TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1945" 考向一 天體質(zhì)量和密度的求解 PAGEREF _Tc1945 \h 1
\l "_Tc4034" 考向二 衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析 PAGEREF _Tc4034 \h 3
\l "_Tc22572" 考向三 衛(wèi)星變軌與對(duì)接問(wèn)題 PAGEREF _Tc22572 \h 7
\l "_Tc5676" 考向四 雙星與多星系統(tǒng)模型 PAGEREF _Tc5676 \h 10
考向一 天體質(zhì)量和密度的求解
1.求解天體質(zhì)量和密度的兩條基本思路
(1)由于Geq \f(Mm,R2)＝mg，故天體質(zhì)量M＝eq \f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
(2)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得出中心天體質(zhì)量M＝eq \f(4π2r3,GT2)，平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).若衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq \f(3π,GT2).可見(jiàn)，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度．
2．估算天體質(zhì)量和密度時(shí)的三個(gè)易誤區(qū)
(1)不考慮自轉(zhuǎn)時(shí)有Geq \f(Mm,R2)＝mg；若考慮自轉(zhuǎn)，只在兩極上有Geq \f(Mm,R2)＝mg，而赤道上有Geq \f(Mm,R2)－mg＝meq \f(4π2,T\\al(2,自))R.
(2)利用Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r只能計(jì)算中心天體的質(zhì)量，不能計(jì)算繞行天體的質(zhì)量．
(3)注意區(qū)分軌道半徑r和中心天體的半徑R，計(jì)算中心天體密度時(shí)應(yīng)用ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，而不是ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πr3).
【典例1】2021年10月16日、神舟十三號(hào)載人飛船順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，假設(shè)神舟十三號(hào)載人飛船在距地面高度為h的軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．神舟十三號(hào)載人飛船的線速度大于地球第一宇宙速度
B．神舟十三號(hào)載人飛船運(yùn)行的周期為 SKIPIF 1 < 0
C．神舟十三號(hào)載人飛船軌道處的重力加速度為 SKIPIF 1 < 0
D．地球的平均密度 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【詳解】ABC．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
且在地球表面滿足 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 由題意知神舟十三號(hào)載人飛船軌道半徑為 SKIPIF 1 < 0 所以解得周期為 SKIPIF 1 < 0 線速度為 SKIPIF 1 < 0 由于神舟十三號(hào)載人飛船的軌道半徑大于地球近地衛(wèi)星的軌道半徑，所以其線速度小于地球近地衛(wèi)星線速度，即小于第一宇宙速度；向心加速度即重力加速度為 SKIPIF 1 < 0
故A錯(cuò)誤，BC正確；
D．根據(jù)密度公式得 SKIPIF 1 < 0 故D錯(cuò)誤。故選BC。
【變式】脈沖星的本質(zhì)是中子星，具有在地面實(shí)驗(yàn)室無(wú)法實(shí)現(xiàn)的極端物理性質(zhì)，是理想的天體物理實(shí)驗(yàn)室，對(duì)其進(jìn)行研究，有希望得到許多重大物理學(xué)問(wèn)題的答案，譬如：脈沖星的自轉(zhuǎn)周期極其穩(wěn)定，準(zhǔn)確的時(shí)鐘信號(hào)為引力波探測(cè)、航天器導(dǎo)航等重大科學(xué)技術(shù)應(yīng)用提供了理想工具.2017年8月我國(guó)FAST天文望遠(yuǎn)鏡首次發(fā)現(xiàn)了兩顆太空脈沖星，其中一顆星的自轉(zhuǎn)周期為T(mén)（實(shí)際測(cè)量為1.83 s），該星距離地球1.6萬(wàn)光年，假設(shè)該星球恰好能維持自轉(zhuǎn)不瓦解．地球可視為球體，其自轉(zhuǎn)周期為T(mén)0，用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)得同一物體在地球赤道上的重力為兩極處的k倍，已知引力常量為G，則下列關(guān)于該脈沖星的平均密度ρ及其與地球的平均密度ρ0之比正確的是
A. ρ＝ SKIPIF 1 < 0 B. ρ＝ SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
AB．星球恰好能維持自轉(zhuǎn)不瓦解時(shí)，萬(wàn)有引力恰好能提供其表面物體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，設(shè)該星球的質(zhì)量為M，半徑為R，表面一物體質(zhì)量為m，有 SKIPIF 1 < 0 ，又M＝ρ· SKIPIF 1 < 0 πR3，
式中ρ為該星球密度，聯(lián)立解得ρ＝ SKIPIF 1 < 0 ，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；
CD．設(shè)地球質(zhì)量為M0，半徑為R0，地球表面一物體質(zhì)量為m′，重力為P，該物體位于地球兩極時(shí)，有
P＝G SKIPIF 1 < 0 ，在赤道上，地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力和彈簧測(cè)力計(jì)對(duì)物體的拉力的合力提供該物體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，則有G SKIPIF 1 < 0 －kP＝m′R0 SKIPIF 1 < 0
聯(lián)立解得 SKIPIF 1 < 0 地球平均密度 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0
選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．
考向二 衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析
天體運(yùn)行參量比較問(wèn)題的兩種分析方法
(1)定量分析法
①列出五個(gè)連等式
Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r.
