專題十　計(jì)數(shù)原理10.1　計(jì)數(shù)原理、排列與組合考點(diǎn)　計(jì)數(shù)原理、排列、組合1.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者,每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館,甲場(chǎng)館安排1名,乙場(chǎng)館安排2名,丙場(chǎng)館安排3名,則不同的安排方法共有????????????? (　　)A.120種　　　　B.90種　　　　C.60種　　　　D.30種答案　C　解題思路:第一步:安排甲場(chǎng)館的志愿者,則甲場(chǎng)館的安排方法有=6種,第二步:安排乙場(chǎng)館的志愿者,則乙場(chǎng)館的安排方法有=10種,第三步:安排丙場(chǎng)館的志愿者,則丙場(chǎng)館的安排方法有=1種.所以共有6×10×1=60種不同的安排方法.故選C(易錯(cuò):注意分配到每個(gè)場(chǎng)館的志愿者是不分順序的,所以不用全排列).2.(2022新高考Ⅱ,5,5分,應(yīng)用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同的排列方式共有????????????? (　　)A.12種　　　　B.24種　　　　C.36種　　　　D.48種答案　B　丙和丁相鄰共有種站法,甲站在兩端且丙和丁相鄰共有種站法,所以甲不站在兩端且丙和丁相鄰共有=24種站法,故選B.3.(2021全國(guó)乙理,6,5分)將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有????????????? (　　)A.60種　　　　B.120種　　　　C.240種　　　　D.480種答案　C　先將5人分為4組,其中一組有2人,另外三組各1人,共有=10種分法,然后將4個(gè)項(xiàng)目全排列,共有=24種排法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得到不同的分配方案共有=240種,故選C.易錯(cuò)警示　本題容易出現(xiàn)將5人分為4組,共有分法=60種的錯(cuò)誤結(jié)果. 4.(2016四川理,4,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)A.24　　　B.48　　　C.60　　　D.72答案　D　奇數(shù)的個(gè)數(shù)為=72.5.(2015四川理,6,5分)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40 000大的偶數(shù)共有(　　)A.144個(gè)　　　B.120個(gè)　　　C.96個(gè)　　　D.72個(gè)答案　B　數(shù)字0,1,2,3,4,5中僅有0,2,4三個(gè)偶數(shù),比40 000大的偶數(shù)為以4開頭與以5開頭的數(shù).其中以4開頭的偶數(shù)又分以0結(jié)尾與以2結(jié)尾,有2=48個(gè);同理,以5開頭的有3=72個(gè).于是共有48+72=120個(gè),故選B.評(píng)析　本題考查了分類與分步計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)的知識(shí).考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.6.(2014大綱全國(guó)理,5,5分)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組.則不同的選法共有(　　)A.60種　　　B.70種　　　C.75種　　　D.150種答案　C　從6名男醫(yī)生中選出2名有種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名有種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的選法共有·=75種.故選C.7.(2014遼寧理,6,5分)6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(　　)A.144　　　B.120　　　C.72　　　D.24答案　D　先把三把椅子隔開擺好,它們之間和兩端有4個(gè)位置,再把三人帶椅子插放在四個(gè)位置,共有=24種放法,故選D.8.(2014四川理,6,5分)六個(gè)人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有(　　)A.192種　　　B.216種　　　C.240種　　　D.288種答案　B　若最左端排甲,其他位置共有=120種排法;若最左端排乙,最右端共有4種排法,其余4個(gè)位置有=24種排法,所以共有120+4×24=216種排法.9.(2014重慶理,9,5分)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(　　)A.72　　　B.120　　　C.144　　　D.168答案　B　先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰,保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有·=144種,再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況,共有··=24種,于是符合題意的排法共有144-24=120種.10.(2013山東理,10,5分)用0,1,…,9十個(gè)數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)A.243　　　B.252　　　C.261　　　D.279答案　B　由分步乘法計(jì)數(shù)原理知:用0,1,…,9十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個(gè)數(shù)為9×10×10=900,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×9×8=648,則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900-648=252,故選B.評(píng)析　本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理,考查學(xué)生的推理運(yùn)算能力.11.(2012課標(biāo)理,2,5分)將2名教師,4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有(　　)A.12種　　　B.10種　　　C.9種　　　D.8種答案　A　2名教師各在1個(gè)小組,給其中1名教師選2名學(xué)生,有種選法,另2名學(xué)生分配給另1名教師,然后將2個(gè)小組安排到甲、乙兩地,有種方案,故不同的安排方案共有=12種,選A.評(píng)析　本題考查了排列組合的實(shí)際應(yīng)用,考查了先分組再分配的方法.12.(2012遼寧理,5,5分)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家.若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為(　　)A.3×3!　　　　　B.3×(3!)3C.(3!)4　　　　　D.9!答案　C　第1步:3個(gè)家庭的全排列,方法數(shù)為3!;第2步:家庭內(nèi)部3個(gè)人全排列,方法數(shù)為3!,共3個(gè)家庭,方法數(shù)為(3!)3,∴總數(shù)為(3!)×(3!)3=(3!)4,故選C.評(píng)析　本題主要考查計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生分析、解決問題的能力.13.(2012安徽理,10,5分)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換,任意兩位同學(xué)之間最多交換一次,進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品.