題型一：待定系數(shù)法求雙曲線方程
一、單選題
1． (2023·河南·模擬預(yù)測（文））已知雙曲線的左?右焦點分別為，，一條漸近線方程為，過雙曲線C的右焦點作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若的周長為36，則雙曲線C的標準方程為（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·四川·宜賓市教科所三模（理））若等軸雙曲線的焦距為4，則它的一個頂點到一條漸近線的距離為（ ）
A．1B．C．2D．3
3． (2023·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)三模（理））雙曲線E與橢圓焦點相同且離心率是橢圓C離心率的倍，則雙曲線E的標準方程為( )
A．B．C．D．
4． (2023·內(nèi)蒙古包頭·二模（理））已知，是雙曲線的兩個焦點，R是C上的一點，且，，C經(jīng)過點，則C的實軸長為（ ）
A．B．C．6D．3
二、多選題
5． (2023·江蘇·揚州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，兩條漸近線的夾角正切值為，直線：與雙曲線的右支交于，兩點，設(shè)的內(nèi)心為，則（ ）
A．雙曲線的標準方程為B．滿足的直線有2條
C．D．與的面積的比值的取值范圍是
6． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，其焦點到漸近線的距離為，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的方程為B．雙曲線的漸近線方程為
C．雙曲線的離心率為D．雙曲線上的點到焦點距離的最小值為
7． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：（，）的一條漸近線的方程為，且過點，橢圓：（）的焦距與雙曲線的焦距相同，且橢圓的左右焦點分別為，過的直線交于（），兩點，則下列敘述正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為2
B．雙曲線的實軸長為
C．點的橫坐標的取值范圍為
D．點的橫坐標的取值范圍為
三、填空題
8． (2023·福建寧德·模擬預(yù)測）若過點的雙曲線的漸近線為，則該雙曲線的標準方程是___________.
四、解答題
9． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為 ，點在雙曲線E上.
(1)求雙曲線E的標準方程；
(2)若動直線l與雙曲線E相切，過點作直線l的垂線，垂足為H，試判斷是否為定值？如果是，請求出該值；如果不是，請說明理由.
10． (2023·上海市七寶中學(xué)高三期中）雙曲線：（a＞0，b＞0） 經(jīng)過點，且漸近線方程為．
(1)求，的值；
(2)點，，是雙曲線上不同的三點，且，兩點關(guān)于軸對稱，的外接圓經(jīng)過原點．求證：點與點的縱坐標互為倒數(shù)；
(3)在（2）的條件下，試問是否存在一個定圓與直線相切，若有，求出定圓方程，沒有說明理由．
11． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知雙曲線：（）的右焦點，點分別在的兩條漸近線上，軸，∥（為坐標原點）.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過上一點的直線與直線相交于點，與直線相交于點，證明：當(dāng)點在上移動時，恒為定值，并求此定值.
12． (2023·河北衡水中學(xué)一模）在平面直角坐標系中，雙曲線的離心率為，實軸長為4.
(1)求C的方程；
(2)如圖，點A為雙曲線的下頂點，直線l過點且垂直于y軸（P位于原點與上頂點之間），過P的直線交C于G，H兩點，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點，若O，A，N，M四點共圓，求點P的坐標.
13． (2023·河南·三模（理））已知雙曲線的右焦點為，，，成等差數(shù)列，過的直線交雙曲線于?兩點，若雙曲線過點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過雙曲線的左頂點作直線?，分別與直線交于?兩點，是否存在實數(shù)，使得以為直徑的圓恒過，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
題型二：相同漸近線雙曲線方程求法
一、單選題
1． (2023·浙江嘉興·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的漸近線方程為，且焦距為10，則雙曲線C的標準方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線與雙曲線有公共的漸近線，且經(jīng)過點，則雙曲線的離心率為（ ）．
A．B．C．4D．2
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標準方程為
A．B．C．D．
二、多選題
4． (2023·全國·高三階段練習(xí)）已知雙曲線過點且漸近線為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的方程為B．的離心率為2
C．曲線經(jīng)過的一個焦點D．直線與有兩個公共點
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線過點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線與雙曲線有相同的漸近線
C．若到漸近線的距離為2，則雙曲線的方程為
D．若直線與漸近線圍成的三角形面積為則焦距為
三、填空題
6． (2023·遼寧·模擬預(yù)測）焦點在軸上的雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且的焦點到一條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為______．
7． (2023·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線（，）與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點，則的實軸長為_________
四、解答題
8． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線與有相同的漸近線，點為的右焦點，為的左，右頂點.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）若直線過點交雙曲線的右支于兩點，設(shè)直線斜率分別為，是否存在實數(shù)入使得?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
題型三：直接法解決離心率問題
一、單選題
1． (2023·廣東·佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知雙曲線的方程，則該雙曲線的離心率為 （ ）
A．B．C．D．
2． (2023·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測（理））如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點和．且，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·浙江金華·三模）已知雙曲線C：，為坐標原點，為雙曲線的左焦點，若的右支上存在一點，使得外接圓的半徑為，且四邊形為菱形，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點，過點，分別作直線，交雙曲線于，，，四點，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·貴州黔東南·一模（理））已知雙曲線，直線與C交于A、B兩點（A在B的上方），，點E在y軸上，且軸．若的內(nèi)心到y(tǒng)軸的距離為，則C的離心率為（ ）.
A．B．C．D．
二、多選題
6． (2023·山東煙臺·一模）已知雙曲線C：，，為C的左、右焦點，則（ ）
A．雙曲線和C的離心率相等
B．若P為C上一點，且，則的周長為
C．若直線與C沒有公共點，則或
D．在C的左、右兩支上分別存在點M，N使得
三、填空題
7． (2023·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（理））已知雙曲線C：（），以C的焦點為圓心，3為半徑的圓與C的漸近線相交，則雙曲線C的離心率的取值范圍是________________．
8． (2023·山東日照·二模）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為___________.
9． (2023·浙江·三模）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點是雙曲線第一象限上一點，在點P處作雙曲線C的切線l，若點到切線l的距離之積為3，則雙曲線C的離心率為_______．
四、解答題
10． (2023·河北張家口·三模）已知，點，，動點P滿足，點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)直線與曲線C相切，與曲線交于M?N兩點，且（O為坐標原點），求曲線E的離心率.
題型四：構(gòu)造齊次方程法求離心率的值或范圍
一、單選題
1． (2023·湖北省天門中學(xué)模擬預(yù)測）已知共焦點的橢圓和雙曲線，焦點為，，記它們其中的一個交點為P，且，則該橢圓離心率與雙曲線離心率必定滿足的關(guān)系式為（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（ ）
A．B．2
C．D．
3． (2023·浙江·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，M為右支上一點，的內(nèi)切圓圓心為Q，直線交x軸于點N，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
4． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知為坐標原點，雙曲線的右焦點為，是的一條漸近線，以為圓心，為半徑的圓與交于，兩點，則（ ）
A．過點且與圓相切的直線與雙曲線沒有公共點
B．的離心率的最大值是
C．若，則的離心率的取值范圍是
D．若，則的離心率為
三、雙空題
5． (2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知，，是雙曲線C：的左右焦點，過的直線與雙曲線左支交于點A，與右支交于點B，與內(nèi)切圓的圓心分別為，，半徑分別為，，則的橫坐標為__________；若，則雙曲線離心率為__________.
