考點一　隨機抽樣
1.(2022濟南一模,3)某學(xué)校于3月12日組織師生舉行植樹活動,購買垂柳、 銀杏、側(cè)柏、海桐四種樹苗共計1 200棵,比例如圖所示,高一、高二、高 三報名參加植樹活動的人數(shù)分別為600,400,200,若每種樹苗均按各年級 報名人數(shù)的比例進(jìn)行分配,則高三年級應(yīng)分得側(cè)柏的棵數(shù)為?(　????)A.34　????B.46　????C.50　????D.70答案????C????
2.(2014廣東,6,5分)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2 所示.為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因,用分層隨機抽樣的方法抽 取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為(????????)? 圖1???? 圖2
A.200,20　????B.100,20C.200,10　????D.100,10答案????A????
3.(2023屆重慶南開中學(xué)質(zhì)檢,13)某中學(xué)為了掌握學(xué)校員工身體狀況,偶爾 會采用抽檢的方式來收集各部門員工的健康情況.為了讓樣本更具有代 表性,學(xué)校對各部門采用分層隨機抽樣的方法進(jìn)行抽檢.已知該校部 門A、部門B、部門C分別有40、60、80人,各部門員工不存在交叉任職 情況,若共抽檢了90人,則從部門A抽檢的人數(shù)為　　　????.答案????20
考點二　用樣本估計總體
考向一　總體百分位數(shù)的估計
1.(2023屆長沙市一中月考二,2)一學(xué)習(xí)小組10名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)測試成 績的名次由小到大分別是2,4,5,x,11,14,15,39,41,50,已知該小組數(shù)學(xué)測試 成績名次的40%分位數(shù)是9.5,則x的值是?(　????)A.6　????B.7　????C.8　????D.9答案????C????
2.(2023屆重慶八中入學(xué)考,2)某單位為了解該單位黨員開展學(xué)習(xí)黨史知 識活動情況,隨機抽取了部分黨員,對他們一周的黨史學(xué)習(xí)時間進(jìn)行了統(tǒng) 計,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示:
則該單位黨員一周學(xué)習(xí)黨史時間的眾數(shù)及第50百分位數(shù)分別是?(　????)A.8,8.5　????B.8,8　????C.9,8　????D.8,9答案????D????
3.(2022遼寧六校聯(lián)考,5)一樣本的頻率分布直方圖如圖所示,樣本數(shù)據(jù)共 分3組,分別為[5,10),[10,15),[15,20].估計樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是?(　????)?A.14　????B.15　????C.16　????D.17答案????A????
4.(2023屆山東高密三中月考,15)數(shù)據(jù):1,2,2,3,4,5,6,6,7,8的中位數(shù)為m,60% 分位數(shù)為a,則m=　　　????,a=　　　????.答案????4.5　 5.5
考向二　總體趨勢的估計
1.(2023屆重慶南開中學(xué)月考,5)某中學(xué)的高一、高二、高三三個年級學(xué) 生的平均身高分別為?,?,?,若按年級采用分層隨機抽樣的方法抽取了一個600人的樣本,抽到高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)分別為100、200、 300,則估計該高中學(xué)生的平均身高為?(　????)A.??+??+??　????B.?C.??+??+??　????D.?答案????A????
2.(2020課標(biāo)Ⅲ文,3,5分)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10x1, 10x2,…,10xn的方差為?(　????)A.0.01　????B.0.1　????C.1　????D.10答案????C????
3.(多選)(2021新高考Ⅱ,9,5分)下列統(tǒng)計量中可用于度量樣本x1,x2,…,xn離 散程度的有?(　????)A.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差　????B.x1,x2,…,xn的中位數(shù)C.x1,x2,…,xn的極差　????D.x1,x2,…,xn的平均數(shù)答案????AC????
4.(多選)(2022江蘇泰州二調(diào),9)已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x0,若在 這組數(shù)據(jù)中添加一個數(shù)據(jù)x0,得到一組新數(shù)據(jù)x0,x1,x2,…,xn,則?(　????)A.這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同B.這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C.這兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同D.這兩組數(shù)據(jù)的極差相同答案????AD????
