11.3　二項(xiàng)分布與正態(tài)分布考點(diǎn)一　條件概率、相互獨(dú)立事件及二項(xiàng)分布、全概率公式1.(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則????????????? (　　)A.甲與丙相互獨(dú)立　　　　B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立　　　　D.丙與丁相互獨(dú)立答案　B　　依題意,有放回地隨機(jī)取兩次,共有36種不同結(jié)果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).其中P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)=,丁事件包含(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6個(gè)基本事件.丙事件包含(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共5個(gè)基本事件.易知“甲、丙同時(shí)發(fā)生”的基本事件為0個(gè),“丙、丁同時(shí)發(fā)生”的基本事件為0個(gè),“乙、丙同時(shí)發(fā)生”的基本事件為(6,2),共1個(gè),∴P(乙丙)=,又P(乙)·P(丙)=,∴乙、丙不相互獨(dú)立.同理可知“甲、丁同時(shí)發(fā)生”的基本事件為(1,6),∴P(甲丁)=,又P(甲)·P(丁)=,∴P(甲丁)=P(甲)·P(丁),∴甲與丁相互獨(dú)立,故選B.2.(2022全國(guó)乙理,10,5分,應(yīng)用性)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則????????????? (　　)A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大答案　D　棋手與甲、乙、丙比賽順序有以下=6種情況:①比賽順序?yàn)榧?、乙、丙時(shí),p=p1p2(1-p3)+(1-p1)p2p3=p1p2+p2p3-2p1p2p3;②比賽順序?yàn)榧?、丙、乙時(shí),p=p1p3(1-p2)+(1-p1)p3p2=p1p3+p2p3-2p1p2p3;③比賽順序?yàn)橐?、甲、丙時(shí),p=p2p1(1-p3)+(1-p2)p1p3=p1p2+p1p3-2p1p2p3;④比賽順序?yàn)橐?、丙、甲時(shí),p=p2p3(1-p1)+(1-p2)·p3p1=p2p3+p1p3-2p1p2p3;⑤比賽順序?yàn)楸?、甲、乙時(shí),p=p3p1(1-p2)+(1-p3)·p1p2=p1p3+p1p2-2p1p2p3;⑥比賽順序?yàn)楸?、乙、甲時(shí),p=p3p2(1-p1)+(1-p3)·p2p1=p2p3+p1p2-2p1p2p3.易得情況①與⑥,②與④,③與⑤的概率分別相等,又p3>p2>p1>0,∴p1p2<p1p3,p2p3>p1p3,∴②與④的概率最大,即棋手在第二盤與丙比賽,p最大,故選D.一題多解:設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率為p甲,在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率為p乙,在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率為p丙.由題意得,p甲=p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=p1p2+p1p3-2p1p2p3,p乙=p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=p1p2+p2p3-2p1p2p3,p丙=p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=p1p3+p2p3-2p1p2p3.由p3>p2>p1>0,得p丙-p甲=p2p3-p1p2=p2(p3-p1)>0,p丙-p乙=p1p3-p1p2=p1(p3-p2)>0,∴p丙最大.故選D. 3.(2015課標(biāo)Ⅰ理,4,5分)投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為(　　)A.0.648　　　B.0.432　　　C.0.36　　　D.0.312答案　A　該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率P=×0.62×0.4+0.63=0.432+0.216=0.648,故選A.4.(2014課標(biāo)Ⅱ理,5,5分)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　)A.0.8　　　　　B.0.75C.0.6　　　　　D.0.45答案　A　由條件概率可得所求概率為=0.8,故選A.5.(2015廣東理,13,5分)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p=　　　　. 答案　解析　因?yàn)?/span>X~B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=.6.(2020課標(biāo)Ⅰ理,19,12分)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為.(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.解析　(1)甲連勝四場(chǎng)的概率為.(2)根據(jù)賽制,至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽.比賽四場(chǎng)結(jié)束,共有三種情況:甲連勝四場(chǎng)的概率為;乙連勝四場(chǎng)的概率為;丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為.所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1-.(3)丙最終獲勝,有兩種情況:比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為;比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝,則從第二場(chǎng)開始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況:勝勝負(fù)勝,勝負(fù)空勝,負(fù)空勝勝,概率分別為.因此丙最終獲勝的概率為.7.(2022新高考Ⅰ,20,12分,應(yīng)用性)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組),同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組),得到如下數(shù)據(jù): 不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?(2)從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”,的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo),記該指標(biāo)為R.(i)證明:R=;(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出P(A|B),P(A|)的估計(jì)值,并利用(i)的結(jié)果給出R的估計(jì)值.附:K2=,P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解析　 (1)由題中數(shù)據(jù)可知K2==24>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.(2)(i)證明:因?yàn)?/span>R=,且,所以R=.(ii)由題表中數(shù)據(jù)可知P(A|B)=,P(A|)=,P(|B)=,P()=,所以R==6. 8.(2016山東理,19,12分)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ).在一輪活動(dòng)中,如果兩人都猜對(duì),則“星隊(duì)”得3分;如果只有一人猜對(duì),則“星隊(duì)”得1分;如果兩人都沒猜對(duì),則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是,乙每輪猜對(duì)的概率是;每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響,各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng),求:(1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率;(2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.解析　(1)記事件A:“甲第一輪猜對(duì)”,記事件B:“乙第一輪猜對(duì)”,記事件C:“甲第二輪猜對(duì)”,記事件D:“乙第二輪猜對(duì)”,記事件E:“‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”.由題意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC,由事件的獨(dú)立性與互斥性,得P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)·P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)·P()=×××+2×=.所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為.(2)由題意,隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性,得P(X=0)=×××=,P(X=1)=2×==,P(X=2)=×××+×××+×××+×××=,P(X=3)=×××+×××==,P(X=4)=2×==,P(X=6)=×××==.可得隨機(jī)變量X的分布列為X012346P 所以數(shù)學(xué)期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.評(píng)析　本題考查了隨機(jī)事件發(fā)生的概率及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,確定隨機(jī)變量可能的取值是解題的關(guān)鍵.屬于中檔題.9.(2015湖南理,18,12分)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球.在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒有紅球,則不獲獎(jiǎng).(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率;(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析　(1)記事件A1={從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球},A2={從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球},B1={顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)},B2={顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)},C={顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)}.