四、填空題
6． (2023·河北·模擬預(yù)測）已知分別為雙曲線的左?右焦點，過點的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率是__________．
7． (2023·福建三明·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為?，雙曲線上一點A關(guān)于原點O對稱的點為B，且滿足，，則該雙曲線的離心率為___________.
8． (2023·安徽馬鞍山·三模（文））已知雙曲線E的焦點在x軸上，中心為坐標原點，F(xiàn)為E的右焦點，過點F作直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點，過點F作直線與E的右支交于C，D兩點，若點B恰為的重心，且為等腰直角三角形，則雙曲線E的離心率為___________.
五、解答題
9． (2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線的左、右頂點，直線過右焦點且與雙曲線的右支交于，兩點，當(dāng)直線垂直于軸時，為等腰直角三角形.
（1）求雙曲線的離心率；
（2）已知直線，分別交直線于兩點，當(dāng)直線的傾斜角變化時，以為直徑的圓是否過定點，若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.
10． (2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的方程為，、為其左?右兩個頂點，是雙曲線上的任意一點，引，，與交于點.
（1）求點的軌跡方程；
（2）設(shè)（1）中所求軌跡為，、的離心率分別為、，當(dāng)時，的取值范圍.
題型五：漸近線綜合問題
一、單選題
1． (2023·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（文））已知為坐標原點，雙曲線的右焦點為，離心率，過的直線與的兩條漸近線的交點分別為為直角三角形，，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·山西呂梁·三模（文））已知雙曲線的離心率是它的一條漸近線斜率的2倍，則（ ）
A．B．C．D．2
3． (2023·江西宜春·模擬預(yù)測（文））若雙曲線的一個頂點為A，過點A的直線與雙曲線只有一個公共點，則該雙曲線的焦距為( )
A．B．C．D．
4． (2023·四川遂寧·模擬預(yù)測（文））設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點是，，為原點，若以為直徑的圓與C的漸近線的一個交點為P，且，則C的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·海南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的焦點坐標為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
6． (2023·福建南平·三模）已知雙曲線的方程為，，分別為雙曲線的左?右焦點，過且與x軸垂直的直線交雙曲線于M，N兩點，又，則（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．雙曲線的頂點到兩漸近線距離的積的5倍等于焦點到漸近線距離的平方
C．雙曲線的實軸長?虛軸長?焦距成等比數(shù)列
D．雙曲線上存在點，滿足
7． (2023·湖南·一模）已知雙曲線的左焦點為F，過點F作C的一條漸近線的平行線交C于點A，交另一條漸近線于點B．若，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線C的漸近線方程為B．雙曲線C的離心率為
C．點A到兩漸近線的距離的乘積為D．O為坐標原點，則
8． (2023·全國·高三專題練習(xí)）下列雙曲線的漸近線方程為的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
9． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線的左?右焦點，則下列說法正確的序號是___________.
①；
②若，則雙曲線C的離心率為；
③若點P在雙曲線C的右支上，與y軸交于M，，則；
④若雙曲線C的離心率為，則兩條漸近線夾角余弦值為.
四、解答題
10． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的方程為，且右焦點到的距離為1．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若點為直線上一點，傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且為等邊三角形，求直線在軸上的截距．
題型六：利用自變量范圍求離心率范圍
一、單選題
1． (2023·山西太原·二模（理））已知雙曲線的右焦點為，點Q為雙曲線左支上一動點，圓與y軸的一個交點為P，若，則雙曲線離心率的最大值為（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：（，）的右焦點F（，0），點Q是雙曲線C的左支上一動點，圓E：與y軸的一個交點為P，若，則雙曲線C的離心率的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)（文））已知點為雙曲線的右焦點，直線，與雙曲線交于，兩點，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，若雙曲線不存在以點為中點的弦，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線：，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則曲線為橢圓
B．若，則曲線為焦點在軸上的雙曲線
C．若曲線為雙曲線，則其焦距是定值
D．若曲線為焦點在軸上的雙曲線，則其離心率小于
三、填空題
6． (2023·重慶一中高三階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若上存在點使得，則雙曲線：的離心率的取值范圍是______.
7． (2023·浙江紹興·高三期末）已知是雙曲線.左，右焦點，若上存在一點，使得成立，其中是坐標原點，則的離心率的取值范圍是__________.
四、解答題
8． (2023·新疆昌吉·高三階段練習(xí)（文））已知雙曲線的左?右焦點分別為，點P在雙曲線的右支上（點P不在x軸上），且.
(1)用a表示；
(2)若是鈍角，求雙曲線離心率e的取值范圍.
9． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為 ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當(dāng)時，求雙曲線離心率的取值范圍.

重難點13六種雙曲線解題方法（核心考點講與練）
能力拓展
題型一：待定系數(shù)法求雙曲線方程
一、單選題
1． (2023·河南·模擬預(yù)測（文））已知雙曲線的左?右焦點分別為，，一條漸近線方程為，過雙曲線C的右焦點作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若的周長為36，則雙曲線C的標準方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意可得，則雙曲線方程為，，，可得直線為，代入雙曲線方程中，利用弦長公式求出，再由雙曲線的定義和 的周長為36，可求出，從而可求出雙曲線的方程
【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，
所以，則雙曲線方程為，，，
所以直線為，
設(shè)，
由，得，
則，
所以，
因為，，
所以，
因為的周長為36，
所以，
所以，得，
所以雙曲線方程為 ，
故選：C
2． (2023·四川·宜賓市教科所三模（理））若等軸雙曲線的焦距為4，則它的一個頂點到一條漸近線的距離為（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【分析】用坐標法求解，求出等軸雙曲線的標準方程，得到頂點和漸近線方程，利用點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】不妨設(shè)等軸雙曲線的標準方程為，則，解得：.
所以等軸雙曲線的標準方程為.
此時，頂點坐標，其中一條漸近線方程為：.
所以頂點到一條漸近線的距離為.
故選：A
3． (2023·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)三模（理））雙曲線E與橢圓焦點相同且離心率是橢圓C離心率的倍，則雙曲線E的標準方程為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出雙曲線焦點坐標和離心率，求出雙曲線的a、b、c即可求其標準方程．
【詳解】雙曲線與橢圓焦點相同，則焦點坐標為，
橢圓的離心率為，∴雙曲線的離心率為，
設(shè)雙曲線實半軸長為，虛半軸長為，焦距為2c，則c=2，
，∴，
∴所求雙曲線方程為：．
故選：C．
4． (2023·內(nèi)蒙古包頭·二模（理））已知，是雙曲線的兩個焦點，R是C上的一點，且，，C經(jīng)過點，則C的實軸長為（ ）
A．B．C．6D．3
【答案】B
【分析】由雙曲線定義及分別求出，再由余弦定理得，進而結(jié)合C經(jīng)過點解出即可求解.