5.(多選)(2022湖南衡陽八中開學(xué)考,9)某學(xué)校為研究高三學(xué)生的思想政治 考試成績,根據(jù)高三第一次模擬考試在高三學(xué)生中隨機抽取50名學(xué)生的 思想政治考試成績繪制成頻率分布直方圖,如圖所示,已知思想政治成績 在[80,90)的學(xué)生人數(shù)為15,把頻率看作概率,根據(jù)頻率分布直方圖,下列結(jié) 論正確的是?(　????)?
A.a=0.03B.b=0.034C.本次思想政治考試成績平均分的估計值為80D.從高三學(xué)生中隨機抽取4人,其中3人成績在[90,100]內(nèi)的概率為?0.163×(1-0.16)答案????ABD????
6.(2022湖北部分重點中學(xué)聯(lián)考,20)某高校為了解全校學(xué)生的閱讀情況,隨 機調(diào)查了200名學(xué)生的每周閱讀時間x(單位:小時)并繪制成如圖所示的頻 率分布直方圖.?
(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)?和樣本方差s2(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表);(2)由直方圖可以看出,目前該校學(xué)生每周的閱讀時間x大致服從正態(tài)分布 N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)?,σ2近似為樣本方差s2.①一般正態(tài)分布N(μ,σ)的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的概率 進(jìn)行計算:若X~N(μ,σ2),令Y=?,則Y~N(0,1),且P(X≤a)=P?,利用直方圖得到的正態(tài)分布求P(X≤10);②從該高校的學(xué)生中隨機抽取20名,記Z表示這20名學(xué)生中每周閱讀時間 超過10小時的人數(shù),求Z的均值.參考數(shù)據(jù):?≈?,若Y~N(0,1),則P(Y≤0.75)=0.773 4.
解析????(1)根據(jù)頻率分布直方圖知,閱讀時間在區(qū)間[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5, 8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5),[10.5,11.5),[11.5,12.5]內(nèi)的頻率分別為0.03,0.1,0.2, 0.35,0.19,0.09,0.04,?=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78,所以樣本平均數(shù)?和樣本方差s2分別為9,1.78.(2)①由(1)知μ=9,σ2=1.78,則有X~N(9,1.78),σ=?=?≈?,P(X≤10)=P?=P(Y≤0.75)=0.773 4.②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6,可得Z~B(20,0.226 6),
所以Z的均值E(Z)=20×0.226 6=4.532.
考法一　用統(tǒng)計圖估計樣本的數(shù)字特征
1.(2023屆貴州遵義新高考協(xié)作體入學(xué)質(zhì)量監(jiān)測,3)某同學(xué)利用暑假積極 參加社會實踐活動,幫助湄潭翠芽經(jīng)銷商進(jìn)行促銷,該同學(xué)在兩周內(nèi)的每 日促銷量如圖所示,根據(jù)此折線圖,下面結(jié)論中正確的是?(　????)?
A.這14天的促銷量的中位數(shù)大于200B.這14天促銷量超過200的天數(shù)所占比例大于50%C.這14天內(nèi),促銷量的極差小于200D.前7天促銷量的方差小于后7天促銷量的方差答案????C????
2.(2022全國甲,理2,文2,5分)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾 分類知識.為了解講座效果,隨機抽取10位社區(qū)居民,讓他們在講座前和講 座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10位社區(qū)居民在講座前和講座后 問卷答題的正確率如圖:?
則?(　????)A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差答案????B????
3.(2021全國甲理,2,5分)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況,對該地農(nóng)戶家庭年收 入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布 直方圖:?
根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是?????(　????)A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間答案????C????
4.(2018課標(biāo)Ⅰ,3,5分)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟收入增 加了一倍,實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況,統(tǒng)計 了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例,得到如下餅圖:?
則下面結(jié)論中不正確的是?(　????)A.新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一
半答案????A????
5.(多選)(2022山東濟寧三模,9)在某市高三年級舉行的一次模擬考試中, 某學(xué)科共有20 000人參加考試.為了了解本次考試學(xué)生成績情況,從中抽 取了部分學(xué)生的成績(成績均為正整數(shù),滿分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計, 樣本容量為n.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率 分布直方圖如圖所示.其中,成績落在區(qū)間[50,60)內(nèi)的人數(shù)為16,則下列結(jié) 論正確的是?(　????)