由題意,A1與A2相互獨(dú)立,A1與A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因?yàn)?/span>P(A1)==,P(A2)==,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=×+×=.故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),由(1)知,顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為,所以X~B.于是P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列為X0123P X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×=.10.(2014遼寧理,18,12分)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來(lái)連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率;(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).解析　(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”,A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”,B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另一天銷售量低于50個(gè)”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為P(X=0)=·(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=·0.63=0.216.分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216 因?yàn)?/span>X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.11.(2014安徽理,17,12分)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率;(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解析　用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”,Ak表示“第k局甲獲勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”,則P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)·P(B2)P(A3)P(A4)=+×+××=.所以甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率為.(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.故X的分布列為X2345P EX=2×+3×+4×+5×=.評(píng)析　本題考查了獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生,互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生、分布列、均值等概率知識(shí);考查應(yīng)用意識(shí)、運(yùn)算求解能力;準(zhǔn)確理解題意是解題的關(guān)鍵;準(zhǔn)確運(yùn)算求解是得分的關(guān)鍵.12.(2014山東理,18,12分)乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分,如圖,甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A,B,乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C,D,某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來(lái)球后向乙回球.規(guī)定:回球一次,落點(diǎn)在C上記3分,在D上記1分,其他情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球,隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為,在D上的概率為;對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球,小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為,在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來(lái)球且落在A,B上各一次,小明的兩次回球互不影響.求:(1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率;(2)兩次回球結(jié)束后,小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析　(1)記Ai為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球回球的得分為i分”(i=0,1,3),則P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=;記Bi為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球回球的得分為i分”(i=0,1,3),則P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”.由題意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的獨(dú)立性和互斥性,P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=×+×+×+×=,所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為.(2)由題意,隨機(jī)變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6,由事件的獨(dú)立性和互斥性,得P(ξ=0)=P(A0B0)=×=,P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=,P(ξ=2)=P(A1B1)=×=,P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=,P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=,P(ξ=6)=P(A3B3)=×=.可得隨機(jī)變量ξ的分布列為:ξ012346P 所以數(shù)學(xué)期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.13.(2014大綱全國(guó)理,20,12分)設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率;(2)X表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.解析　記Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用設(shè)備,C表示事件:丁需使用設(shè)備,D表示事件:同一工作日至少3人需使用設(shè)備.(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=P(·A0·)=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)數(shù)學(xué)期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)14.(2013陜西理,19,12分)在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上,有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱,由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷,他必選1號(hào),不選2號(hào),另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率;(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解析　(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”,B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”,則P(A)==,P(B)==.∵事件A與B相互獨(dú)立,∴觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為P(A)=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)]=×=.(2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”,則P(C)==,∵X可能的取值為0,1,2,3,且取這些值的概率分別為P(X=0)=P(　)=××=,P(X=1)=P(A )+P(B)+P(C)=××+××+××=,P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=,∴X的分布列為X0123P ∴X的數(shù)學(xué)期望EX=0×+1×+2×+3×==.15.(2013大綱全國(guó)理,20,15分)甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球練習(xí)賽,其中兩人比賽,另一人當(dāng)裁判,每局比賽結(jié)束時(shí),負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為,各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立,第1局甲當(dāng)裁判.(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率;(2)用X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析　(1)記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”,A2表示事件“第3局結(jié)果為甲負(fù)”,A表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”.則A=A1·A2.則P(A)=P(A1·A2)=P(A1)P(A2)=.(2)X的可能取值為0,1,2.記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時(shí),結(jié)果為乙勝丙”,B1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比賽時(shí),結(jié)果為乙勝甲”,B3表示事件“第3局乙參加比賽時(shí),結(jié)果為乙負(fù)”.