【詳解】
由雙曲線定義可得，又可得，由余弦定理可得，即，化簡得，又，可得；又C經(jīng)過點，故，即，
解得，故C的實軸長為.
故選：B.
二、多選題
5． (2023·江蘇·揚州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，兩條漸近線的夾角正切值為，直線：與雙曲線的右支交于，兩點，設(shè)的內(nèi)心為，則（ ）
A．雙曲線的標準方程為B．滿足的直線有2條
C．D．與的面積的比值的取值范圍是
【答案】ACD
【分析】A:設(shè)其中一條漸近線的傾斜角為，，由題干條件可知，從而解出，即，又有焦點坐標，聯(lián)立可解出，從而求出雙曲線方程；B：直線過焦點，判斷過焦點弦的最短弦可判斷B；C：由雙曲線的定義和切線的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化可判斷；D：將三角形的面積用內(nèi)切圓的半徑和邊長計算，結(jié)合定義，可得到，由的范圍可求出比值的范圍.
【詳解】A選項，設(shè)雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，，因為，所以，從而，解得或（舍去），所以，又，所以，，所以雙曲線的標準方程為，故A正確；B選項，直線的方程，即，則直線恒過右焦點，又過焦點的弦最短為，所以滿足的直線只有1條，B錯誤；
C選項，由雙曲線的定義可知，，即，因此是的內(nèi)切圓在邊上的切點，因此，C正確；
D選項，由題知
，因為，所以，D正確.
【點睛】知識點點睛：（1）同支的焦點弦中最短的為通徑（過焦點且垂直于實軸所在的直線的弦），其長度為；異支的弦中最短的為實軸，其長度為.（2）由圓外一點引圓的切線，切線長相等.
6． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，其焦點到漸近線的距離為，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的方程為B．雙曲線的漸近線方程為
C．雙曲線的離心率為D．雙曲線上的點到焦點距離的最小值為
【答案】ACD
【分析】由題意知雙曲線的焦點在軸上，設(shè)雙曲線，根據(jù)焦點到漸近線的距離為，可求得，即可求得雙曲線方程，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一分析各選項即可的解.
【詳解】解：由題意知雙曲線的焦點在軸上，設(shè)雙曲線，
雙曲線的漸近線方程為，取，
即焦點到漸近線的距離為．
所以，所以，所以雙曲線的方程為，故選項A正確；
雙曲線的漸近線方程為故選項B錯誤；
離心率，故選項C正確；
雙曲線上的點到焦點距離的最小值為，故選項D正確.
故選：ACD．
7． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：（，）的一條漸近線的方程為，且過點，橢圓：（）的焦距與雙曲線的焦距相同，且橢圓的左右焦點分別為，過的直線交于（），兩點，則下列敘述正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為2
B．雙曲線的實軸長為
C．點的橫坐標的取值范圍為
D．點的橫坐標的取值范圍為
【答案】AD
【分析】通過計算求出雙曲線的離心率和實軸長，即可判斷選項A和B的正誤；聯(lián)立直線和橢圓的方程求出，即得點的橫坐標的取值范圍，即可判斷選項C和D的正誤.
【詳解】雙曲線：（，）的一條漸近線的方程為，
則設(shè)雙曲線的方程為（），
由雙曲線且過點，得，得，
∴雙曲線的方程為，即，
∴雙曲線的離心率，實軸的長為1，
故選項A正確，選項B錯誤；
易知橢圓的兩焦點為，，
將（）代入（）得，
∴，∴直線的方程為，
聯(lián)立整理得，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，
則．
由得，則，
∴，故選項C錯誤，選項D正確，
故選：AD．
三、填空題
8． (2023·福建寧德·模擬預(yù)測）若過點的雙曲線的漸近線為，則該雙曲線的標準方程是___________.
【答案】
【分析】由題設(shè)雙曲線方程為，進而待定系數(shù)求解即可.
【詳解】解：因為雙曲線的漸近線為，
故設(shè)其方程為，
因為點在雙曲線上，
所以，，即所求方程為.
故答案為：
四、解答題
9． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為 ，點在雙曲線E上.
(1)求雙曲線E的標準方程；
(2)若動直線l與雙曲線E相切，過點作直線l的垂線，垂足為H，試判斷是否為定值？如果是，請求出該值；如果不是，請說明理由.
【答案】(1)(2)是定值，定值為
【分析】（1）利用已知條件求出a，b的值即可求解；
（2）由題意得出直線l的斜率不為0，當(dāng)切線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線E的方程得到m，k的關(guān)系式，聯(lián)立直線PH與l表示出點H坐標，再利用兩點間的距離公式即可求解；當(dāng)切線l的斜率不存在時，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)即可求解.
(1)設(shè)雙曲線E的漸近線方程為，因為一條漸近線的傾斜角為，所以;
又雙曲線E經(jīng)過點，所以，
而，故解得，，
所以雙曲線E的標準方程為.
(2)由題意可得直線l的斜率不為0，當(dāng)切線l的斜率存在時，
設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線l和雙曲線E的方程得 ，
消去y并整理得，
因為直線l與雙曲線E相切，即方程有兩個相等的實數(shù)根，
所以且，
化簡并整理得，
又因為直線PH與l垂直，，所以直線PH的方程為，
聯(lián)立 ，解得 ，
即點，
所以
，
所以；
當(dāng)切線l的斜率不存在時，直線，過點作直線l的垂線為，
此時或，則，
綜上所述，恒為定值.
【點睛】本題以雙曲線為背景，考查雙曲線的標準方程?直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查邏輯推理?數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).，解得的關(guān)鍵是明確解題的思路，計算要準確.
10． (2023·上海市七寶中學(xué)高三期中）雙曲線：（a＞0，b＞0） 經(jīng)過點，且漸近線方程為．
(1)求，的值；
(2)點，，是雙曲線上不同的三點，且，兩點關(guān)于軸對稱，的外接圓經(jīng)過原點．求證：點與點的縱坐標互為倒數(shù)；
(3)在（2）的條件下，試問是否存在一個定圓與直線相切，若有，求出定圓方程，沒有說明理由．
【答案】(1)(2)證明見解析(3)存在定圓與直線相切
【分析】（1）運用代入法,結(jié)合雙曲線的漸近線方程進行求解即可;（2）設(shè)出直線的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合圓的性質(zhì)進行求解即可（3）易求原點到直線的距離為定值，故存在定圓與直線相切
(1),解得,
則
(2)證明:易知直線一定不為水平直線,
設(shè)為,設(shè),,
聯(lián)立,整理得,
則,
由于外接圓過原點且關(guān)于軸對稱,設(shè)為,
則

又，所以
(3)因為, 所以
則原點到直線的距離,
故存在定圓與直線相切
11． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知雙曲線：（）的右焦點，點分別在的兩條漸近線上，軸，∥（為坐標原點）.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過上一點的直線與直線相交于點，與直線相交于點，證明：當(dāng)點在上移動時，恒為定值，并求此定值.