A.樣本容量n=1 000B.圖中x=0.030C.估計該市全體學(xué)生成績的平均分為70.6分D.該市要對成績由高到低前20%的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號,則成績
為78分的學(xué)生肯定能得到此稱號答案????BC????
6.(2022新高考Ⅱ,19,12分)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機調(diào)查了100位 某種疾病患者的年齡,得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:?(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的 中點值為代表);
(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率;(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的 人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人,若此人的年齡位于區(qū) 間[40,50),求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū) 間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率,精確到0.000 1).
解析????(1)平均年齡為(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(歲).(2)設(shè)事件A=“該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)”,則P(A)=1-P(?)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89.(3)設(shè)事件B=“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”,事件C=“任選一人患這 種疾病”,由條件概率公式可得P(C|B)=?=?=?=0.001 437 5≈0.001 4.
7.(2019課標(biāo)Ⅲ理,17,12分)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程 度,進(jìn)行如下試驗:將200只小鼠隨機分成A,B兩組,每組100只,其中A組小 鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積 相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小 鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:?
記C為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,根據(jù)直方圖得到 P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)
間的中點值為代表).
解析????(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.
考法二　樣本的數(shù)字特征及其應(yīng)用
1.(多選)(2021新高考Ⅰ,9,5分)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,由這組數(shù)據(jù)得到 新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù),則?(　????)A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同答案????CD????
2.(2022福州期末,3)已知甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)高一入學(xué)時年齡 的平均數(shù)、中位數(shù)均為16,方差為0.8,則三年后,下列判斷錯誤的是 (????????)A.這五位同學(xué)年齡的平均數(shù)變?yōu)?9B.這五位同學(xué)年齡的中位數(shù)變?yōu)?9C.這五位同學(xué)年齡的方差仍為0.8D.這五位同學(xué)年齡的方差變?yōu)?.8答案????D????
3.(多選)(2022山東青島三模,9)某漁業(yè)養(yǎng)殖場新進(jìn)1 000尾魚苗,測量其體 長(單位:毫米),將所得數(shù)據(jù)分成6組,其分組及頻數(shù)情況如表:
已知在按以上6個分組作出的頻率分布直方圖中,[95,100]分組對應(yīng)小矩 形的高為0.01,則下列說法正確的是?(　????)
A.m=250B.魚苗體長在[90,100]內(nèi)的頻率為0.16C.魚苗體長的中位數(shù)一定落在區(qū)間[85,90)內(nèi)D.從這批魚苗中有放回地連續(xù)抽取50次,每次一條,則所抽取魚苗體長落 在區(qū)間[80,90)內(nèi)的次數(shù)的期望為30答案????ACD????
4.(多選)(2022湖北八市聯(lián)考,9)立德中學(xué)舉行黨史知識競賽,對全校參賽 的1 000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計,把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照[50,60)、[60,70)、 [70,80)、[80,90)、[90,100]分成5組,繪制了如圖所示的頻率分布直方 圖,根據(jù)圖中信息,下列說法正確的是?(　????)?
A.圖中x的值為0.020B.這組數(shù)據(jù)的極差為50C.得分在80分及以上的人數(shù)為400D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為77答案????ACD????
5.(多選)(2022遼寧大連模擬,10)甲、乙兩人進(jìn)行飛鏢游戲,甲的10次成績 分別為8,6,7,7,8,10,10,9,7,8,乙的10次成績的平均數(shù)為8,方差為0.4,則?(　????)A.甲的10次成績的極差為4B.甲的10次成績的75%分位數(shù)為8C.甲和乙的20次成績的平均數(shù)為8D.甲和乙的20次成績的方差為1答案????ACD????
