注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫（涂）在答題卡的指定位置上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡相應(yīng)位置上，所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，只需將答題卡交回，試卷由考生自行保管．
4．試卷滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若上的可導(dǎo)函數(shù)在處滿足，則（ ）
A. 6B. C. 3D.
2. 已知向量，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
3. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A 18B. 54C. 128D. 192
4. 直線，被圓截得最短弦長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
5. 三個(gè)數(shù)的大小順序?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
6. 給圖中五個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（ ）種不同的染色方案.
A. 48B. 60C. 72D. 84
7. 已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，離心率為為橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，，若，則橢圓方程為（ ）
A B. C. D.
8. 已知曲線與的兩條公切線的夾角的正切值，則的值為（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，錯(cuò)選得0分．
9. 已知，若隨機(jī)事件相互獨(dú)立，則（ ）
A. B. C. D.
10. 下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且，則
B. 甲、乙、丙、丁到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則
C. 五名學(xué)生去四個(gè)地方參加志愿者服務(wù)，每個(gè)地方至少有一名志愿者，則不同的方法共有240種
D. 甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有30種
11. 已知拋物線焦點(diǎn)為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作兩條斜率之和為0的直線，與的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為（均在點(diǎn)下方），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 的準(zhǔn)線方程是
B. 若圓與以為半徑的圓外切，則圓與軸相切
C. 直線的斜率為定值
D. 的面積最大值為
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在展開式中常數(shù)項(xiàng)是______.
13. 某銀行向貧困戶小李提供10萬(wàn)元以內(nèi)的免息貸款，小李準(zhǔn)備向銀行貸款萬(wàn)元全部用于農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)的加工與銷售，據(jù)測(cè)算每年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與貸款滿足關(guān)系式，要使年利潤(rùn)最大，小李應(yīng)向銀行貸款______萬(wàn)元.
14. 某盒中有12個(gè)大小相同的球，分別標(biāo)號(hào)為，從盒中任取3個(gè)球，記為取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除的余數(shù)，則隨機(jī)變量的期望為______.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16. 某企業(yè)研發(fā)一種新產(chǎn)品，要用與兩套設(shè)備同時(shí)生產(chǎn)，已知設(shè)備的生產(chǎn)效率是設(shè)備的2倍，設(shè)備生產(chǎn)的新產(chǎn)品合格率為0.9，設(shè)備生產(chǎn)新產(chǎn)品合格率為0.6，且設(shè)備與生產(chǎn)的新產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立.
（1）從該公司生產(chǎn)的新產(chǎn)品隨機(jī)抽取一件，求所抽產(chǎn)品為合格品的概率；
（2）從某批新產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，設(shè)表示合格品的件數(shù)，求的分布列和方差.
17. 如圖，已知在平行六面體中，所有的棱長(zhǎng)均為2，側(cè)面底面為的中點(diǎn)，．
（1）證明：平面底面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值.
18. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上只有1個(gè)零點(diǎn).
19. 已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與的右支及漸近線的交點(diǎn)自上而下依次為，證明：；
（3）求二元二次方程的正整數(shù)解，可先找到初始解，其中為所有解中的最小值，因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；重?fù)上述過(guò)程，因?yàn)榕c的展開式中，不含的部分相等，含的部分互為相反數(shù)，故可設(shè)，所以.若方程的正整數(shù)解為，則的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值，并說(shuō)明理由.
成都七中高2025屆高二下期6月階段性檢測(cè)
數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫（涂）在答題卡的指定位置上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡相應(yīng)位置上，所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，只需將答題卡交回，試卷由考生自行保管．
4．試卷滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若上的可導(dǎo)函數(shù)在處滿足，則（ ）
A. 6B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故選：A.
2. 已知向量，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用投影向量的定義結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得在上的投影向量的坐標(biāo).
【詳解】已知空間向量，
則在上的投影向量為
.
故選：B.
3. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. 18B. 54C. 128D. 192
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合求和定義，可得答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得．
．
故選：D.
4. 直線，被圓截得最短弦的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得直線所過(guò)定點(diǎn)，然后根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求得最短弦長(zhǎng).