【答案】(1)(2)證明見解析，定值為
【分析】（1）表達出直線OB方程，直線BF的方程，聯(lián)立后得到B點坐標，得到直線AB的斜率，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出，從而求出雙曲線方程；
（2）求出M點坐標，N點坐標，表達出，結(jié)合得到，從而得到恒為定值，并求此定值.
(1)設(shè)，
因為，
所以，直線OB方程為，
直線BF的方程為，解得：，
又直線OA的方程為，則
又因為ABOB，
所以，解得：，
故雙曲線C的方程為
(2)由（1）知，則直線的方程為，即，
因為直線AF的方程為，
所以直線與AF的交點
直線與直線的交點為，則
因為是C上一點，則，
代入上式得，
所求定值為.
12． (2023·河北衡水中學(xué)一模）在平面直角坐標系中，雙曲線的離心率為，實軸長為4.
(1)求C的方程；
(2)如圖，點A為雙曲線的下頂點，直線l過點且垂直于y軸（P位于原點與上頂點之間），過P的直線交C于G，H兩點，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點，若O，A，N，M四點共圓，求點P的坐標.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率結(jié)合實軸長，可求得a,b,即得答案;
（2）根據(jù)O，A，N，M四點共圓結(jié)合幾何性質(zhì)可推出，設(shè)，，，從而可以用點的坐標表示出t,再設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，代入t的表達式中化簡，可得答案.
(1)因為實軸長為4，即，，
又，所以，，
故C的方程為.
(2)由O，A，N，M四點共圓可知，，
又，即，
故，
即，所以,
設(shè)，，，
由題意可知，則直線，直線，
因為M在直線l上，所以，代入直線AG方程，可知，
故M坐標為，所以，
又，由，則，
整理可得，
當(dāng)直線GH斜率不存在時，顯然不符合題意，
故設(shè)直線，代入雙曲線方程：中，
可得，所以，，
又
，
所以,
故，即，所以點P坐標為.
【點睛】本題考查了雙曲線方程的求解，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系的問題，解答時要注意明確點線的位置關(guān)系，能設(shè)相關(guān)點的坐標，從而表示出參數(shù)的表達式，再結(jié)合聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式化簡，難點在于較為繁雜的計算，要十分細心.
13． (2023·河南·三模（理））已知雙曲線的右焦點為，，，成等差數(shù)列，過的直線交雙曲線于?兩點，若雙曲線過點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過雙曲線的左頂點作直線?，分別與直線交于?兩點，是否存在實數(shù)，使得以為直徑的圓恒過，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)(2)存在，或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求雙曲線方程；
（2）假設(shè)存在實數(shù)，使得以為直徑的圓恒過，則，結(jié)合韋達定理可得的值.
(1)由已知設(shè)雙曲線方程為，又，，成等差數(shù)列，且雙曲線過點，
則，解得，，，
故所求方程為，
(2)由（1）得，設(shè)?方程分別為?，
則，，
因為以為直徑的圓經(jīng)過，所以即，
即，
設(shè)方程為，與聯(lián)立得，
設(shè)，，則，，
所以，
即，
所以，
，解得或.
題型二：相同漸近線雙曲線方程求法
一、單選題
1． (2023·浙江嘉興·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的漸近線方程為，且焦距為10，則雙曲線C的標準方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)共漸近線的雙曲線的設(shè)法，結(jié)合題意分析求解．
【詳解】漸近線方程為的雙曲線為，即，故，故，
故選：C．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線與雙曲線有公共的漸近線，且經(jīng)過點，則雙曲線的離心率為（ ）．
A．B．C．4D．2
【答案】D
【解析】雙曲線與雙曲線有公共的漸近線，設(shè)雙曲線C的方程，其中λ≠0，又因為點在雙曲線上，再代入點P的坐標即可得到雙曲線C的方程，然后求解焦距即可．
【詳解】雙曲線與雙曲線有公共的漸近線，
設(shè)雙曲線C的方程，其中λ≠0，
∵點在雙曲線上，
∴，解之得，
因此雙曲線方程為,
故離心率為.
故選：D.
【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及離心率，根據(jù)題意列出未知數(shù)，解出a，b，c即可求得離心率，屬于中等題.
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標準方程為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)焦點所在坐標軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標準方程，結(jié)合焦點坐標求解.
【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點在軸上，
∴可設(shè)雙曲線的方程為，一個焦點為，
∴，∴，故的標準方程為.
故選：B
【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導(dǎo)致方程形式出錯.
二、多選題
4． (2023·全國·高三階段練習(xí)）已知雙曲線過點且漸近線為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的方程為B．的離心率為2
C．曲線經(jīng)過的一個焦點D．直線與有兩個公共點
【答案】BC
【解析】設(shè)所求雙曲線方程為，將點代入可判斷A；由A求出，即可求出離心率，判斷B；求出雙曲線的右焦點的坐標為，代入曲線方程即可判斷C；聯(lián)立方程組可判斷D.
【詳解】對于選項A，由可得，
從而可設(shè)所求雙曲線方程為.
又由雙曲線過點，代入得，即，故選項A錯誤；
對于選項B，由雙曲線的方程可知，，，
所以的離心率，故選項B正確；
對于選項C，雙曲線的右焦點的坐標為，
滿足，故選項C正確；
對于選項D，聯(lián)立，解得，，
所以直線與雙曲線只有一個交點，故選項D錯誤.
故選：BC.
【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)?直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查運算求解?推理論證能力，考查直觀想象?數(shù)學(xué)運算?邏輯推理核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線過點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線與雙曲線有相同的漸近線
C．若到漸近線的距離為2，則雙曲線的方程為
D．若直線與漸近線圍成的三角形面積為則焦距為
【答案】BCD
【解析】根據(jù)漸近線所過的點可求的關(guān)系，從而可求漸近線的方程和離心率，故可判斷A、B的正誤，利用已知的條件和的關(guān)系可求基本量，從而可判斷C、D的正誤.
【詳解】漸近線的方程為，因為一條漸近線過點，
故即，故離心率為，故A錯誤.
又漸近線的方程為，而雙曲線的漸近線的方程為，
故B正確.
若到漸近線的距離為2，則，故，
所以雙曲線的方程為，故C正確.
直線與漸近線的兩個交點的坐標分別為：及，
故即，
而，故，，所以，
所以，故焦距為，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】方法點睛：（1）求雙曲線的漸近線的方程，一般是將等號右邊的常數(shù)變?yōu)榱悖?br>（2）雙曲線的焦點到漸近線的距離為.