②導(dǎo)出四個(gè)表達(dá)式
a＝Geq \f(M,r2)，v＝ eq \r(\f(GM,r))，ω＝ eq \r(\f(GM,r3))，T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM)).
③結(jié)合r的大小關(guān)系，比較得出a、v、ω、T的大小關(guān)系．
(2)定性結(jié)論法
r越大，向心加速度、線速度、角速度均越小，而周期越大.
【典例2】截至2018年01月22日，我國(guó)首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星已在軌運(yùn)行525天，飛行8 006軌，共開(kāi)展隱形傳態(tài)實(shí)驗(yàn)224次，糾纏分發(fā)實(shí)驗(yàn)422次，密鑰分發(fā)實(shí)驗(yàn)351次，星地相干通信實(shí)驗(yàn)43次．假設(shè)量子衛(wèi)星軌道在赤道平面，如圖所示．已知量子衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的m倍，同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，圖中P點(diǎn)是地球赤道上一點(diǎn)，由此可知( )
A．同步衛(wèi)星與量子衛(wèi)星的運(yùn)行周期之比為eq \f(n3,m3) B．同步衛(wèi)星與P點(diǎn)的線速度之比為eq \r(\f(1,n))
C．量子衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的線速度之比為eq \f(n,m) D．量子衛(wèi)星與P點(diǎn)的線速度之比為eq \r(\f(n3,m))
【答案】D
【解析】根據(jù)Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM))，由題意知r量＝mR，r同＝nR，所以eq \f(T同,T量)＝eq \r(\f(r\\al(3,同),r\\al(3,量)))＝eq \r(\f(?nR?3,?mR?3))＝ eq \r(\f(n3,m3))，故A錯(cuò)誤；P為地球赤道上一點(diǎn)，P點(diǎn)角速度等于同步衛(wèi)星的角速度，根據(jù)v＝ωr，有eq \f(v同,vP)＝eq \f(r同,rP)＝eq \f(nR,R)＝eq \f(n,1)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝ eq \r(\f(GM,r))，所以eq \f(v量,v同)＝ eq \r(\f(r同,r量))＝ eq \r(\f(nR,mR))＝eq \r(\f(n,m))，故C錯(cuò)誤；綜合B、C分析，有v同＝nvP，eq \f(v量,nvP)＝eq \r(\f(n,m))，得eq \f(v量,vP)＝eq \r(\f(n3,m))，故D正確．
[變式1]如圖，A代表一個(gè)靜止在地球赤道上的物體、B代表一顆繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的近地衛(wèi)星，C代表一顆地球同步軌道衛(wèi)星．比較A、B、C繞地心的運(yùn)動(dòng)，說(shuō)法正確的是( )
A．運(yùn)行速度最大的一定是B B．運(yùn)行周期最長(zhǎng)的一定是B
C．向心加速度最小的一定是C D．受到萬(wàn)有引力最小的一定是A
【答案】 A
【解析】 因A、C的角速度相同，則由v＝ωr可知，vC>vA；
對(duì)B、C衛(wèi)星，由v＝eq \r(\f(GM,r))可知，vB>vC，可知vB>vC>vA，選項(xiàng)A正確．A、C周期相同，而對(duì)B、C衛(wèi)星，根據(jù)T＝2πeq \r(\f(r3,GM))可知，C的周期大于B，則運(yùn)行周期最長(zhǎng)的是A、C，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．因A、C的角速度相同，則由a＝ω2r可知，aC>aA；對(duì)B、C衛(wèi)星，由a＝eq \f(GM,r2)可知，aB>aC，可知aB>aC>aA，向心加速度最小的一定是A，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；三個(gè)物體的質(zhì)量關(guān)系不確定，不能比較受到萬(wàn)有引力的關(guān)系，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
[變式2]2020年 6月23日，我國(guó)北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)最后一顆組網(wǎng)衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火升空，該衛(wèi)星A最終將在地球同步軌道運(yùn)行.另一顆相同質(zhì)量的衛(wèi)星B也繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，A的軌道半徑是B的3倍.下列說(shuō)法正確的有
A．由 SKIPIF 1 < 0 可知，A的速度是B的 SKIPIF 1 < 0 倍 B．由 SKIPIF 1 < 0 可知，A的向心加速度是B的3倍
C．由 SKIPIF 1 < 0 可知，A的向心力是B的 SKIPIF 1 < 0 D．由 SKIPIF 1 < 0 可知，A的周期是B的 SKIPIF 1 < 0 倍
【答案】C
【解析】A．衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，則 SKIPIF 1 < 0