則P(X=0)=P(B1·B2·A3)=P(B1)P(B2)P(A3)=,P(X=2)=P(·B3)=,則P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1--=.∴X的分布列為X012P ∴E(X)=0×+1×+2×=.16.(2013福建理,16,13分)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案,方案甲的中獎(jiǎng)率為,中獎(jiǎng)可以獲得2分;方案乙的中獎(jiǎng)率為,中獎(jiǎng)可以獲得3分;未中獎(jiǎng)則不得分.每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響,晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品.(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng),小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng),記他們的累計(jì)得分為X,求X≤3的概率;(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng),問(wèn):他們選擇何種方案抽獎(jiǎng),累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大?解析　解法一:(1)由已知得,小明中獎(jiǎng)的概率為,小紅中獎(jiǎng)的概率為,且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響.記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A,則事件A的對(duì)立事件為“X=5”,因?yàn)?/span>P(X=5)=×=,所以P(A)=1-P(X=5)=,即這2人的累計(jì)得分X≤3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1,都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2,則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1),選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2).由已知可得,X1~B,X2~B,所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×=,從而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.因?yàn)?/span>E(2X1)>E(3X2),所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí),累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大.解法二:(1)由已知得,小明中獎(jiǎng)的概率為,小紅中獎(jiǎng)的概率為,且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響.記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A,則事件A包含有“X=0”“X=2”“X=3”三個(gè)兩兩互斥的事件,因?yàn)?/span>P(X=0)=×=,P(X=2)=×=,P(X=3)=×=,所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=,即這2人的累計(jì)得分X≤3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1,都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2,則X1,X2的分布列如下:X1024P X2036P 所以E(X1)=0×+2×+4×=,E(X2)=0×+3×+6×=.因?yàn)?/span>E(X1)>E(X2),所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí),累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大.評(píng)析　本題主要考查古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí).17.(2013遼寧理,19,12分)現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學(xué)從中任取3道題解答.(1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率;(2)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是,答對(duì)每道乙類題的概率都是,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.用X表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析　(1)設(shè)事件A=“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”,則有=“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”.因?yàn)?/span>P()==,所以P(A)=1-P()=.(6分)(2)X所有的可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=···=;P(X=1)=···+··=;P(X=2)=···+··=;P(X=3)=···=.所以X的分布列為X0123P (10分)所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2.(12分)18.(2013山東理,19,12分)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率;(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1,則勝利方得3分、對(duì)方得0分;若比賽結(jié)果為3∶2,則勝利方得2分、對(duì)方得1分.求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解析　(1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1,“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2,“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,故P(A1)==,P(A2)=×=,P(A3)=×=.所以,甲隊(duì)以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為,以3∶2勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,所以P(A4)=××=.由題意,隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3.根據(jù)事件的互斥性得P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.又P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A4)=,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=,故X的分布列為X0123P 所以EX=0×+1×+2×+3×=.評(píng)析　本題考查古典概型、相互獨(dú)立、互斥、分類討論思想等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,考查邏輯推理能力,運(yùn)算求解能力,以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.考點(diǎn)二　正態(tài)分布1.(2015湖北理,4,5分)設(shè)X~N(μ1,),Y~N(μ2,),這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是(　　)A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對(duì)任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.對(duì)任意正數(shù)t,P(X≥t)≥P(Y≥t)答案　C　由題圖可知μ1<0<μ2,σ1<σ2,∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A錯(cuò);P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B錯(cuò);當(dāng)t為任意正數(shù)時(shí),由題圖可知P(X≤t)≥P(Y≤t),而P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=1-P(Y≥t),∴P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正確,D錯(cuò).2.(2015山東理,8,5分)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(　　)(附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56%　　　B.13.59%　　　C.27.18%　　　D.31.74%答案　B　P(-3<ξ<3)=68.26%,P(-6<ξ<6)=95.44%,則P(3<ξ<6)=×(95.44%-68.26%)=13.59%.3.(2022新高考Ⅱ,13,5分)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=　　　　. 答案　 0.14解析　由正態(tài)分布的性質(zhì)可知P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14. 4.(2014課標(biāo)Ⅰ理,18,12分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2.(i)利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用(i)的結(jié)果,求EX.附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z< μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z< μ+2σ)=0.954 4.解析　(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)(i)由(1)知,Z~N(200,150),從而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682 6.(ii)由(i)知,一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 6,依題意知X~B(100,0.682 6),所以EX=100×0.682 6=68.26.評(píng)析　本題主要考查了頻率分布直方圖、正態(tài)分布及二項(xiàng)分布等知識(shí),考查學(xué)生的識(shí)圖能力及閱讀理解能力,理解和掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題關(guān)鍵. 

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