三、填空題
6． (2023·遼寧·模擬預(yù)測）焦點在軸上的雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且的焦點到一條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為______．
【答案】
【分析】由共漸近線的雙曲線系方程可設(shè)，根據(jù)焦點到漸近線距離為可構(gòu)造方程求得，由此可得雙曲線方程.
【詳解】由題意可設(shè)雙曲線的方程為：，即；
則，，
雙曲線焦點到漸近線距離為，，解得：，
雙曲線的方程為：.
7． (2023·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線（，）與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點，則的實軸長為_________
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件求出a，b的關(guān)系，再由雙曲線過的點即可計算作答.
【詳解】雙曲線的漸近線為，而雙曲線的漸近線為，
依題意，，又雙曲線經(jīng)過點，則，解得：，
所以雙曲線的實軸長為.
故答案為：
四、解答題
8． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線與有相同的漸近線，點為的右焦點，為的左，右頂點.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）若直線過點交雙曲線的右支于兩點，設(shè)直線斜率分別為，是否存在實數(shù)入使得?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）根據(jù)的漸近線方程求出，然后再根據(jù)焦點坐標求出的值，從而求雙曲線的標準方程；
（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立消元寫韋達；然后表示出直線斜率，根據(jù)韋達定理求的值，從而求出的值.
【詳解】（1）的漸近線為，，
，，
所以雙曲線的標準方程.
（2）由已知，，
過點與右支交于兩點，則斜率不為零，
設(shè)，由，消元得，
因為與雙曲線右支交于兩點，所以，解得
，
，
，
，
，，
，
存在使得.
題型三：直接法解決離心率問題
一、單選題
1． (2023·廣東·佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知雙曲線的方程，則該雙曲線的離心率為 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由雙曲線方程可求得，由此可求得離心率.
【詳解】由可得： ，
故離心率為 ，
故選：D
2． (2023·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測（理））如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點和．且，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，，由雙曲線的定義可得，，在直角三角形中，在中，運用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理和余弦定理，化簡整理，結(jié)合離心率公式，可得所求值．
【詳解】解：設(shè)，，
由雙曲線的定義可得，，
由，可得，
在直角三角形中，，①
，②
在中，可得③
由①②可得，，
代入③可得，
即為，
則，
故選：D．
3． (2023·浙江金華·三模）已知雙曲線C：，為坐標原點，為雙曲線的左焦點，若的右支上存在一點，使得外接圓的半徑為，且四邊形為菱形，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，易證為直角三角形，解出與
代離心率的計算公式即可求解
【詳解】
如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點為，連接
因為外接圓的半徑為，則
又四邊形為菱形，所以
則為正三角形，所以，
因為，所以，又
所以為正三角形，所以，所以
在中，，，
所以
所以
故選：B
4． (2023·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點，過點，分別作直線，交雙曲線于，，，四點，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用雙曲線的定義，幾何關(guān)系以及對稱性，再利用平行四邊形的特點，
以及點在圓周上的向量垂直特點，列方程可解.
【詳解】設(shè) ，則 ，
由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知： ，
連接 ，則有 ，

由于 在以AD為直徑的圓周上， ，
∵ABCD為平行四邊形， ， ，
在直角三角形 中，， ，
解得： ， ；
在直角三角形 中， ， ，
得 ， ，
故選：D.
5． (2023·貴州黔東南·一模（理））已知雙曲線，直線與C交于A、B兩點（A在B的上方），，點E在y軸上，且軸．若的內(nèi)心到y(tǒng)軸的距離為，則C的離心率為（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題目信息畫出準確圖像，本題重難點在于合理利用三角形內(nèi)心性質(zhì)，以及角平分線定理，得到關(guān)系后即可求出離心率.
【詳解】因為A在B的上方，且這兩點都在C上，所以，
則．因為，所以A是線段的中點，又軸，所以，，
所以的內(nèi)心G在線段上．因為G到y(tǒng)軸的距離為，
所以，所以，因此，
即．故．
故選：B
二、多選題
6． (2023·山東煙臺·一模）已知雙曲線C：，，為C的左、右焦點，則（ ）
A．雙曲線和C的離心率相等
B．若P為C上一點，且，則的周長為
C．若直線與C沒有公共點，則或
D．在C的左、右兩支上分別存在點M，N使得
【答案】BC
【分析】求得雙曲線和C的離心率判斷選項A；求得的周長判斷選項B；由直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定判斷選項C；求解滿足題意條件的直線MN判斷選項D.
【詳解】選項A：雙曲線C：的離心率
雙曲線的離心率
則雙曲線和C的離心率不一定相等.判斷錯誤；
選項B：P為C：上一點，且
則有，整理得
則的周長為.判斷正確；
選項C：由，可得
由題意可知，方程無解
當(dāng)時，方程有解；
當(dāng)時，則有，解之得或
故若直線與C沒有公共點，則或.判斷正確；
選項D：根據(jù)題意，過雙曲線C的左焦點的直線方程可設(shè)為
令，由，可得
由，可得
則有，則有，
整理得，顯然不成立.
當(dāng)過雙曲線C的左焦點的直線為水平直線時，方程為
則，，即.
綜上可知，不存在分別在C的左、右兩支上M，N使得.判斷錯誤.
故選：BC
三、填空題
7． (2023·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（理））已知雙曲線C：（），以C的焦點為圓心，3為半徑的圓與C的漸近線相交，則雙曲線C的離心率的取值范圍是________________．
【答案】
【分析】根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑，即可得的范圍，進而可得離心率范圍.
【詳解】雙曲線C的漸近線方程為，右焦點，
∵漸近線與圓相交，
∴，即，
∴，可得，
∴雙曲線C的離心率為：，且．
∴．
故答案為：
8． (2023·山東日照·二模）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為___________.
【答案】
【分析】連接，，設(shè)，則，根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，再根據(jù)銳角三角函數(shù)得到、，從而得到方程求出，再在利用勾股定理計算可得；
【詳解】解：如圖，連接，，則，，和，，都三點共線，
設(shè)，則.
由，
所以
所以，
又，所以，即，
，即，
又，
因此，即，
在中，即.
故.
故答案為：
9． (2023·浙江·三模）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點是雙曲線第一象限上一點，在點P處作雙曲線C的切線l，若點到切線l的距離之積為3，則雙曲線C的離心率為_______．
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系可求得在點P處的切線方程，再根據(jù)點到直線的距離公式分別求出點到切線l的距離，列出方程，求出，即可求出離心率．
【詳解】設(shè)點，有．
設(shè)在點P處的切線方程為，聯(lián)立雙曲線方程，由可解得，所以切線方程為，
到切線l距離，
到切線l距離，
所以，即
，
所以，故．
故答案為：．
四、解答題
10． (2023·河北張家口·三模）已知，點，，動點P滿足，點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)直線與曲線C相切，與曲線交于M?N兩點，且（O為坐標原點），求曲線E的離心率.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據(jù)兩點間距離距離公式，結(jié)合已知等式進行求解即可；
（2）根據(jù)曲線切線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、平面向量垂直的性質(zhì)、雙曲線的離心率公式進行求解即可.
