成都七中高新校區(qū)高2022級高二上期學科素養(yǎng)測試數(shù)學試卷總分：150分  時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1. 直線的一個方向向量是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)方向向量的定義解答即可．【詳解】直線的斜率為，則選項中是直線的一個方向向量，即B正確．故選：B．2. 利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個工廠隨機抽查一件產(chǎn)品，設事件A為“是一等品”，B為“是合格品”，C為“是不合格品”，則下列結(jié)果錯誤的是（　?。?/span>A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合互斥事件的定義，以及頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：由題意可知，A，B，C為互斥事件，，，故B正確，C錯誤，抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，則，，故A正確，，故D正確．故選：C．3. 一組樣本數(shù)據(jù)為：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（    ）A. 14，14 B. 12，14 C. 14，15.5 D. 12，15.5【答案】A【解析】【分析】把給定數(shù)據(jù)按由小到大排列，再結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解作答.【詳解】把這組數(shù)據(jù)按由小到大排列為：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，所以其眾數(shù)為14，中位數(shù)為14.故選：A4. 為空間的一組基底，則下列各項中能構(gòu)成基底的一組向量是（    ）A. ，， B. ，，C. ，， D. ，，【答案】C【解析】【分析】確定，，排除ABD，得到答案.【詳解】對選項A：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；對選項B：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；對選項C：假設，即，這與題設矛盾，假設不成立，可以構(gòu)成基底，正確；對選項D：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；故選：C5. 如圖，在棱長為a的正方體中，P為的中點，Q為上任意一點，E，F為上兩個動點，且的長為定值，則點Q到平面的距離（    ）A. 等于 B. 和的長度有關(guān)C. 等于 D. 和點Q的位置有關(guān)【答案】A【解析】【分析】取的中點G，連接，利用線面平行判斷出選項B,D錯誤；建立空間直角坐標系，利用平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積公式求得點到面的距離，從而得出結(jié)論.【詳解】取的中點G，連接，則，所以點Q到平面的距離即點Q到平面的距離，與的長度無關(guān)，B錯．又平面，所以點到平面的距離即點Q到平面的距離，即點Q到平面的距離，與點Q的位置無關(guān)，D錯．如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，則，∴，，，設是平面的法向量，則由得令，則，所以是平面的一個法向量．設點Q到平面的距離為d，則，A對，C錯．故選：A．【點睛】本題主要考查點到直線的距離，意在考查學生的數(shù)學抽象的學科素養(yǎng)，屬中檔題.6. 設直線l的方程為，則直線l的傾斜角的范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】當時，可得傾斜角，當時，由直線方程可得斜率，然后由余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】當時，方程為，直線的傾斜角，當時，由直線方程可得斜率，，且，，即，又，，綜上，傾斜角的范圍是故選：D．7. 投擲一枚均勻的骰子，記事件A：“朝上的點數(shù)大于3”，B：“朝上的點數(shù)為2或4”，則下列說法正確的是（    ）A. 事件A與事件B互斥 B. 事件A與事件B對立C. 事件A與事件B相互獨立 D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件以及對立事件的概念結(jié)合事件A與事件B的基本事件可判斷A，B；根據(jù)獨立事件的概率公式可判斷C；求出事件的概率可判斷D.【詳解】對于A，B，事件A：“朝上的點數(shù)大于3”，B：“朝上的點數(shù)為2或4”，這兩個事件都包含有事件：“朝上的點數(shù)為4”，故事件A與事件B不互斥，也不對立，A，B錯誤；對于C，投擲一枚均勻的骰子，共有基本事件6個，事件A：“朝上的點數(shù)大于3”包含的基本事件個數(shù)有3個，其概率為,B：“朝上的點數(shù)為2或4”，包含的基本事件個數(shù)有2個，其概率為,事件包含的基本事件個數(shù)有1個，其概率為,由于,故事件A與事件B相互獨立，C正確；對于D，事件包含的基本事件個數(shù)有朝上的點數(shù)為共4個，故，D錯誤，故選：C8. 