已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換,則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為(　　)A.1或3　　　B.1或4　　　C.2或3　　　D.2或4答案　D　由題意及=15知只需少交換2次.記6位同學(xué)為A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨討論①A1少交換2次,如A1未與A2、A3交換,則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)僅為A2、A3 2人;②A1、A2各少交換1次,如A1與A3未交換,A2與A4未交換,則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)有4人,為A1、A2、A3、A4.故選D.14.(2016課標(biāo)Ⅱ,5,5分)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　)A.24　　　B.18　　　C.12　　　D.9答案　B　分兩步,第一步,從E→F,有6條可以選擇的最短路徑;第二步,從F→G,有3條可以選擇的最短路徑.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×3=18條可以選擇的最短路徑.故選B.思路分析　小明到老年公寓,需分兩步進(jìn)行,先從E到F,再?gòu)?/span>F到G,分別求各步的最短路徑條數(shù),再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得結(jié)果.15.(2016課標(biāo)Ⅲ,12,5分)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項(xiàng),其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù),若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　　)A.18個(gè)　　　B.16個(gè)　　　C.14個(gè)　　　D.12個(gè)答案　C　當(dāng)m=4時(shí),數(shù)列{an}共有8項(xiàng),其中4項(xiàng)為0,4項(xiàng)為1,要滿足對(duì)任意k≤8,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù),則必有a1=0,a8=1,a2可為0,也可為1.(1)當(dāng)a2=0時(shí),分以下3種情況:①若a3=0,則a4,a5,a6,a7中任意一個(gè)為0均可,則有=4種情況;②若a3=1,a4=0,則a5,a6,a7中任意一個(gè)為0均可,有=3種情況;③若a3=1,a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個(gè)為0均可,有=2種情況;(2)當(dāng)a2=1時(shí),必有a3=0,分以下2種情況:①若a4=0,則a5,a6,a7中任一個(gè)為0均可,有=3種情況;②若a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個(gè)為0均可,有=2種情況.綜上所述,不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有4+3+2+3+2=14個(gè),故選C.思路分析　根據(jù)題意可知a1=0,a8=1,進(jìn)而對(duì)a2,a3,a4取不同值進(jìn)行分類討論(分類要做到不重不漏),從而利用分類加法計(jì)數(shù)原理求出不同的“規(guī)范01數(shù)列”的個(gè)數(shù).16.(2018浙江,16,4分)從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字,一共可以組成　　　　個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答) 答案　1 260解析　本小題考查排列、組合及其運(yùn)用,考查分類討論思想.含有數(shù)字0的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有=540個(gè),不含有數(shù)字0的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有=720個(gè),故一共可以組成540+720=1 260個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).易錯(cuò)警示　數(shù)字排成數(shù)時(shí),容易出錯(cuò)的地方:(1)數(shù)字是否可以重復(fù);(2)數(shù)字0不能排首位.17.(2015廣東理,12,5分)某高三畢業(yè)班有40人,同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了　　　　條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答) 答案　1 560解析　∵同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言,且全班共有40人,∴全班共寫了40×39=1 560條畢業(yè)留言.18.(2013北京理,12,5分)將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張.如果分給同一人的2張參觀券連號(hào),那么不同的分法種數(shù)是　　　　. 答案　96解析　5張參觀券分成4份,1份2張,另外3份各1張,且2張參觀券連號(hào),則有4種分法,把這4份參觀券分給4人,則不同的分法種數(shù)是4=96.19.(2013大綱全國(guó)理,14,5分)6個(gè)人排成一行,其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有　　　　種.(用數(shù)字作答) 答案　480解析　先將除甲、乙兩人以外的4人排成一行,有=24種排法,再將甲、乙插入有=20種,所以6人排成一行,甲、乙不相鄰的排法共有24×20=480種.20.(2013浙江理,14,4分)將A,B,C,D,E,F六個(gè)字母排成一排,且A,B均在C的同側(cè),則不同的排法共有　　　　種(用數(shù)字作答). 答案　480解析　從左往右看,若C排在第1位,共有排法=120種;若C排在第2位,共有排法·=72種;若C排在第3位,則A、B可排C的左側(cè)或右側(cè),共有排法·+·=48種;若C排在第4,5,6位時(shí),其排法數(shù)與排在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480種.21.(2011北京理,12,5分)用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次,這樣的四位數(shù)共有　　　　個(gè).(用數(shù)字作答) 答案　14解析　解法一:數(shù)字2只出現(xiàn)一次的四位數(shù)有=4個(gè);數(shù)字2出現(xiàn)兩次的四位數(shù)有=6個(gè);數(shù)字2出現(xiàn)三次的四位數(shù)有=4個(gè).故總共有4+6+4=14個(gè).解法二:由數(shù)字2,3組成的四位數(shù)共有24=16個(gè),其中沒有數(shù)字2的四位數(shù)只有1個(gè),沒有數(shù)字3的四位數(shù)也只有1個(gè),故符合條件的四位數(shù)共有16-2=14個(gè).評(píng)析　本題考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí),考查分類討論思想,解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確分類,并注意相同元素的排列數(shù)等于不同元素的組合數(shù).屬于中等難度題. 

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