§12.6　概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題 有關(guān)概率、統(tǒng)計與其他知識相交匯的考題，能體現(xiàn)“返璞歸真，支持課改；突破定勢，考查真功”的命題理念，是每年高考的必考內(nèi)容．近幾年將概率、統(tǒng)計問題與數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合，成為創(chuàng)新問題． 題型一　概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題例1 “每天鍛煉一小時，健康工作五十年，幸福生活一輩子”．某公司組織全員每天進行體育鍛煉，訂制了主題為“百年風(fēng)云”的系列紀(jì)念幣獎勵員工，該系列紀(jì)念幣有A1，A2，A3，A4四種．每個員工每天自主選擇“球類”和“田徑”中的一項進行鍛煉．鍛煉結(jié)束后員工將隨機等可能地獲得一枚紀(jì)念幣．(1)某員工活動前兩天獲得A1，A4，則前四天恰好能集齊“百年風(fēng)云”系列紀(jì)念幣的概率是多少？(2)通過抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，活動首日有的員工選擇“球類”，其余的員工選擇“田徑”；在前一天選擇“球類“的員工中，次日會有的員工繼續(xù)選擇“球類”，其余的選擇“田徑”；在前一天選擇“田徑”的員工中，次日會有的員工繼續(xù)選擇“田徑”，其余的選擇“球類”．用頻率估計概率，記某員工第n天選擇“球類”的概率為Pn.①計算P1，P2，并求Pn；②該公司共有員工1 400人，經(jīng)過足夠多天后，試估計該公司接下來每天各有多少員工參加“球類”和“田徑”運動？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 高考有時將概率、統(tǒng)計等問題與數(shù)列交匯在一起進行考查，此類問題常常以概率、統(tǒng)計為命題情景，同時考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及其前n項和，解題時要準(zhǔn)確把握題中所涉及的事件，明確其所屬的事件類型．跟蹤訓(xùn)練1 (2022·太原模擬)足球運動是深受人們喜愛的一項體育運動，其中守門員撲點球和傳球是足球訓(xùn)練中的兩個重要訓(xùn)練項目．(1)假設(shè)發(fā)點球時，球員等可能地選擇左、中、右三個方向射門，守門員等可能地選擇左、中、右三個方向撲點球，且守門員方向判斷正確時，有的可能將球撲出球門外．在一次點球戰(zhàn)中，求守門員在前三次點球中，把球撲出球門外的個數(shù)X的分布列和均值；(2)某次傳球訓(xùn)練中，教練員讓甲、乙、丙、丁4名球員進行傳接球訓(xùn)練，從甲開始傳球，甲等可能地傳給另外3人中的1人，接球者再等可能地傳給另外3人中的1人，如此一直進行．假設(shè)每個球都能被接住，記第n次傳球后球又回到甲腳下的概率為Pn.求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求Pn.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二　概率、統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù)的綜合問題例2 (2023·岳陽模擬)中國國家統(tǒng)計局2021年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2021年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)為49.8%，反映出中國制造業(yè)擴張步伐有所加快．以新能源汽車、機器人、增材制造、醫(yī)療設(shè)備、高鐵、電力裝備、船舶、無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進，進一步體現(xiàn)了中國制造業(yè)當(dāng)前的跨越式發(fā)展．已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，并把質(zhì)量差在(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在(μ＋σ，μ＋2σ)內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1 000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示：(1)取樣本數(shù)據(jù)的方差s2的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，記質(zhì)量差X～N(μ，σ2)，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；(2)假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和n(n≥2，n∈N*)件一等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同，則該箱產(chǎn)品記為A，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含n的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率p；②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為f(p)，求當(dāng)n為何值時，f(p)取得最大值，并求出最大值．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率．決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，這往往借助于函數(shù)、不等式或數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)去實現(xiàn)．跟蹤訓(xùn)練2 (2023·江門模擬)學(xué)習(xí)強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰(zhàn)”，另一項為“四人賽”．活動規(guī)則如下：一天內(nèi)參加“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內(nèi)參加“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動時，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動(每天兩局)時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，.李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動和“四人賽”活動(每天兩局)，各局比賽互不影響．(1)求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動的總得分X的分布列和均值；(2)設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(每天兩局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為f(p)．求當(dāng)p為何值時，f(p)取得最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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