(1)設(shè)，由得，整理得即為曲線C；
(2)與曲線C相切，，即.
設(shè)，，
將代入曲線E整理得：，
，，
，.
，，即.
，
，整理得，
，即，，.
故曲線E的離心率為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
題型四：構(gòu)造齊次方程法求離心率的值或范圍
一、單選題
1． (2023·湖北省天門中學(xué)模擬預(yù)測）已知共焦點的橢圓和雙曲線，焦點為，，記它們其中的一個交點為P，且，則該橢圓離心率與雙曲線離心率必定滿足的關(guān)系式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長，焦距，根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用表示出,在中根據(jù)余弦定理可得到的值.
【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，
則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義，，
設(shè)，
則在中由余弦定理得，
化簡，該式變成.
故選：C.
2． (2023·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】D
【分析】利用雙曲線的定義得到，，利用余弦定理表達出，進而表達出正弦，求出與面積相加，得到的面積，得到方程，解出離心率的平方.
【詳解】如圖，由雙曲線的定義可知：，，
因為，所以，
代入中，可得：，
因為，
所以在三角形中，由余弦定理得：，
因為，
所以，
則，
取的中點M，連接BM，
因為，所以，，
所以，
，
又因為，
所以，
化簡得：，
同除以得：，
解得：或（舍去）
故選：D
3． (2023·浙江·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，M為右支上一點，的內(nèi)切圓圓心為Q，直線交x軸于點N，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由切線長定理及雙曲線的定義求得點橫坐標為，再由直線的方程求出，再借助求得，進而求得，在，由雙曲線的定義及余弦定理即可求出.
【詳解】
如圖，設(shè)內(nèi)切圓Q與的三邊分別切于三點，過作軸于點，易得，
又由雙曲線定義得，即，又，
故，即點橫坐標為，又，則，故直線的方程為，代入，
解得，即，又，則，故，
又，則，，在中，由余弦定理得，
即，化簡得，即，解得或，又離心率大于1，故離心率為.
故選：A.
二、多選題
4． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知為坐標原點，雙曲線的右焦點為，是的一條漸近線，以為圓心，為半徑的圓與交于，兩點，則（ ）
A．過點且與圓相切的直線與雙曲線沒有公共點
B．的離心率的最大值是
C．若，則的離心率的取值范圍是
D．若，則的離心率為
【答案】ACD
【分析】選項A. 雙曲線的漸近線與圓交于，兩點，所以過點且與圓相切的直線與沒有公共點從而可判斷；選項B. 過點作,則，故可得，從而可得離心率的范圍，從而可判斷；選項C. 由條件可得，即，從而，從而可得離心率的范圍，從而可判斷；選項D. 由條件可得為線段的中點，由勾股定理得出的關(guān)系，從而可得離心率的范圍，從而可判斷.
【詳解】對于A，因為雙曲線的漸近線與圓交于，兩點，所以過點且與圓相切的直線與沒有公共點（如圖），故選項A正確．
對于B，過點作，垂足為，易知，
因為圓與直線相交，所以，又，
所以，即，所以的離心率的取值范圍是，故選項B錯誤．
對于C，若，則，故，故，
所以，即，，，
得，又由B知，所以，故選項C正確．
對于D，因為，所以為線段的中點，
設(shè)，則，，
在和中，由勾股定理得，
，消去得，，
即，所以，故選項D正確．
故選：ACD
三、雙空題
5． (2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知，，是雙曲線C：的左右焦點，過的直線與雙曲線左支交于點A，與右支交于點B，與內(nèi)切圓的圓心分別為，，半徑分別為，，則的橫坐標為__________；若，則雙曲線離心率為__________.
【答案】 2
【分析】根據(jù)題意，利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及雙曲線的定義可得雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓圓心的橫坐標為；利用三角形相似及兩個內(nèi)切圓半徑的比值，構(gòu)造的齊次方程，即可求解離心率.
【詳解】
如圖，在中，圓為內(nèi)切圓，切點分別為，
故，
又是雙曲線上的一點，故，即，
又，故，則.
故的內(nèi)切圓的圓心橫坐標為，
同理可得，的內(nèi)切圓的圓心橫坐標為，即；
又，則，
即，解得.
故答案為：；2.
四、填空題
6． (2023·河北·模擬預(yù)測）已知分別為雙曲線的左?右焦點，過點的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率是__________．
【答案】
【分析】在中，由正弦定理可得，再根據(jù)雙曲線的定義可求得，設(shè)的中點為，根據(jù)題意可得,再根據(jù)雙曲線的定義可求得，在中，利用余弦定理求得的關(guān)系，即可得出答案.
【詳解】解：在中，
由，得，
因為，所以，
又，
設(shè)的中點為，則，
所以，所以，
所以,
設(shè)，
則，又，
則，解得，
所以，
所以是正三角形，從而,
在中，由，
得，
所以．
故答案為：.
7． (2023·福建三明·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為?，雙曲線上一點A關(guān)于原點O對稱的點為B，且滿足，，則該雙曲線的離心率為___________.
【答案】
【分析】利用雙曲線的定義，結(jié)合，且，由是矩形，且 ，利用勾股定理求解.
【詳解】解：如圖所示：
由雙曲線的定義得：，
又，且，
所以是矩形，且 ，
又因為，
即，
解得，
故答案為：
8． (2023·安徽馬鞍山·三模（文））已知雙曲線E的焦點在x軸上，中心為坐標原點，F(xiàn)為E的右焦點，過點F作直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點，過點F作直線與E的右支交于C，D兩點，若點B恰為的重心，且為等腰直角三角形，則雙曲線E的離心率為___________.
【答案】
【分析】設(shè)雙曲線方程為，由重心可知為的一條中線，即可判斷點為的中點，則為，分別討論的兩腰，并檢驗點為重心，即可求解.
【詳解】由題，設(shè)雙曲線方程為，
因為點B恰為的重心，則為的一條中線，
所以點為的中點，則為，
因為為等腰直角三角形，若，則點為左支的頂點，且，
所以設(shè)，則，即，
所以，因為，解得，即，
此時，，，所以重心為，
即為，是點，符合題意；
若，則設(shè)點為點關(guān)于軸的對稱點，所以可設(shè)，
則，即，所以，解得，即，
此時，，則重心為，即，
又，即重心不在雙曲線上，不符合條件，
綜上，，
故答案為：2
【點睛】易錯點點睛：（1）雙曲線的離心率大于1；
（2）對于等腰直角三角形，需討論哪兩條邊為腰。
五、解答題
9． (2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線的左、右頂點，直線過右焦點且與雙曲線的右支交于，兩點，當(dāng)直線垂直于軸時，為等腰直角三角形.
