§7.7　向量法求空間角考試要求　能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用．知識梳理1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cos θ＝|cos〈u，v〉|＝            .2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝         .3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝           .思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写?/span>“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角．(　 　)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．(　 　)(3)兩異面直線所成角的范圍是，直線與平面所成角的范圍是.(　 　)(4)直線的方向向量為u，平面的法向量為n，則線面角θ滿足sin θ＝cos〈u，n〉．(　 　) 教材改編題1．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝－，則直線l與平面α所成的角為(　　)A．30°   B．60°C．120°   D．150°2．已知直線l1的方向向量s1＝(1,0,1)與直線l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，則直線l1和l2所成角的余弦值為(　　)A.   B.C.   D.3．平面α的一個(gè)法向量為m＝(1,2，－2)，平面β的一個(gè)法向量為n＝(2,2,1)，則平面α與平面β夾角的正切值為(　　)A.  B.  C.  D.題型一　異面直線所成的角例1　(1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為，AB＝1，則直線AB1與CD1所成的角為(　　)A．30°  B．45°  C．60°  D．90°(2)(2022·杭州模擬)如圖，已知圓錐CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圓O的直徑，點(diǎn)D在上，且∠AOD＝2∠BOD，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為(　　)A.  B.  C.  D.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量．(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．(4)注意兩異面直線所成角的范圍是，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．跟蹤訓(xùn)練1　(1)有公共邊的△ABC和△BCD均為等邊三角形，且所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為________．(2)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，＝λ(0<λ<1)，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則λ的值為______．題型二　直線與平面所成的角例2　(12分)(2022·全國甲卷)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.(1)證明：BD⊥PA；[切入點(diǎn)：由等腰梯形ABCD的性質(zhì)求BD長](2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．[關(guān)鍵點(diǎn)：建立空間直角坐標(biāo)系求法向量]思維升華　利用空間向量求線面角的解題步驟跟蹤訓(xùn)練2　如圖，在六面體PACBD中，△PAB是等邊三角形，平面PAB與平面ABD所成角為30°，PC＝AB＝AD＝BD＝AC＝BC＝4.(1)證明：AB⊥PD；(2)若點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CE與平面PAB所成角的正切值的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三　平面與平面的夾角例3　(2023·泰安模擬)如圖，在五面體ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝.(1)求證：平面ABE⊥平面ABC；(2)求平面ABE與平面BEC夾角的余弦值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　利用空間向量計(jì)算平面與平面夾角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大?。?/span>(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，然后通過這兩個(gè)向量的夾角可得到平面與平面夾角的大?。?/span>跟蹤訓(xùn)練3　(2022·貴陽模擬)如圖，AC，BD為圓柱OO′底面⊙O的兩條直徑，PA為圓柱OO′的一條母線，且AP＝AC.(1)證明：AB⊥PD；(2)若∠AOD＝，求平面DPC與平面PCB夾角的正弦值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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