在正四棱錐中，若，，平面與棱交于點，則四棱錐與四棱錐的體積比為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用、、、四點共面，，由錐體體積公式，求出和的值，即可得的值.【詳解】如圖所示，  設，由、、、四點共面，設，則，即，得，又，，不共面，則，解得：，即，設，分別是點到平面和點到平面的距離，則，所以，，，同理，，，，則四棱錐與四棱錐的體積比為.故選：B【點睛】方法點睛：點共面問題可轉(zhuǎn)化為向量共面問題；求幾何體的體積，要注意分割與補形；利用錐體體積公式，棱錐的體積比最終轉(zhuǎn)化為棱長之比.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合要求的.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9. [多選題]下列命題是真命題的是（    ）．A. 若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量B. 若A，B，C，D不在一條直線上，則與不是共線向量C. 若向量與是共線向量，則A，B，C，D四點必在一條直線上D. 若向量與是共線向量，則A，B，C三點必在一條直線上【答案】AD【解析】【分析】向量平行與共線是同一個概念，對四個命題依次判斷即可．【詳解】A 項為真命題，A，B，C，D在一條直線上，則向量，的方向相同或相反，因此與是共線向量；B項為假命題，A，B，C，D不在一條直線上，則，的方向不確定，不能判斷與是否共線；C項為假命題，因為，兩個向量所在的直線可能沒有公共點，所以A，B，C，D四點不一定在一條直線上；D項為真命題，因為，兩個向量所在的直線有公共點A，且與是共線向量，所以A，B，C三點共線．故選：AD．10. 已知正方體的棱長為1，點E、O分別是、的中點，P在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（    ）A. 點A到直線BE的距離是 B. 點O到平面的距離為C. 平面與平面間的距離為 D. 點P到直線AB的距離為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標系，用向量法直接求解可得．【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系：則,0,，,0,，,1,，,0,，,1,，,1,，．所以，，則到直線的距離，故A不正確；易知，又，，所以，則平面的一個法向量為，則點到平面的距離，故B正確；，，．設平面的法向量為，則，所以，令，得，，所以，所以點到平面的距離．因為平面平面，所以平面與平面間的距離等于點到平面的距離，即為，故C正確；因為，所以，，則，所以點到的距離，故D不正確．故選：BC．11. 在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，底面ABCD，則（    ）  A. B. PB與平面ABCD所成角為C. 異面直線AB與PC所成角的余弦值為D. 平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為【答案】ABC【解析】【分析】由線面垂直的判定定理及異面直線所成角的求法，結(jié)合空間向量的應用逐一判斷即可得解．【詳解】對于選項A，因為，，由余弦定理可得，從而，即，由底面，底面，可得，又面，即面，又面，即，故選項A正確；對于選項B，因為底面，所以就是與平面所成的角，又，即，故選項B正確；對于選項C，顯然為異面直線與所成的角，易得，故選項C正確；對于選項D，建立如圖所示的空間直角坐標系，  設，則,0,，,0,，,,，,,，,0,，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，即，設平面的一個法向量為，則，則，令，則，，即，則，即平面與平面夾角的余弦值為，故選項D不正確.故選：ABC．12. 如圖，在正四面體ABCD中，M，N分別是線段AB，CD（不含端點）上的動點，則下列說法正確的是（    ）A. 對任意點M，N，都有MN與AD異面B. 存在點M，N，使得MN與BC垂直C. 對任意點M，存在點N，使得與，共面D. 對任意點M，存在點N，使得MN與AD，BC所成的角相等【答案】ACD【解析】【分析】A選項，首先不可能與AD相交，其次證明AD與MN不可能平行，故A正確；B選項，證明出BC⊥平面ADF，因為直線AB與CD分別與平面ADF的交點為A，D，但M，N與A，D不會重合，故B錯誤；C選項，作出輔助線，得到存在，使得，由空間向量性質(zhì)可知C正確；D選項，作出輔助線，對于任意點M，找到點N，得到MN與AD，BC所成的角，利用相似和余弦定理得到MN與AD，BC所成的角相等.【詳解】A選項，M，N分別是線段AB，CD（不含端點）上的動點，故不可能與AD相交，過點M作ME∥AD交BD于點E，MN與ME相交，故AD與MN不可能平行，綜上：對任意點M，N，都有MN與AD異面，A正確；B選項，取BC中點F，連接AF，DF，因四面體ABCD為正四面體，所以AF⊥BC，DF⊥BC，因為，所以BC⊥平面ADF，因為直線AB與CD分別與平面ADF的交點為A，D，但M，N與A，D不會重合，故BC不可能與MN垂直，B錯誤；C選項，對于任意點M，作ME∥AD交BD于點E，過點E作EN∥BC交CD于點N，連接MN，此時，故存在，使得，所以對任意點M，存在點N，使得與，共面，C正確；D選項，對任意的點M，在CD上取點N，使得CN=AM，則，過點M作ME∥AD交BD于點E，過點N作NF∥BC交BD于點F，則為MN與AD形成的角，∠MNF為MN與BC形成的角，且FN=EM，DE=BF，由BM=DN，∠ABD=∠CDB=60°，DE=BF得：△BMF≌△DNE，所以MF=EN，由余弦定理得：，，由于三邊對應相等，故∠MNF=∠NMF，對任意點M，存在點N，使得MN與AD，BC所成的角相等，D正確.