（1）求雙曲線的離心率；
（2）已知直線，分別交直線于兩點，當(dāng)直線的傾斜角變化時，以為直徑的圓是否過定點，若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.
【答案】（1）2；（2）以為直徑的圓過定點，.
【分析】（1）由已知得，由此可求得雙曲線的離心率.
（2）由（1）得雙曲線，設(shè)直線，，，與雙曲線的方程聯(lián)立，得出根與系數(shù)的關(guān)系，得到以為直徑的圓的方程，可得定點.
【詳解】（1）由軸時， 為等腰直角三角形，可得，所以，
即，故，結(jié)合，解得.
故雙曲線的離心率為2.
（2）因為，所以雙曲線，
顯然直線l的斜率不為0，設(shè)直線，，，
聯(lián)立直線與雙曲線的方程得，化簡得，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，①
所以，②
，③
設(shè)直線，直線，
令，可得，
設(shè)是以為直徑的圓上的任意一點，則，
則以為直徑的圓的方程為，
由對稱性可得，若存在定點，則一定在軸上，令，可得，
即，
將①②③代入，可得，即，
解得或，
所以以為直徑的圓過定點，.
【點睛】方法點睛：(1)解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形．有時若直線過x軸上的一點，可將直線設(shè)成橫截式.
10． (2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的方程為，、為其左?右兩個頂點，是雙曲線上的任意一點，引，，與交于點.
（1）求點的軌跡方程；
（2）設(shè)（1）中所求軌跡為，、的離心率分別為、，當(dāng)時，的取值范圍.
【答案】（1）（除點外）；（2）.
【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得出、的坐標，由，，由直線的斜率公式得出點的坐標間的關(guān)系式，從而得出點的軌跡方程；
（2）由（1）得的方程為：，利用橢圓的幾何性質(zhì)求出，最后根據(jù)，即可求出的取值范圍.
【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)，
，
由①②得：，
，
代入③得，即，
即，經(jīng)檢驗點不合題意，
因此Q點的軌跡方程為（除點外）.
（2）由（1）得Q點的軌跡方程為（除點外），
所以的方程為：，
，
，，
.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)、直線垂直的條件、不等式的運算，以及點的軌跡方程的求法，解題的關(guān)鍵在于求解點的軌跡方程，考查數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)運算的能力.
題型五：漸近線綜合問題
一、單選題
1． (2023·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（文））已知為坐標原點，雙曲線的右焦點為，離心率，過的直線與的兩條漸近線的交點分別為為直角三角形，，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)離心率可得漸近線方程以及漸近線的夾角，結(jié)合Rt△求．
【詳解】雙曲線的離心率
的漸近線方程為：，兩漸近線的夾角為，
不妨設(shè)與直線垂直，垂足為，
則．
故選: B．
2． (2023·山西呂梁·三模（文））已知雙曲線的離心率是它的一條漸近線斜率的2倍，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)列式可求出結(jié)果.
【詳解】由題意得,解得，即.
故選：A.
3． (2023·江西宜春·模擬預(yù)測（文））若雙曲線的一個頂點為A，過點A的直線與雙曲線只有一個公共點，則該雙曲線的焦距為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】斜率為，
過點A的直線與雙曲線只有一個公共點，
則該直線與雙曲線的漸近線平行，且過雙曲線右頂點(a，0)，
故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距為2c=．
故選：D．
4． (2023·四川遂寧·模擬預(yù)測（文））設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點是，，為原點，若以為直徑的圓與C的漸近線的一個交點為P，且，則C的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不妨設(shè)其中一條漸近線為 ，P在上，設(shè)的傾斜角為，由余弦定理求得，即可求得漸近線方程.
【詳解】由題意可知 ，不妨設(shè)其中一條漸近線為 ，P在上，
設(shè)的傾斜角為 ，則 ,
故在中， ，
即 ，則 ，故 ，
故C的漸近線方程為，
故選：A
5． (2023·海南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的焦點坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得雙曲線的漸近線方程為 ，根據(jù)一條漸近線與直線垂直，求得，繼而求得，可得答案.
【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為 ，
因為雙曲線的其中一條漸近線與直線垂直，故 ，
而 ，故 ，故雙曲線的焦點坐標為，
故選：B
二、多選題
6． (2023·福建南平·三模）已知雙曲線的方程為，，分別為雙曲線的左?右焦點，過且與x軸垂直的直線交雙曲線于M，N兩點，又，則（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．雙曲線的頂點到兩漸近線距離的積的5倍等于焦點到漸近線距離的平方
C．雙曲線的實軸長?虛軸長?焦距成等比數(shù)列
D．雙曲線上存在點，滿足
【答案】AB
【分析】先由求得，即可求出漸近線判斷A選項，由點到直線的距離公式即可判斷B選項，由實軸長?虛軸長?焦距結(jié)合等比中項即可判斷C選項，由雙曲線定義結(jié)合的范圍即可判斷D選項.
【詳解】易知雙曲線的方程為，令得，故，解得，雙曲線的漸近線方程為，即，故A正確；
雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的對稱性，不妨取右頂點，右焦點，則頂點到兩漸近線距離的積為，
焦點到漸近線距離的平方為，又，，故，B正確；
，，顯然，C錯誤；
若，又由雙曲線定義，解得，
故不存在點，滿足，D錯誤.
故選：AB.
7． (2023·湖南·一模）已知雙曲線的左焦點為F，過點F作C的一條漸近線的平行線交C于點A，交另一條漸近線于點B．若，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線C的漸近線方程為B．雙曲線C的離心率為
C．點A到兩漸近線的距離的乘積為D．O為坐標原點，則
【答案】BCD
【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的漸近線方程、離心率公式逐一判斷即可.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
不妨設(shè)過點F的直線與直線平行，交于C于點A.
對于A：設(shè)雙曲線半焦距為c，
過點F與直線平行的直線的方程為，與聯(lián)立，解得
，由，設(shè)，所以，
可得，依題：
，得，故漸近線方程為，A錯誤；
對于B：由可得，B正確；
對于C：A到兩漸近線距離的乘積，C正確
對于D：
故，
故，所以D正確．
故選：BCD
【點睛】關(guān)鍵點睛：求出兩點坐標是解題的關(guān)鍵.
8． (2023·全國·高三專題練習(xí)）下列雙曲線的漸近線方程為的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】的漸近線方程為：，的漸近線方程為：.
【詳解】A選項，的漸近線方程為，A正確；
B選項，的漸近線方程為：，B錯誤；
C選項，的漸近線方程為：，C錯誤；
D選項，的漸近線方程為：，D正確.
故選：AD
三、填空題
9． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線的左?右焦點，則下列說法正確的序號是___________.
①；
②若，則雙曲線C的離心率為；
③若點P在雙曲線C的右支上，與y軸交于M，，則；
④若雙曲線C的離心率為，則兩條漸近線夾角余弦值為.
