§7.6　空間向量的概念與運(yùn)算考試要求　1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)和垂直.3.理解直線(xiàn)的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線(xiàn)面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理．知識(shí)梳理1．空間向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義空間向量在空間中，具有__________和________的量相等向量方向________且模________的向量相反向量長(zhǎng)度________而方向________的向量共線(xiàn)向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相________或______的向量共面向量平行于________________的向量 2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線(xiàn)向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使________________．(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在______的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝______.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝____________，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝________________．(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b 共線(xiàn)a＝λb(b≠0，λ∈R) 垂直a·b＝0(a≠0，b≠0) 模|a| 夾角余弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝______________ 4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線(xiàn)的方向向量：如果表示非零向量a的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)與直線(xiàn)l平行或重合，則稱(chēng)此向量a為直線(xiàn)l的方向向量．(2)平面的法向量：直線(xiàn)l⊥α，取直線(xiàn)l的方向向量a，則向量a為平面α的法向量．(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線(xiàn)l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線(xiàn)l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝0 常用結(jié)論1．三點(diǎn)共線(xiàn)：在平面中A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)?＝x＋y(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)．2．四點(diǎn)共面：在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面?＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點(diǎn)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個(gè)非零向量a，b共面．(　 　)(2)空間中模相等的兩個(gè)向量方向相同或相反．(　 　)(3)若A，B，C，D是空間中任意四點(diǎn)，則有＋＋＋＝0.(　 　)(4)若直線(xiàn)a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.(　 　)教材改編題1. 如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，設(shè)＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　)A．－a＋b＋c   B.a＋b＋cC．－a－b－c   D．－a－b＋c2. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(　　)A．相交   B．平行C．垂直   D．不能確定3．設(shè)直線(xiàn)l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m＝________.題型一　空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算例1　(1)在空間四邊形ABCD中，＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，點(diǎn)E，F分別為線(xiàn)段BC，AD的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為(　　)A．(2,3,3)   B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1)   D．(－5,2，－1)(2)(2023·北京日壇中學(xué)模擬)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四邊形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，則等于(　　)A.a＋b＋cB.a－b＋cC.a＋b－cD．－a＋b＋c聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立．跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，則x等于(　　)A．(0,3，－6)   B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)   D．(6,6，－6)(2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．①化簡(jiǎn)－－＝________；②用，，表示，則＝________.題型二　空間向量基本定理及其應(yīng)用例2　(1)下列命題正確的是(　　)A．若a與b共線(xiàn)，b與c共線(xiàn)，則a與c共線(xiàn)B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線(xiàn)共面C．若空間向量a，b，c不共面，則a，b，c都不為0D．若a，b，c共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得a＝xb＋yc(2)(多選)下列說(shuō)法中正確的是(　　)A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線(xiàn)的充要條件B．若，共線(xiàn)，則AB∥CDC．A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若＝＋＋，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有＝λ＋μ(，不共線(xiàn))，則λ＋μ＝1是A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 應(yīng)用共線(xiàn)(面)向量定理、證明點(diǎn)共線(xiàn)(面)的方法比較三點(diǎn)(P，A，B)共線(xiàn)空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面＝λ＝x＋y對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝＋t對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝＋x＋y對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋(1－x)對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋y＋(1－x－y) 跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知空間中A，B，C，D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線(xiàn)，設(shè)P為空間中任意一點(diǎn)，若＝6－4＋λ，則λ等于(　　)A．2  B．－2  C．1  D．－1(2)(2023·金華模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，且滿(mǎn)足＝x＋y＋(1－x－y)，則||的最小值是(　　)A.  B.  C.  D.題型三　空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例3　(1)已知點(diǎn)O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)·取得最小值時(shí)，的坐標(biāo)是______．聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.①求線(xiàn)段AC1的長(zhǎng)；②求異面直線(xiàn)AC1與A1D所成角的余弦值；③求證：AA1⊥BD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練3　(1)(2023·益陽(yáng)模擬)在正三棱錐P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，則·等于(　　)A.  B.  C.  D.(2)(2022·營(yíng)口模擬)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．①求〈，〉；②求在上的投影向量．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型四　向量法證明平行、垂直例4 如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn)．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線(xiàn)、平面的要素)．(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開(kāi)立體幾何的有關(guān)定理．跟蹤訓(xùn)練4　如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線(xiàn)段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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