
（ii）當(dāng)時(shí)，均可由（i）中方法證得數(shù)列是等差數(shù)列，
則n最大為4，如
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)數(shù)列具有的性質(zhì)，求得，進(jìn)而求得遞推關(guān)系，從而證明數(shù)列是等差數(shù)列.



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