一、單項選擇題
1．過點(1，2)且直線的方向向量為(－1，2)的直線方程為( )
A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝0
2．已知A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，且A，B，C三點共線，則m＝( )
A．32 B．23
C．－32 D．－23
3．過點A(－1，1)的直線l的傾斜角是直線l1：3x－y＋1＝0的傾斜角的2倍，則直線l的方程是( )
A．3x－y＋3＋1＝0
B．3x＋y＋3－1＝0
C．3x－3y＋3＋3＝0
D．3x＋3y＋3－3＝0
4．設(shè)A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標(biāo)為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0
5．已知直線l1：3x＋y＝0與直線l2：kx－y＋1＝0，若直線l1與直線l2的夾角為60°，則實數(shù)k的值為( )
A．3 B．－3
C．3或0 D．－2或－3
6．如圖，在矩形ABCD中，|BC|＝3|AB|，直線AC的斜率為33，則直線BC的斜率為( )
A．3 B．32
C．233 D．23
7．已知點A(2，3)，B(－3，－2)，與直線l：kx－y－k＋1＝0，且直線l與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍為( )
A．k≥2或k≤34 B．k≥34或k≤－14
C．－4≤k≤34 D．34≤k≤2
8．若直線ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)過點(1，1)，則該直線在x軸與y軸上的截距之和的最小值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
二、多項選擇題
9．已知直線l：x＝my＋1，則( )
A．直線l恒過定點(1，0)
B．直線l的斜率必定存在
C．m＝3時，直線l的傾斜角為60°
D．m＝2時，直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為14
10．若直線過點A(1，2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則直線l的方程為( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
三、填空題
11．對于任意實數(shù)λ，直線x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒過定點A，且點B(1，0)，則直線AB的一個方向向量為 ________．
12．已知點M是直線l：y＝3x＋3與x軸的交點，將直線l繞點M旋轉(zhuǎn)30°，則所得到的直線l′的方程為________．
13．斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成．如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列．如圖2，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)約為4 m，拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均為18 m．最短拉索的錨P1，A1滿足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直線為x軸，OP10所在直線為y軸，則最長拉索所在直線的斜率為( )
A．±13 B．±12
C．±4239 D．±62129
14．設(shè)m∈R，過定點A的動直線x＋my＋1＝0和過定點B的動直線mx－y－2m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|＋|PB|的最大值為( )
A．25 B．32
C．3 D．6
15．已知直線l的傾斜角為α，sin α＝35，且這條直線l經(jīng)過點P(3，5)，則直線l的一般式方程為________．
16．直線l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個可能取值：________和 ________
參考答案
1．A [由題意可知直線的斜率k＝－2，由點斜式方程得，所求直線方程為y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故選A.]
2．A [由A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，
可得AB＝(－m，1)，BC＝(3，－2)，
因為A，B，C三點共線，
所以AB∥BC，即(－m)×(－2)－1×3＝0，
解得m＝32.故選A.]
3．B [因為k1＝tan α＝3，所以α＝60°，
所以k＝tan 120°＝－3，
所以直線l的方程是y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋3－1＝0.故選B.]
4．A [易知A(－1，0)．
∵|PA|＝|PB|，
∴點P在AB的垂直平分線，即x＝2上，
∴B(5，0)．
∵PA，PB關(guān)于直線x＝2對稱，
∴kPB＝－1．∴l(xiāng)PB：y－0＝－(x－5)，
即x＋y－5＝0.故選A.]
5．C [因為l1：3x＋y＝0的斜率為k＝－3，
所以其傾斜角為120°.直線l2：kx－y＋1＝0恒過點(0，1)，
如圖，若直線l1與直線l2的夾角為60°，
則l2的傾斜角為60°或0°，所以k＝3或k＝0.故選C.]
6．A [由題意，在Rt△BCD中，∠BCD＝π2，|BC|＝3|AB|＝3|CD|，
∴tan ∠CBD＝33，∴∠CBD＝π6，∴直線BC的傾斜角為π3，故kBC＝tan π3＝3.故選A.]
