四川省成都市第七中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（Word版附解析）

這是一份四川省成都市第七中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（Word版附解析），共24頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考試時(shí)間：120分鐘 總分：150分
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知點(diǎn)，點(diǎn)，則直線傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由斜率公式可求得直線斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系可得直線傾斜角.
【詳解】，直線的傾斜角為.
故選：C.
2. 已知直線，的方向向量分別為，，且直線，均平行于平面，平面的單位法向量為（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平面法向量的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)平面的單位法向量為，
因?yàn)橹本€，均平行于平面，
所以有，
由可得： 或，
故選：D
3. 有人從一座層大樓的底層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則該人在不同層離開電梯的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：設(shè)2人為A、B，則2人自2至6層離開電梯的所有可能情況為：（A2，B2），（A2，B3）,（A2，B4），（A2，B5），（A2，B6）,（A3，B2）,（A3，B3），…，（A6，B6）．共25個(gè)基本事件，2人在相同層離開電梯共包含（A2，B2）,（A3，B3）,（A4，B4）,（A5，B5）,（A6，B6）共5個(gè)事件，所以2人在不同層離開電梯共包含20個(gè)基本事件，概率為．
考點(diǎn)：古典概型
4. 如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算用表示出即可得．
【詳解】-＝，
.
故選：A．
5. 某校高一年級(jí)15個(gè)班參加合唱比賽，得分從小到大排序依次為：，，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（ ）
A. 90B. C. 86D. 93
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)和第13個(gè)數(shù)的平均數(shù)，
即,
故選：B
6. 四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（ ）
A. 平均數(shù)為2，方差為2.4B. 中位數(shù)為3，方差為1.6
C. 中位數(shù)為3，眾數(shù)為2D. 平均數(shù)為3，中位數(shù)為2
【答案】A
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，有平均數(shù)與方差間關(guān)系，可判斷選項(xiàng)正誤；BCD選項(xiàng)，通過舉反例可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】A選項(xiàng)，若5次結(jié)果中有6，因平均數(shù)為2，
則方差，因，
則當(dāng)平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)一定不會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A正確；
B選項(xiàng)，取5個(gè)點(diǎn)數(shù)為3,3,3,5,6，則此時(shí)滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為4，
則方差，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，取5個(gè)點(diǎn)數(shù)為2,2,3,5,6，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，取5個(gè)點(diǎn)數(shù)為1,1,2,5,6，滿足中位數(shù)為2，平均數(shù)為3，故D錯(cuò)誤.
故選：A
7. 如圖，某圓錐的軸截面，其中，點(diǎn)B是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圓錐曲線的性質(zhì)，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法即可求兩異面直線的夾角．
【詳解】由圓錐的性質(zhì)可知平面，故可以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面內(nèi)過點(diǎn)O且垂直于的直線為x軸，分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
易知，
∵，∴，∴，
∴，，
∴，
因此，異面直線與所成角的余弦值為．
8. 已知正方體，設(shè)其棱長(zhǎng)為1（單位：）．平面與正方體的每條棱所成的角均相等，記為．平面與正方體表面相交形成的多邊形記為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 可能為三角形，四邊形或六邊形
B.
C. 的面積的最大值為
D. 正方體內(nèi)可以放下直徑為圓
【答案】D
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，如圖，建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)可知平面可為與垂直的平面，即可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析及線面角計(jì)算公式可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可表示出兩種情況下的面積表達(dá)式，即可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，問題等價(jià)于判斷內(nèi)部最大圓直徑最大值是否大于1.2.
【詳解】A選項(xiàng)，如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
.
設(shè)平面法向量為，因平面與正方體的每條棱所成的角均相等，
則
.
由對(duì)稱性，不妨取，則法向量可為，又，
則平面可為與垂直的平面.
如圖，連接，
因平面ABCD，平面ABCD，
則，又平面，
則平面，又平面，則，同理可得.
又平面，，故平面.
即平面可為與平面平行的平面，
當(dāng)平面與（不含A）相交時(shí)，M為與相似的正三角形；
當(dāng)平面與（不含）相交時(shí)，M為如圖所示的六邊形；
當(dāng)平面與相交時(shí)（不含），M為與相似的正三角形；
則可能為三角形，六邊形，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可知，，故B錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可知，當(dāng)平面過或時(shí)，
所得正三角形面積最大，由題可得邊長(zhǎng)為，則相應(yīng)面積為.
