11.5　變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 考點(diǎn)一　變量間的相關(guān)關(guān)系   (2020課標(biāo)Ⅱ理,18,12分)某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量,將其分成面積相近的200個(gè)地塊,從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量,并計(jì)算得xi=60,yi=1 200,(xi-)2=80,(yi-)2=9 000,(xi-)(yi-)=800.(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù));(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì),請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法,并說(shuō)明理由.附:相關(guān)系數(shù)=,≈1.414.解析　(1)由已知得樣本平均數(shù)yi=60,從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為60×200=12 000.(2)樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)≈0.94.(3)分層抽樣:根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層,再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣.理由如下:由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì). 2.(2015課標(biāo)Ⅰ,理19,文19,12分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.(xi-)2(wi-)2(xi-)(yi-)(wi-)(yi-)46.65636.8289.81.61 469108.8 (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題:(i)年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?(ii)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為=,=- .解析　(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.(2分)(2)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于===68,=- =563-68×6.8=100.6,所以y關(guān)于w的線性回歸方程為=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為=100.6+68.(6分)(3)(i)由(2)知,當(dāng)x=49時(shí),年銷售量y的預(yù)報(bào)值=100.6+68=576.6,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值=576.6×0.2-49=66.32.(9分)(ii)根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.所以當(dāng)==6.8,即x=46.24時(shí),取得最大值.故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.(12分)3.(2015重慶文,17,13分)隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng).設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表:年份20102011201220132014時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810 (1)求y關(guān)于t的回歸方程=t+;(2)用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年(t=6)的人民幣儲(chǔ)蓄存款.附:回歸方程=t+中,==-.解析　(1)列表計(jì)算如下:itiyitiyi11515226412337921448163255102550153655120 這里n=5,=ti==3,=yi==7.2.又ltt=-n=55-5×32=10,lty=tiyi-n　=120-5×3×7.2=12,從而===1.2,=-=7.2-1.2×3=3.6,故所求回歸方程為=1.2t+3.6.(2)將t=6代入回歸方程可預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為=1.2×6+3.6=10.8(千億元).4.(2014課標(biāo)Ⅱ理,19,12分)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:年　份2007200820092010201120122013年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9 (1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:=,=-.解析　(1)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,=×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,(ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,(ti-)(yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,===0.5,=-=4.3-0.5×4=2.3,所求回歸方程為=0.5t+2.3.(2)由(1)知,=0.5>0,故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.將2015年的年份代號(hào)t=9代入(1)中的回歸方程,得=0.5×9+2.3=6.8,故預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.評(píng)析　本題考查了回歸直線方程的求解,注意回歸直線恒過(guò)點(diǎn)(,)是關(guān)鍵,考查了回歸系數(shù)的幾何意義.考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力.考點(diǎn)二　獨(dú)立性檢驗(yàn)1.(2021全國(guó)甲理,17,12分)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品,為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表: 一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附:K2=,P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解析　(1)因?yàn)榧讬C(jī)床生產(chǎn)的200件產(chǎn)品中有150件一級(jí)品,所以甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為,因?yàn)橐覚C(jī)床生產(chǎn)的200件產(chǎn)品中有120件一級(jí)品,所以乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為.(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得K2==≈10.256,因?yàn)?/span>10.256>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.方法總結(jié)　解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的一般步驟:2.(2020新高考Ⅰ,19,12分)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位:μg/m3),得下表:
 　　　SO2 PM2.5　　　 [0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO2濃度不超過(guò)150”的概率;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表:　　　SO2PM2.5　　　 [0,150](150,475][0,75]  (75,115]  (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).附:K2=,P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.　解析(1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù),該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO2濃度不超過(guò)150的天數(shù)為32+18+6+8=64,因此,該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO2濃度不超過(guò)150的概率的估計(jì)值為=0.64.????????????? (4分)(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表:　　SO2PM2.5　　 [0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(8分)(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表得K2=≈7.484.由于7.484>6.635,故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān). (12分)3.(2022全國(guó)甲文,17,12分,應(yīng)用性)甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng).為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況,隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次,得到下面列聯(lián)表: 準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表,分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率;(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?附:K2=,P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解析　(1)由題意可得A公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率P1=,B公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率P2=.(2)因?yàn)?/span>K2=≈3.205>2.706,所以有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).  

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