因?yàn)樵诓煌壍郎蟝是不一樣的，故不能根據(jù) SKIPIF 1 < 0 得出A、B速度的關(guān)系，衛(wèi)星的運(yùn)行線速度 SKIPIF 1 < 0 ，代入數(shù)據(jù)可得 SKIPIF 1 < 0 ，故A錯(cuò)誤；B．因?yàn)樵诓煌壍郎蟽尚l(wèi)星的角速度不一樣，故不能根據(jù) SKIPIF 1 < 0 得出兩衛(wèi)星加速度的關(guān)系，衛(wèi)星的運(yùn)行加速度 SKIPIF 1 < 0 ，代入數(shù)據(jù)可得 SKIPIF 1 < 0 ，故B錯(cuò)誤；C．根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故C正確；D．兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯(cuò)誤。
[變式3](多選)三顆人造地球衛(wèi)星A、B、C繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，已知mA＝mBvB＝vC B．運(yùn)行周期關(guān)系為T(mén)AE1
B．衛(wèi)星在三個(gè)軌道上的周期T3>T2>T1
C．衛(wèi)星在軌道1上的Q點(diǎn)線速度大于軌道3的線速度
D．衛(wèi)星由軌道1變軌至軌道2，必須在P點(diǎn)朝速度同方向噴氣
【答案】C
【詳解】A．由軌道1變至軌道2，離心運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星在P點(diǎn)向后噴氣，機(jī)械能增大，而在軌道2、3上，高度相同，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 可知，速度大小相同，動(dòng)能相同，則機(jī)械能相同，故 SKIPIF 1 < 0
故A錯(cuò)誤；
B．根據(jù)開(kāi)普勒第三定律 SKIPIF 1 < 0 可知，衛(wèi)星在三個(gè)軌道上的周期 SKIPIF 1 < 0 故B錯(cuò)誤；
C．若經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)做圓軌道，則在軌道1上Q點(diǎn)的線速度大于對(duì)應(yīng)圓軌道的線速度，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 可知Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)圓軌道的線速度大于圓軌道2的線速度，圓軌道2的線速度等于圓軌道3的線速度，故軌道1在Q點(diǎn)的線速度大于軌道3的線速度，故C正確。
D．由軌道1變至軌道2，離心運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星在P點(diǎn)向運(yùn)動(dòng)的反方向噴氣，故D錯(cuò)誤；故選C。
12．2021年7月我國(guó)成功將全球首顆民用晨昏軌道氣象衛(wèi)星——“風(fēng)云三號(hào)05星”送入預(yù)定圓軌道，軌道周期約為1.7h，被命名為“黎明星”，使我國(guó)成為國(guó)際上唯一同時(shí)擁有晨昏、上午、下午三條軌道氣象衛(wèi)星組網(wǎng)觀測(cè)能力的國(guó)家，如圖所示。某時(shí)刻“黎明星”正好經(jīng)過(guò)赤道上P城市正上方，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．“黎明星”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大于7.9km/s
B．同步衛(wèi)星的軌道半徑約為“黎明星”的10倍
C．該時(shí)刻后“黎明星”經(jīng)過(guò)408h能經(jīng)過(guò)P城市正上方
D．“黎明星”的向心加速度小于赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度
【答案】C
【詳解】A．7.9km/s為地球衛(wèi)星最大的環(huán)繞速度，所以“黎明星”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度小于7.9km/s，故A錯(cuò)誤；
B．依題意可知“黎明星”的運(yùn)行周期約為T(mén)1=1.7h，同步衛(wèi)星的周期為T(mén)2=24h，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可得 SKIPIF 1 < 0 解得同步衛(wèi)星的軌道半徑約為“黎明星”的6倍。故B錯(cuò)誤；
C．該時(shí)刻后“黎明星”經(jīng)過(guò)1.7h恰好運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期，回到“原地”。則該時(shí)刻后“黎明星”經(jīng)過(guò)408h運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 回到“原地”。由于地球自轉(zhuǎn)，此時(shí)P城市轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 SKIPIF 1 < 0
恰好回到“原地”，故C正確；
D．對(duì)于同步衛(wèi)星與“黎明星”，萬(wàn)有引力提供向心力，則有 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 因同步衛(wèi)星的軌道半徑大于“黎明星”的軌道半徑，故同步衛(wèi)星的向心加速度小于“黎明星”的向心加速度；對(duì)同步衛(wèi)星與在地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體，兩者有相同的角速度，則有 SKIPIF 1 < 0 因同步衛(wèi)星的軌道半徑更大，故同步衛(wèi)星的向心加速度大于在地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的向心加速度，所以“黎明星”的向心加速度大于在地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的向心加速度，故D錯(cuò)誤。故選C。

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