當(dāng)為六邊形時(shí)，如下圖所示，因，，又，
結(jié)合圖形可知，又由題可知六邊形為中心對(duì)稱圖形，
取其對(duì)稱中心為O，則四邊形四邊形四邊形，
則六邊形面積為相應(yīng)四邊形面積的3倍.取RS，RT中點(diǎn)分別為F，E，
連接EF，OE，OF，因，則，
四邊形面積為四邊形面積2倍，則六邊形面積為四邊形面積6倍.
設(shè)，
由題結(jié)合圖形可知， ，則
在中，由余弦定理，.
注意到，則四點(diǎn)共圓，
則外接圓直徑等于OR，由正弦定理，可得.
則，.
則六邊形面積S
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
又 ，則的面積的最大值為，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，先判斷M內(nèi)部的最大圓直徑最大值是否超過1.2m.
當(dāng)M為正三角形時(shí)，M內(nèi)部的最大圓為三角形內(nèi)切圓，
易知當(dāng)平面過或時(shí)，所得內(nèi)切圓半徑最大，
設(shè)此時(shí)內(nèi)切圓半徑為，三角形面積為，周長(zhǎng)為C，
則內(nèi)切圓直徑.
當(dāng)M為六邊形時(shí)，M內(nèi)部的最大圓半徑滿足，
由C選項(xiàng)分析，可知，則當(dāng)時(shí)，
取最大值，則此時(shí)M內(nèi)部的最大圓直徑的最大值為，
因，則，即正方體內(nèi)可以放下直徑為的圓，故D正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題首先需要通過向量方法，得到滿足題意的平面的具體特征，后利用幾何知識(shí)，結(jié)合正余弦定理可得圖形的面積最大值及其內(nèi)部最大圓直徑.
二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列命題中是真命題的為（ ）
A. 若與共面，則存在實(shí)數(shù)，使
B. 若存在實(shí)數(shù)，使向量，則與共面
C. 若點(diǎn)四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，使
D. 若存在實(shí)數(shù)，使，則點(diǎn)四點(diǎn)共面
【答案】BD
【解析】
分析】根據(jù)平面向量基本定理以及空間向量基本定理，可知B、D項(xiàng)正確；若共線，則A結(jié)論不恒成立；若三點(diǎn)共線，則C項(xiàng)結(jié)論不恒成立.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如果共線，則只能表示與共線的向量.
若與不共線，則不能表示，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)平面向量基本定理知，若存在實(shí)數(shù)，使向量，則與共面，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，如果三點(diǎn)共線，則不論取何值，只能表示與共線的向量.若點(diǎn)不在所在的直線上，則無法表示，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)空間向量基本定理，可知若存在實(shí)數(shù)，使，則共面，所以點(diǎn)四點(diǎn)共面，故D項(xiàng)正確.
故選：BD.
10. 已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量不重合），并且直線均不在平面內(nèi)，那么下列說法中正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由空間向量的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，
【詳解】已知直線不在平面內(nèi)，則，故A正確，D錯(cuò)誤，
由空間向量的位置關(guān)系得，，故B，C正確，
故選：ABC
11. 以下結(jié)論正確的是（ ）
A. “事件A，B互斥”是“事件A，B對(duì)立”的充分不必要條件．
B. 假設(shè)，且與相互獨(dú)立，則
C. 若，則事件相互獨(dú)立與事件互斥不能同時(shí)成立
D. 6個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，設(shè)“第一次取出球的數(shù)字是1”，“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則與相互獨(dú)立
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義得到A錯(cuò)誤，計(jì)算得到B錯(cuò)誤，根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的定義得到C正確，計(jì)算得到，D正確，得到答案.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：“事件A，B互斥”是“事件A，B對(duì)立”的必要不充分條件，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B：，，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C：假設(shè)事件互斥且獨(dú)立，則，
這與，矛盾，假設(shè)不成立，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：，，，故，
與相互獨(dú)立，正確.
故選：CD.
12. 如圖，已知矩形為中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上某一點(diǎn)．沿直線沿翻折成，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 翻折過程中，動(dòng)點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)
B. 翻折過程中，動(dòng)點(diǎn)在平面的射影的軌跡為一段圓弧
C. 翻折過程中，二面角的平面角記為，直線與平面所成角記為，則．
D. 當(dāng)平面平面時(shí)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作為垂足，則的范圍為
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由題可知點(diǎn)P為以D為頂點(diǎn)的圓錐底面圓周上的點(diǎn)，即可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，如圖，可證動(dòng)點(diǎn)在平面的射影在過A點(diǎn)且與DF垂直的線段上，即可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，結(jié)合B選項(xiàng)分析，可知與為同一等腰三角形的頂角和底角，即可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，由題可得K點(diǎn)為在平面的射影軌跡與DC交點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，表示出K點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】A選項(xiàng)，注意到翻折過程中，點(diǎn)P到D點(diǎn)距離不變，
則P為以D為頂點(diǎn)，DP為母線的圓錐底面圓周上的點(diǎn)，
即動(dòng)點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)，故A正確；
B選項(xiàng)，如圖，作，連接PH，則，
因平面PHA，則平面PHA.