【詳解】直線，
即，由，解得，
設(shè)，由于，所以在圓內(nèi)，
圓的圓心為，半徑，如圖：
當(dāng)時(shí)，最短，，
所以弦長(zhǎng)的最小值為.
故選：C
5. 三個(gè)數(shù)的大小順序?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先將化成統(tǒng)一形式，構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性進(jìn)而比較大小即可.
【詳解】由題意得，，；
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，
又，所以，即，所以.
故選：D
6. 給圖中五個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（ ）種不同的染色方案.
A. 48B. 60C. 72D. 84
【答案】C
【解析】
【分析】分為同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三種情況，分別計(jì)算，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，求和即可得出答案.
【詳解】由題意知，與任意一點(diǎn)均不同色.
只用3種顏色，即同色，且同色，此時(shí)不同染色方法的種數(shù)為；
用4種顏色，此時(shí)可能同色，而不同色或同色，而不同色.
若同色，而不同色，此時(shí)不同染色方法的種數(shù)為；
若同色，而不同色，此時(shí)不同染色方法的種數(shù)為.
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同染色方法的種數(shù)為.
故選：C
7. 已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，離心率為為橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，，若，則橢圓方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意得，，根據(jù)得，由點(diǎn)在橢圓上得，再結(jié)合消元解方程即可求得，得解.
【詳解】根據(jù)為橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，，設(shè)，則，
因?yàn)?，，所以?br>所以，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上得，
所以，又橢圓的離心率為，所以，，
所以，解得，則，所以橢圓方程為.
故選：B
8. 已知曲線與的兩條公切線的夾角的正切值，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由兩曲線互為反函數(shù)，結(jié)合反函數(shù)性質(zhì)及正切函數(shù)倍角公式，可求得兩條公切線的夾角一半的正切值，即可求得直線AD的斜率.設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)法分別就A、D兩點(diǎn)求同一條切線方程，從而建立方程，化簡(jiǎn)求值.
【詳解】與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
由題意可知，不符合題意，如圖所示，
由題意，設(shè)兩條公切線的夾角為，其正切值為，
解得或，
又為銳角，所以.
由對(duì)稱性，不妨取公切線AD直線進(jìn)行研究，則直線AD的傾斜角，.
設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，
則，，∴，即.
所以，，，即.
∴，則，即，
則，所以，即，
所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：公切線問(wèn)題，一般可在兩曲線上設(shè)出切點(diǎn)，分別求出切線，利用兩切線為同一條切線得出方程，從而進(jìn)一步求解.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，錯(cuò)選得0分．
9. 已知，若隨機(jī)事件相互獨(dú)立，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】借助條件概率公式和獨(dú)立事件概率乘法公式可得A,B, C，借助與獨(dú)立事件概率乘法公式計(jì)算可得D.
【詳解】因?yàn)?相互獨(dú)立，
所以 ,
故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?,
故B正確；
因?yàn)椋?br>故C錯(cuò)誤；
，
故D正確.，
故選：BD
10. 下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且，則
B. 甲、乙、丙、丁到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則
C. 五名學(xué)生去四個(gè)地方參加志愿者服務(wù)，每個(gè)地方至少有一名志愿者，則不同的方法共有240種
D. 甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有30種
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解判斷A，利用條件概率公式求解判斷B，利用不同元素的分組分配求解判斷C，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，借助排列、組合計(jì)算判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布且，
所以，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)槭录?個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，
所以由題意得，所以，故B正確；
對(duì)于C：先將5人分成人數(shù)為2,1,1,1的四組，再將分好的四組安排到四個(gè)地方，
則不同的安排方法有種，故C正確；
對(duì)于D，由題可知，當(dāng)丙站在左端時(shí)，有種站法，
當(dāng)丙不站在左端時(shí)，有種站法，
由分類加法計(jì)數(shù)原理得，一共有種不同的站法，故D正確，
故選：BCD
11. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作兩條斜率之和為0的直線，與的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為（均在點(diǎn)下方），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 的準(zhǔn)線方程是
B. 若圓與以為半徑的圓外切，則圓與軸相切
C. 直線的斜率為定值
D. 的面積最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線方程，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式及拋物線定義即可判斷ABC，設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，求出弦長(zhǎng)及點(diǎn)到直線的距離，求出的面積，利用導(dǎo)數(shù)求解最大值即可.