故選：ACD【點睛】立體幾何中動點問題，在點運動過程中求解垂直或平行關(guān)系或角度或長度的最值等，需要把點運動到特殊位置或抓住運動過程中的不動量作為解題的突破口.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.13. 點到平面的距離______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)空間點的坐標的含義，即可得答案.【詳解】點在平面上的射影是，則點在平面距離.故答案為：514. 已知過點和點的直線為，：，：，若，，則的值為______.【答案】【解析】【分析】由平行、垂直直線的斜率關(guān)系求解即可.【詳解】因為，所以，解得，又，所以，解得，所以.故答案為：.15. 在正方體中，點是上的動點，是平面內(nèi)的一點，且滿足，則二面角余弦值的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】連接、、、，設，連接、，證明出平面，可知點的軌跡為線段，由二面角的定義可知二面角的平面角為，求出的最小值和最大值，即可得解.【詳解】連接、、、，設，連接、，如下圖所示：因為且，則四邊形為平行四邊形，因為四邊形為正方形，則，因為平面，平面，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，因為是平面內(nèi)的一點，且滿足，所以，點的軌跡為線段，設正方體的棱長為，則，因為四邊形為正方形，，則為的中點，且，由勾股定理可得，則，所以，二面角的平面角為，由圖可知，當點與點重合時，最大，，，因為平面，平面，則，此時，；當與點重合時，最小，此時，，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，因此，二面角的余弦值的取值范圍.故答案為：.【點睛】方法點睛：求二面角常用的方法：（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來度量，平面角的作法常見的有：①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質(zhì)；（2）空間向量法：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.16. 已知四棱錐的各個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是線段AB上一點，且．過點M作球O的截面，所得截面圓面積的最小值為，則＝___．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，確定球心O的位置并求出球半徑，再利用球的截面圓性質(zhì)及余弦定理求解作答.【詳解】在等腰梯形中，連接，如圖，因為，，，則，，于是，取中點，連接，則，得均為正三角形，即有，即是梯形外接圓圓心，而O為四棱錐的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD，則，而為球O的弦，則過點O垂直于的平面必過的中點E，連接，于是，而，即有，四邊形為矩形，，因此球O的半徑，過點M的球O的最小截面圓所在平面必垂直于，而此截面圓半徑為，則，連接，在中，，在中，，，即有，解得或，所以或.故答案為：或【點睛】關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17. 在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；    （2）.【解析】【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因為平面，所以；【小問2詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，，則，則，設平面的法向量，
則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為. 18. （1）已知，，，若點D在線段（包括端點）上移動時，求直線的斜率的取值范圍；（2）求函數(shù)，的值域. 【答案】【小問1】或    【小問2】【解析】【分析】（1）求出直線，的斜率，數(shù)形結(jié)合可得答案；（2）利用輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）直線的斜率，直線的斜率，如圖所示，點D在線段（包括端點）上移動時，或，故直線的斜率的取值范圍是：或.（2）由，得，所以，其中，則，由，得，即，解得，所以函數(shù)，的值域為.19. 如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是.