作，又平面PHA，則PI，
又，平面，則平面.
則在翻折過程中，動(dòng)點(diǎn)在平面的射影在過A點(diǎn)且與DF垂直的直線上，
即動(dòng)點(diǎn)在平面的射影的軌跡為一段線段，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)分析可知，二面角的平面角為，
直線與平面所成角為，
則可知與為同一等腰三角形的頂角和底角，則.
則當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，結(jié)合B選項(xiàng)分析，當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)P在線段DC正上方.
則K點(diǎn)為在平面的射影軌跡與DC交點(diǎn)，
即為DF過A點(diǎn)垂線與DC交點(diǎn).
如圖，建立以D為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，則.
又由題設(shè)，其中，則，
因，則，令，
則，故D正確.
故選：AD

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 正方體各面所在的平面將空間分成__________個(gè)部分.
【答案】27
【解析】
【詳解】分上、中、下三個(gè)部分，每個(gè)部分分空間為個(gè)部分，共部分
14. 某人有3把鑰匙，其中2把能打開門，如果隨機(jī)地取一把鑰匙試著開門，把不能打開門的鑰匙扔掉，那么第二次才能打開門的概率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】分析試驗(yàn)過程，利用概率的乘法公式即可求出概率.
【詳解】記事件A：第二次才能打開門.
因?yàn)?把鑰匙中有2把能打開門，而第一次沒有打開，第二次必然能打開.
所以.
故答案為：.
15. 如圖，兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且（稱為異面直線的公垂線）．已知，，，則公垂線__________．
【答案】或
【解析】
【分析】如圖，構(gòu)造符合題意的直三棱錐，結(jié)合題意及余弦定理可得答案.
【詳解】如圖構(gòu)造一直三棱錐，使，則由題有： .
在中，由余弦定理，可得，
則；
如圖構(gòu)造一直三棱錐，使，則由題有： .
在中，由余弦定理，可得，
則.
故答案為：或.
16. 二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形圍成（如圖所示），若它所有棱的長(zhǎng)都為2，則該該二十四等邊體的外接球的表面積為__________．

【答案】
【解析】
【分析】利用正方體的性質(zhì)，結(jié)合球的表面積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】把該幾何體放在正方體中，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，顯然面對(duì)角線為，
因?yàn)樵搸缀误w的所有棱的長(zhǎng)都為2，
所以，
顯然，，所以，
設(shè)該該二十四等邊體的外接球的半徑為，則
所以該該二十四等邊體的外接球的表面積為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是把該幾何體放在正方體中，利用正方體的性質(zhì)進(jìn)行求解.
四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 2023年8月8日，世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都成功舉行閉幕式.某校抽取100名學(xué)生進(jìn)行了大運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽并紀(jì)錄得分（滿分：100分），根據(jù)得分將他們的成績(jī)分成六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求圖中的值；
（2）估計(jì)這100人競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）及中位數(shù)．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）利用頻率分布直方圖求平均數(shù)及中位數(shù)的公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由題意知：，
即．
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖可知：
平均數(shù)為：
前3組的頻率為，
所以中位數(shù)．
18. 用向量的方法證明：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.（三垂線定理的逆定理）
【答案】證明見解析.
【解析】
【分析】先把定理用符號(hào)語言表示，然后利用向量的數(shù)量積為0證明垂直即可.
【詳解】已知：如圖，PO，PA分別是平面的垂線、斜線，OA是PA在平面上的射影，，且.
求證：.
證明：如圖示，取直線的方向向量，同時(shí)取AP，PO.
，
又且
，
即證.
19. 一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球.
（1）求第二次取到紅球的概率；
（2）求兩次取到的球顏色相同的概率；
（3）如果袋中裝的是4個(gè)紅球，個(gè)綠球，已知取出的2個(gè)球都是紅球的概率為，那么是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出從10個(gè)球中不放回地隨機(jī)取出2個(gè)的不同取法數(shù)，再求出第二次取到紅球的不同取法數(shù)，然后求概率即可；
（2）結(jié)合（1）求解即可；
（3）由取出的2個(gè)球都是紅球的概率求出基本事件的個(gè)數(shù)，然后再求解即可.