【詳解】依題意，，解得，即拋物線：，
故焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，A正確；
設(shè)，顯然，
直線的斜率，
同理直線的斜率，由，得，解得，
因此直線的斜率，C正確；
圓，令圓的半徑為，由圓與圓相外切，得，
而，于是，即圓的圓心到y(tǒng)軸的距離為圓的半徑，
則圓與直線相切，B錯(cuò)誤；
設(shè)直線為，由消去得：，，即，則，，
，
而點(diǎn)到直線的距離，
又點(diǎn)在直線的上方，所以，所以，所以，
則的面積
，令，
則，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在的展開式中常數(shù)項(xiàng)是______.
【答案】15
【解析】
【分析】首先寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令，即可求出，再代入計(jì)算可得.
【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，
令，求得.
所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：15
13. 某銀行向貧困戶小李提供10萬(wàn)元以內(nèi)的免息貸款，小李準(zhǔn)備向銀行貸款萬(wàn)元全部用于農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)的加工與銷售，據(jù)測(cè)算每年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與貸款滿足關(guān)系式，要使年利潤(rùn)最大，小李應(yīng)向銀行貸款______萬(wàn)元.
【答案】4
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求出最值.
【詳解】依題意，且，
，又，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，函數(shù)取得最大值.
故答案為：4
14. 某盒中有12個(gè)大小相同的球，分別標(biāo)號(hào)為，從盒中任取3個(gè)球，記為取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除的余數(shù)，則隨機(jī)變量的期望為______.
【答案】
【解析】
【分析】求出從12個(gè)球中任取3個(gè)球的方法數(shù)，并求出取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和能被3整除的方法數(shù)，得出的所有可能取值，再求出，，，最后利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求數(shù)學(xué)期望即可.
【詳解】從12個(gè)球中任取3個(gè)球有種不同的方法，
1到12中能被3整除的有3,6,9,12，除3余1的有1,4,7,10，除3余2的有2,5,8,11，
由題意知的所有可能取值為0，1，2，
取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和能被3整除的情況有：
①標(biāo)號(hào)被3整除的球中取3個(gè)有；
②標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為1的球取3個(gè)有；
③標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為2的球取3個(gè)有；
④標(biāo)號(hào)被3整除和除3余1和除3余2的三類球各取1個(gè)有.
則．
取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除余1的情況有：
①標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為1的球1個(gè)和標(biāo)號(hào)被3整除的球2個(gè)有；
②標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為1的球2個(gè)和標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為2的球1個(gè)有；
③標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為2的球2個(gè)和標(biāo)號(hào)被3整除的球1個(gè)有.
則.
取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除余2的情況有：
①標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為1的球2個(gè)和標(biāo)號(hào)被3整除的球1個(gè)有；
②標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為1的球1個(gè)和標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為2的球2個(gè)有；
③標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為2的球1個(gè)和標(biāo)號(hào)被3整除的球2個(gè)有，
則，
所以．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以球的抽取為背景考查排列組合、古典概型、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，解題的關(guān)鍵性是分類要不重復(fù)不遺漏，考查了學(xué)生邏輯思維能力、數(shù)據(jù)處理能力.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用與之間的關(guān)系即可求解；
（2）由（1）得，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
，有，
當(dāng)時(shí)，有，
兩式相減得，
當(dāng)時(shí)，由，得，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)也滿足，
所以
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，
所以
，
所以.
16. 某企業(yè)研發(fā)一種新產(chǎn)品，要用與兩套設(shè)備同時(shí)生產(chǎn)，已知設(shè)備的生產(chǎn)效率是設(shè)備的2倍，設(shè)備生產(chǎn)的新產(chǎn)品合格率為0.9，設(shè)備生產(chǎn)新產(chǎn)品合格率為0.6，且設(shè)備與生產(chǎn)的新產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立.