7．A [已知點A(2，3)，B(－3，－2)與直線l：kx－y－k＋1＝0，且直線l與線段AB相交，
直線l：kx－y－k＋1＝0，即直線l：k(x－1)－y＋1＝0，它經(jīng)過定點M(1，1)，
所以直線MA的斜率為3?12?1＝2，直線MB的斜率為?2?1?3?1＝34，
則直線l的斜率k的取值范圍為k≥2或k≤34.故選A.]
8．D [因為直線ax＋by＝ab過點(1，1)，所以a＋b＝ab，
又因為a＞0，b＞0，所以1b+1a＝1，
所以直線xb+ya＝1在x軸與y軸上的截距之和為
b＋a＝(b＋a)1b+1a＝2＋ab+ba≥2＋2ab·ba＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取“＝”，
所以直線在x軸與y軸上的截距之和的最小值為4.
故選D.]
9．AD [由直線方程知，直線恒過定點(1，0)，A正確；
當(dāng)m＝0時，直線斜率不存在，B錯誤；
m＝3時，直線l：y＝33(x－1)，
則直線l的斜率為33，傾斜角為30°，C錯誤；
m＝2時，直線l：x＝2y＋1，則直線l與x軸、y軸的交點分別為(1，0)，0，?12，所以直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為14，D正確．
故選AD.]
10．ABC [當(dāng)直線經(jīng)過原點時，斜率為k＝2?01?0＝2，
所求的直線方程為y＝2x，即2x－y＝0；
當(dāng)直線不過原點時，
設(shè)所求的直線方程為x±y＝a，
把點A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，
求得a＝－1或a＝3，故所求的直線方程為x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
綜上知，所求的直線方程為2x－y＝0，x－y＋1＝0，x＋y－3＝0.故選ABC.]
11．(－1，－1)(答案不唯一) [由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得x+y?3=0，x?2y=0， 解得x=2，y=1，則A(2，1)．
又B(1，0)，則AB＝(－1，－1)．
即直線AB的一個方向向量為(－1，－1)．]
12．x＝－3或y＝33(x＋3) [在y＝3x＋3中，令y＝0，得x＝－3，即M(－3，0)．因為直線l的斜率為3，所以其傾斜角為60°.若直線l繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)30°，則得到的直線l′的傾斜角為90°，此時直線l′的斜率不存在，故其方程為x＝－3；若直線l繞點M順時針旋轉(zhuǎn)30°，則得到的直線l′的傾斜角為30°，此時直線l′的斜率為tan 30°＝33，故其方程為y＝33(x＋3)．]
13．B [由題意可知，{OPi}，{OBi}(i＝1，2，3，…，10)分別是公差為4和18的等差數(shù)列，則|OP10|＝|OP1|＋9×4＝84＋9×4＝120，|OB10|＝|OB1|＋9×18＝78＋9×18＝240，
故kB10P10＝120?00+240＝12，kA10P10＝120?00?240＝－12，
所以最長拉索所在直線的斜率為±12.故選B.]
14．D [由題意知，動直線x＋my＋1＝0過定點A(－1，0)，動直線mx－y－2m＋3＝0可化為(x－2)m＋3－y＝0，令x?2=0，3?y=0，可得B(2，3)，又1×m＋m×(－1)＝0，所以兩動直線互相垂直，且交點為P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因為PA2+PB22≥PA+PB22，所以|PA|＋|PB|≤2PA2+PB2＝2×18＝6，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝3時取等號．故選D.]
15．3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0 [因為sin α＝35，所以cs α＝±1?sin2α＝±45，所以直線l的斜率為k＝tanα＝±34，又因為直線l經(jīng)過點P(3，5)，所以直線l的方程為y－5＝34(x－3)或y－5＝－34(x－3)，所以直線l的一般式方程為3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0．]
16．?1±52或－2或－43(任選2個即可) [令直線l1，l2的傾斜角分別為α，θ，則tan α＝2，tan θ＝k，
當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在x軸上時，θ＝π－α，k＝tan (π－α)＝－tan α＝－2；
當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線l2上時，α＝2θ，θ∈0，π2，tan α＝tan 2θ＝2k1?k2＝2，
整理得k2＋k－1＝0，而k＞0，解得k＝5?12；
當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線l2上，θ∈π2，π，可解得k＝－5+12；當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線l1上時，可解得k＝－43.
所以k的取值為?1±52或－2或－43.

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