【答案】②③④
【分析】根據(jù)雙曲線的定義知，得到①錯誤；由，求得離心率為，得到②正確；由與y軸交于M，且，得到軸，將代入曲線，求得，得到③正確；設(shè)漸近線的傾斜角為，得到，結(jié)合，求得，進而求得的值，得到④正確.
【詳解】對于①中，根據(jù)雙曲線的定義知，故①錯誤；
對于②中，若，則雙曲線C為等軸雙曲線，其離心率為，故②正確；
對于③中，由與y軸交于M，且，所以M是的中點，所以軸，將代入，得，所以，故③正確；
對于④，設(shè)漸近線的傾斜角為，則，所以，
因為雙曲線C的離心率為，所以，所以，
根據(jù)漸近線的對稱性得，漸近線的夾角的余弦值等于，故④正確.故說法正確的序號是②③④.
故答案為：②③④.
四、解答題
10． (2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的方程為，且右焦點到的距離為1．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若點為直線上一點，傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且為等邊三角形，求直線在軸上的截距．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可確定的關(guān)系式，由到的距離為1，可求解的大小，結(jié)合雙曲線中，即可求解.
（2）設(shè)直線截距式方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理求解兩交點縱坐標之間的關(guān)系式，并求解線段中點坐標，利用等邊三角形的性質(zhì)及點到直線的距離即可求解直線在軸上的截距.
(1)解：設(shè)右焦點，因為點到直線的距離為1，
所以，所以，
由漸近線方程知，所以，
又，所以，，所以，
故雙曲線的標準方程為．
(2)解：設(shè)直線，易知，
與雙曲線方程聯(lián)立，化簡可得，
由，得．
設(shè)，，則，，
所以，
故的中點的坐標為，設(shè)，
易知，所以，解得，
故．
因為為等邊三角形，所以
，所以，
得，滿足，
故直線在軸上的截距為．
題型六：利用自變量范圍求離心率范圍
一、單選題
1． (2023·山西太原·二模（理））已知雙曲線的右焦點為，點Q為雙曲線左支上一動點，圓與y軸的一個交點為P，若，則雙曲線離心率的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將條件轉(zhuǎn)化為三角形兩邊之和大于第三邊，得到實半軸長的取值范圍，進而得到離心率的最大值.
【詳解】
設(shè)雙曲線的左焦點為,則，所以，由題意可得
所以，，，所以.
故選：A.
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：（，）的右焦點F（，0），點Q是雙曲線C的左支上一動點，圓E：與y軸的一個交點為P，若，則雙曲線C的離心率的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用雙曲線的定義進行焦半徑的轉(zhuǎn)化，由此求出的最小值即可求出a的范圍，再根據(jù)離心率計算公式可求離心率最大值.
【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為，則，即，
故．
由題意可得，
∵，∴，
則雙曲線C的離心率．
故選：A．
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)（文））已知點為雙曲線的右焦點，直線，與雙曲線交于，兩點，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)，可設(shè).把點的坐標代入雙曲線方程可得出，利用求根公式即可解出.結(jié)合，可求出，從而可求出答案.
【詳解】不妨設(shè)在第一象限，因為，所以設(shè)，為銳角，
代入雙曲線方程可得：，即，
化簡可得，即，
因為，所以解得，
因為直線，，所以，即，
所以，所以，所以．
故選：．
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，若雙曲線不存在以點為中點的弦，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意知點(2a，a)必在雙曲線外部；若存在(2a，a)為中點的弦，根據(jù)點差法可得弦的斜率為，要使弦不存在，則弦與雙曲線無交點，則弦的斜率大于漸近線斜率，如此即可得到的取值范圍，進而求出離心率的范圍﹒
【詳解】由題意知點(2a，a)必在雙曲線外部，則，得；
假設(shè)以(2a，a)為中點存在弦，設(shè)弦與雙曲線交于，
則，兩式作差得，
即，
∵不存在該中點弦，∴直線AB與雙曲線無交點，則，得；
綜上，可得；
又∵離心率e＝，∴≤e≤，即，
故選：B
二、多選題
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線：，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則曲線為橢圓
B．若，則曲線為焦點在軸上的雙曲線
C．若曲線為雙曲線，則其焦距是定值
D．若曲線為焦點在軸上的雙曲線，則其離心率小于
【答案】BD
【分析】取判斷A；根據(jù)雙曲線的定義以及性質(zhì)判斷BCD.
【詳解】對于A，當(dāng)時，表示圓，不是橢圓，故A錯誤；
對于B，當(dāng)曲線為焦點在軸上的雙曲線時，，解得，故B正確；
對于C，當(dāng)時，，此時曲線為焦點在軸上的雙曲線，，則焦距不是定值，故C錯誤；
對于D，由C選項可知，，，令，則，故D正確；
故選：BD
三、填空題
6． (2023·重慶一中高三階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若上存在點使得，則雙曲線：的離心率的取值范圍是______.
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得，用a表示，解不等式可得答案.
【詳解】因為上存在點使得，所以,橢圓中，，因此，.
故答案為：.
7． (2023·浙江紹興·高三期末）已知是雙曲線.左，右焦點，若上存在一點，使得成立，其中是坐標原點，則的離心率的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】不妨設(shè)點在雙曲線的右支上，設(shè)，則，先求出，，由條件可得，再根據(jù)，根據(jù)建立不等式從而可得答案.
【詳解】不妨設(shè)點在雙曲線的右支上，設(shè)，則，則
則

同理可得
由，可得
，又
所以，即，即
所以，即，即，即
所以，即
故答案為：
四、解答題
8． (2023·新疆昌吉·高三階段練習(xí)（文））已知雙曲線的左?右焦點分別為，點P在雙曲線的右支上（點P不在x軸上），且.
(1)用a表示；
(2)若是鈍角，求雙曲線離心率e的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）直接利用雙曲線的定義結(jié)合條件求得；
（2）由余弦定理得到，利用是鈍角，則，解得離心率e的取值范圍.
(1)因為點P在雙曲線的右支上，所以，
又，聯(lián)立解得.
(2)在中，由余弦定理得，
因為，所以，所以.
9． (2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為 ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當(dāng)時，求雙曲線離心率的取值范圍.
【答案】
【分析】如圖建立直角坐標系，設(shè)E，C，C點坐標代入，求出，由定比分點性質(zhì)可求出E點坐標，將點C、E的坐標和代入雙曲線方程化簡可得，即可求出的取值范圍.
【詳解】以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標系，如圖，
則CD⊥軸，雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于軸對稱 ，
依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，
是梯形的高，由定比分點坐標公式得：

，
設(shè)雙曲線的方程為，則離心率
由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和代入雙曲線方程得：
， ①
②
由①式得 ， ③ ，將③式代入②式，整理得：
，
故
由題設(shè)得，，
解得，
所以雙曲線的離心率的取值范圍為.

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