（1）證明：；（2）求與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算和數(shù)量積的運算性質(zhì)，得到，即可得證；（2）求出，再利用向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，， ，【小問2詳解】，，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為20. 甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；（2）若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率．【答案】（1） （2）【解析】【詳解】甲校的男教師用A、B表示，女教師用C表示，乙校的男教師用D表示，女教師用E、F表示，（1）根據(jù)題意，從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，有（AD），（AE），（AF），（BD），（BE），（BF），（CD），（CE），（CF），共9種；其中性別相同的有（AD）（BD）（CE）（CF）四種；則選出的2名教師性別相同的概率為P=；（2）若從報名的6名教師中任選2名，有（AB）（AC）（AD）（AE）（AF）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF）（DE）（DF）（EF）共15種；其中選出的教師來自同一個學校的有6種；則選出的2名教師來自同一學校的概率為P=．21. 從2022年秋季學期起，四川省啟動實施高考綜合改革，實行高考科目“3+1+2”模式.“3”指語文、數(shù)學、外語三門統(tǒng)考學科，以原始分數(shù)計入高考成績；“1”指考生從物理、歷史兩門學科中“首選”一門學科，以原始分數(shù)計入高考成績；“2”指考生從政法、地理、化學、生物四門學科中“再選”兩門學科，以等級分計入高考成績.按照方案，再選學科的等級分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績從高到低劃分為A，B，C，D，E五個等級，各等級人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級ABCDE人數(shù)比例賦分區(qū)間將各等級內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級分，轉(zhuǎn)換公式為，其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，，分別表示等級賦分區(qū)間的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，表示考生的等級分，規(guī)定原始分為時，等級分為，計算結(jié)果四舍五入取整.某次化學考試的原始分最低分為50，最高分為98，呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求此次化學考試成績的平均值；（2）按照等級分賦分規(guī)則，估計此次考試化學成績A等級的原始分區(qū)間；（3）用估計的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學生化學成線的原始分為90，試計算其等級分.【答案】（1）73    （2）    （3）91分【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出，由頻率分布直方圖中平均數(shù)的概念求解平均數(shù)；（2）求出等級A的原始分區(qū)間的最低分，又最高分為98，即可得解；（3）利用給定轉(zhuǎn)換公式求出等級分作答．【小問1詳解】由，可得，此次化學考試成績平均值為分．【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，原始分成績位于區(qū)間的占比為，位于區(qū)間的占比為， 因為成績A等級占比為，所以等級A的原始分區(qū)間的最低分位于區(qū)間，估計等級A的原始分區(qū)間的最低分為，已知最高分為98，所以估計此次考試化學成績A等級的原始分區(qū)間為．小問3詳解】由，解得，該學生的等級分為91分．22. 如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點.（1）求證：平面；（2）若，，.①求二面角所成平面角的正弦值；②在線段上是否存在一點M，使得直線與平面所成角為？【答案】（1）證明見解析    （2）①；②存在【解析】【分析】（1）取的中點D，可證得面,面,從而面面,進而得結(jié)論；（2）①以A為坐標原點，，所在直線分別為x，y軸，以過A且垂直于平面的直線為z軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，利用向量夾角公式求解；②設，（），則，求出平面的法向量，利用向量夾解公式列出方程求解即可.【小問1詳解】如圖，取的中點D，連接,∵面,,∴,則,又,∴,面,面,∴面,∵分別為的中點，∴,面,面,∴面,,面,∴面面,又平面，所以平面【小問2詳解】①以A為坐標原點，，所在直線分別為x，y軸，以過A且垂直于平面的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，所以，又，，所以，則，則，，，，，，設平面的法向量為，則，令，則，所以，設平面的法向量，則，令，則，所以，所以.設二面角的大小為，則.②，設，（），則，，設平面的法向量，則，令，則，所以，，，因為，所以，故有：，解得（負根舍去），，因為，

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