（1）從該公司生產(chǎn)的新產(chǎn)品隨機(jī)抽取一件，求所抽產(chǎn)品為合格品的概率；
（2）從某批新產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，設(shè)表示合格品的件數(shù)，求的分布列和方差.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式可求出結(jié)果；
（2）由題意，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式及方差公式計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)事件表示“隨機(jī)抽取一件新產(chǎn)品，來(lái)自設(shè)備生產(chǎn)”，
事件表示“隨機(jī)抽取一件新產(chǎn)品，來(lái)自設(shè)備生產(chǎn)”，
事件表示“隨機(jī)抽取一件新產(chǎn)品為合格品”，
因?yàn)樵O(shè)備的生產(chǎn)效率是設(shè)備的2倍，所以，，
，，
所以，
所以所抽產(chǎn)品為合格品的概率為.
小問(wèn)2詳解】
表示抽取合格品的件數(shù)，的可能取值為、、、、，則由題意，
則，
，
，
，
，
所以的分布列為：
所以.
17. 如圖，已知在平行六面體中，所有的棱長(zhǎng)均為2，側(cè)面底面為的中點(diǎn)，．
（1）證明：平面底面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，根據(jù)菱形性質(zhì)得，再利用面面垂直的性質(zhì)定理得底面，最后利用面面垂直的判定定理證明；
（2）取中點(diǎn)為O，連接，利用等邊三角形的性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)得兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，由求解.
【小問(wèn)1詳解】
連接，在菱形中，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，
所以，所以，又因?yàn)閭?cè)面底面，
側(cè)面底面，側(cè)面，所以底面，
又平面，所以平面底面；
【小問(wèn)2詳解】
連接，取中點(diǎn)為O，連接，因?yàn)椋?br>故三角形為等邊三角形，則，因?yàn)閭?cè)面底面，
側(cè)面底面，側(cè)面，所以底面，
又底面，所以，，
在三角形中，因?yàn)椋嗜切螢榈冗吶切危?br>則，所以兩兩垂直，
則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，所在直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
又，故，
，因?yàn)?，所以，，因?yàn)榈酌妫?br>所以取平面的法向量為；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得取，則；
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
故平面與平面所成角的余弦值為
18. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上只有1個(gè)零點(diǎn).
【答案】（1）時(shí)，在上遞增；時(shí)，在上遞減，在上遞增；
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，并討論、時(shí)的符號(hào)研究單調(diào)性；
（2）令，設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)，分，和討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理以及函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，證明結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由，可得時(shí)，由，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
故時(shí)，上遞增；時(shí)，在上遞減，在上遞增；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，令，
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以?br>則方程有兩個(gè)不同點(diǎn)根，
由得，
當(dāng)時(shí)，，，所以時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，
，所以時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，
所以時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；
綜上，函數(shù)在只有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)在上只有1個(gè)零點(diǎn).
19. 已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與的右支及漸近線的交點(diǎn)自上而下依次為，證明：；
（3）求二元二次方程的正整數(shù)解，可先找到初始解，其中為所有解中的最小值，因?yàn)?，所以；因?yàn)椋?；重?fù)上述過(guò)程，因?yàn)榕c的展開式中，不含的部分相等，含的部分互為相反數(shù)，故可設(shè)，所以.若方程的正整數(shù)解為，則的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值，并說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)雙曲線關(guān)系和漸近線、實(shí)軸相關(guān)概念進(jìn)行列式計(jì)算即可求解.
（2）分別聯(lián)立直線與及其漸近線方程求出、、、的坐標(biāo)或坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而得出線段的中點(diǎn)重合，即可得證.
（3）結(jié)合題目所給的循環(huán)構(gòu)造的方法得，用向量面積公式表示出面積，再換元，化簡(jiǎn)即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問(wèn)2詳解】
由題意直線的斜率不為0，設(shè)直線，
因?yàn)橹本€與的右支交于兩點(diǎn)，所以，
聯(lián)立得，
所以，且，即，
聯(lián)立得，所以，
所以，即線段的中點(diǎn)重合，所以.
【小問(wèn)3詳解】
由題意得方程的初始解為，則根據(jù)循環(huán)構(gòu)造原理得
，
從而，
記，則，設(shè)，的夾角為，
則的面積
，
令，，
則
，于是的面積為定值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義問(wèn)題解題策略：首先，明確新定義的特點(diǎn)；其次，根據(jù)定義中的步驟對(duì)具體題目進(jìn)行運(yùn)算；最后得到結(jié)論.
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