6.(多選)(2023屆福建部分名校聯(lián)考,9)某環(huán)保局對轄區(qū)內(nèi)甲、乙、丙、丁 四個地區(qū)的環(huán)境治理情況進(jìn)行檢查督導(dǎo),若連續(xù)10天,每天空氣質(zhì)量指數(shù) (單位:μg/m3)不超過100,則認(rèn)為該地區(qū)環(huán)境治理達(dá)標(biāo),否則認(rèn)為該地區(qū)環(huán) 境治理不達(dá)標(biāo).根據(jù)連續(xù)10天檢查所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特征推斷,環(huán)境治理一 定達(dá)標(biāo)的地區(qū)是?(　????)A.甲地區(qū):平均數(shù)為80,方差為40B.乙地區(qū):平均數(shù)為50,眾數(shù)為40C.丙地區(qū):中位數(shù)為50,極差為60D.丁地區(qū):極差為10,80%分位數(shù)為90答案????AD????
7.(2022湖北襄陽五中階段練,14)若已知30個數(shù)x1,x2,…,x30的平均數(shù)為6,方 差為9;現(xiàn)從原30個數(shù)中剔除x1,x2,…,x10這10個數(shù),且剔除的這10個數(shù)的平 均數(shù)為8,方差為5,則剩余的20個數(shù)x11,x12,…,x30的方差為　　　????.答案????8
8.(2022福建漳州一模,13)某校體育節(jié)10名旗手的身高(單位:厘米)分別為 175.0,178.0,176.0,180.0,179.0,175.0,176.0,179.0,180.0,179.0,則中位數(shù)為 　　　????.答案????178.5
9.(2022濟南二模,13)2022年4月24日是第七個“中國航天日”,今年的主 題是“航天點亮夢想”.某校組織學(xué)生參與航天知識競答活動,某班8位 同學(xué)成績?nèi)缦?7,6,8,9,8,7,10,m.若去掉m,該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不 變,則整數(shù)m(1≤m≤10)的值可以是　　????(寫出一個滿足條件的m的值即 可).答案????7或8或9或10(填任意一個均可)
10.(2023屆湖北摸底聯(lián)考,15)利用分層隨機抽樣的方法,調(diào)研某校高二年 級學(xué)生某次數(shù)學(xué)測驗的成績(滿分100分),獲得樣本數(shù)據(jù)的特征量如表:
則總樣本的平均分為　　　????,方差為　　　????.參考公式:n個數(shù)x1,x2,x3, …,xn的平均數(shù)為?=??xi,方差為s2=??(xi-?)2=?[(?+?+…+?)-n?]參考數(shù)據(jù):8×(36+802)+32×(16+702)-40×722=1 440.答案????72????36
11.(2022山東煙臺、德州一模,17)2022年2月4日至20日,第24屆冬季奧林 匹克運動會在北京成功舉辦.這場冰雪盛會是運動健兒奮力拼搏的舞臺, 也是中外文明交流互鑒的舞臺,折射出我國更加堅實的文化自信,詮釋著 新時代中國的從容姿態(tài),傳遞出中華兒女與世界人民“一起向未來”的 共同心聲.某學(xué)校統(tǒng)計了全校學(xué)生觀看北京冬奧會開幕式和閉幕式的時 長情況(單位:分鐘),并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方 圖.
(1)求頻率分布直方圖中a的值,并估計樣本數(shù)據(jù)的85%分位數(shù);(2)采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣方式,從觀看時長在[200,280]的 學(xué)生中抽取6人.若從這6人中隨機抽取3人在全校交流觀看體會,設(shè)抽取 的3人中觀看時長在[200,240)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解析????(1)因為40×(0.000 5+0.002×2+2a+0.006+0.006 5)=1,解得a=0.004. 結(jié)合已知得觀看時長在200分鐘以下的占比為40×(0.000 5+0.002+0.004+ 0.006+0.006 5)=0.76,觀看時長在240分鐘以下的占比為0.76+40×0.004=0.92,所以85%分位數(shù)位于[200,240)內(nèi), 85%分位數(shù)為200+40×?=222.5.(2)因為觀看時長[200,240)、[240,280]對應(yīng)的頻率分別為0.16,0.08,所以采用分層隨機抽樣的方式在兩個區(qū)間中應(yīng)分別抽取4人和2人.所以 抽取的3人中觀看時長在[200,240)中的人數(shù)X的所有可能取值為1,2,3.P(X =1)=?=?,P(X=2)=?=?,P(X=3)=?=?,所以X的分布列為
所以E(X)=1×?+2×?+3×?=2.

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