【小問1詳解】
從10個(gè)球中不放回地隨機(jī)取出2個(gè)共有（種）可能，即，
設(shè)事件“兩次取出的都是紅球”，則，
設(shè)事件“第一次取出紅球，第二次取出綠球”，則，
設(shè)事件“第一次取出綠球，第二次取出紅球”，則，
設(shè)事件“兩次取出的都是綠球”，則，
因?yàn)槭录蓛苫コ猓?br>所以P（第二次取到紅球）.
【小問2詳解】
由（1）得，P（兩次取到的球顏色相同）；
【小問3詳解】
結(jié)合（1）中事件，可得，，
因?yàn)椋?br>所以，即，解得（負(fù)值舍去），
故.
20. 如圖，正四面體，

（1）找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等．請(qǐng)?jiān)诖鹁砩献鞒鰸M足題意的四個(gè)平面，并簡(jiǎn)要說明并證明作圖過程；
（2）若滿足（1）的平面，，，中，每相鄰兩個(gè)平面間的距離都為1，求該正四面體的體積．
【答案】（1）答案見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意要作出相互平行且相鄰距離相等的平面，所以先作直線平行，且取等分點(diǎn)，例如可取的三等分點(diǎn)，，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則有，，從而可得面面平行；
（2）解法一：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，根據(jù)題意建立合適的建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量等得到點(diǎn)到平面的距離，從而求得的值，進(jìn)而即可求得正四面體的體積；解法二：先將正四面體補(bǔ)形為正方體，結(jié)合條件確定正方體的棱長(zhǎng)，即可求得正四面體的體積．
【小問1詳解】
如圖所示，取的三等分點(diǎn)，，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
過三點(diǎn)，，作平面，過三點(diǎn)，，作平面，
因?yàn)椋?，所以平面?br>再過點(diǎn)，分別作平面，與平面平行，那么四個(gè)平面，，，依次相互平行，
由線段被平行平面，，，截得的線段相等知，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離相等，
故，，，為所求平面．（注：也可將正四面體放入正方體內(nèi)說明）
【小問2詳解】
解法一：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，
結(jié)合（1）有的中點(diǎn)，再取的中點(diǎn)，連接交于，
則由等邊三角形的性質(zhì)可知為的中心，且，
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于直線且過點(diǎn)的直線為軸，直線為軸，直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
令，為的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，
所以，，．
設(shè)平面的法向量，
則有，即，
取，則，，即．
又，，，相鄰平面之間的距離為1，
所以點(diǎn)到平面的距離為，解得．
由此可得，邊長(zhǎng)為的正四面體滿足條件．
所以所求正四面體的體積．
解法二：放入正方體，轉(zhuǎn)化為平幾問題．
如圖，將此正四面體補(bǔ)形為正方體，

分別取，，，的中點(diǎn)，，，，
平面與是分別過點(diǎn)，的兩平行平面，若其距離為1，
則正四面體滿足條件，右圖為正方體的下底面，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，

若，因?yàn)椋?br>在直角三角形中，，所以，所以，
又正四面體的棱長(zhǎng)為，
所以此正四面體的體積為．
21. 在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，即可證明結(jié)論；
（2）由直線與平面所成的角為，可得，建立以G為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法可得答案.
【小問1詳解】
證明：取中點(diǎn)，連接，
為的中點(diǎn)，
，又，
，
四邊形為平行四邊形：
，
平面平面，
平面；
【小問2詳解】
平面平面，平面平面平面，平面，
取中點(diǎn)，連接，則平面，
，
，又，
如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，
，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，
則，取，則，
平面的一個(gè)法向量可取，
設(shè)平面與平面所成的夾角為，
,平面與平面所成的夾角的余弦為
22. 如圖，在八面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，二面角與二面角的大小都是，，．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)為的重心，是否在棱上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求到平面的距離，若不存在，說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）依題意可得平面，再由面面平行及，可得平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明，即可得到平面，再證明平面，即可得證；
（2）設(shè)點(diǎn)，其中，利用空間向量法得到方程，求出的值，即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)闉檎叫?，所以，又，，平面?br>所以平面，所以為二面角的平面角，即，
又平面平面，，
所以平面，即為二面角的平面角，即，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，即，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>又，平面，平面，所以平面，
因?yàn)?，平面?br>所以平面平面.
【小問2詳解】
由點(diǎn)在上，設(shè)點(diǎn)，其中，點(diǎn)，
所以，平面的法向量可以為，
設(shè)與平面所成角為，
則，
即，化簡(jiǎn)得，
解得或（舍去），
所以存在點(diǎn)滿足條件，且點(diǎn)到平面的距離為.