知識(shí)梳理
1．二項(xiàng)式定理
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
(1)對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．
(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等，且同時(shí)取得最大值．
(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
常用結(jié)論
1．Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
2．Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m－1,n)＋Ceq \\al(m,n).
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)Ceq \\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展開(kāi)式中的第k項(xiàng)．( × )
(2)(a＋b)n的展開(kāi)式中每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無(wú)關(guān)．( √ )
(3)通項(xiàng)公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk中的a和b不能互換．( √ )
(4)二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是相同的．( × )
教材改編題
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\r(x)))10的展開(kāi)式中x2的系數(shù)等于( )
A．45 B．20 C．－30 D．－90
答案 A
解析 因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝，令－10＋eq \f(3,2)k＝2，得k＝8，所以展開(kāi)式中x2的系數(shù)為(－1)8×Ceq \\al(8,10)＝45.
2．已知Ceq \\al(0,n)＋2Ceq \\al(1,n)＋22Ceq \\al(2,n)＋23Ceq \\al(3,n)＋…＋2nCeq \\al(n,n)＝243，則Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(3,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)等于( )
A．31 B．32 C．15 D．16
答案 A
解析 逆用二項(xiàng)式定理得Ceq \\al(0,n)＋2Ceq \\al(1,n)＋22Ceq \\al(2,n)＋23Ceq \\al(3,n)＋…＋2nCeq \\al(n,n)＝(1＋2)n＝243，
即3n＝35，所以n＝5，
所以Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(3,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝25－1＝31.
3．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______．
答案 20
解析 因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為2n＝64，所以n＝6，則Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·x6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))k＝Ceq \\al(k,6)x6－2k，當(dāng)6－2k＝0，即k＝3時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，T4＝Ceq \\al(3,6)＝20.
題型一 通項(xiàng)公式的應(yīng)用
命題點(diǎn)1 形如(a＋b)n(n∈N*)的展開(kāi)式的特定項(xiàng)
例1 (1)二項(xiàng)式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－x2))10的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是( )
A．－45 B．－10 C．45 D．65
答案 C
解析 由二項(xiàng)式定理得Tk＋1＝Ceq \\al(k,10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))10－k(－x2)k＝，令eq \f(5k,2)－5＝0得k＝2，所以常數(shù)項(xiàng)為(－1)2Ceq \\al(2,10)＝45.
(2)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,\r(x))))5的展開(kāi)式中x5的系數(shù)為A，x2的系數(shù)為B，若A＋B＝11，則a＝__________.
答案 ±1
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,\r(x))))5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq \\al(k,5)x5－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,\r(x))))k＝(－a)kCeq \\al(k,5).由5－eq \f(3,2)k＝5，得k＝0，由5－eq \f(3,2)k＝2，得k＝2，所以A＝Ceq \\al(0,5)×(－a)0＝1，B＝Ceq \\al(2,5)×(－a)2＝10a2，則由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命題點(diǎn)2 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展開(kāi)式問(wèn)題
例2 (1)(1＋x)8(1＋y)4的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)是( )
A．56 B．84 C．112 D．168
答案 D
解析 在(1＋x)8的展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)為Ceq \\al(2,8)x2＝28x2，(1＋y)4的展開(kāi)式中含y2的項(xiàng)為Ceq \\al(2,4)y2＝6y2，所以x2y2的系數(shù)為28×6＝168.
(2)在(2x＋a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)))6的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為－120，則該二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為( )
A．3 204 B．－160 C．160 D．－320
答案 D
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)))6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq \\al(k,6)·x6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)))k＝Ceq \\al(k,6)·2k·x6－2k，
2xTk＋1＝Ceq \\al(k,6)·2k＋1·x7－2k，由k∈N，得7－2k≠2，故不成立，
aTk＋1＝aCeq \\al(k,6)·2k·x6－2k，令6－2k＝2，解得k＝2，
則aCeq \\al(2,6)·22＝60a＝－120，解得a＝－2，
∵7－2k≠0，在－2Tk＋1 中，令6－2k＝0，解得k＝3，
∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為－2Ceq \\al(3,6)·23＝－320.
思維升華 (1)求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)即可．
(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類(lèi)方法，以免重復(fù)或遺漏．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開(kāi)式中x2y6的系數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)．
答案 －28
解析 (x＋y)8展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq \\al(k,8)x8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝Ceq \\al(6,8)x2y6；令k＝5，得T5＋1＝Ceq \\al(5,8)x3y5，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開(kāi)式中x2y6的系數(shù)為Ceq \\al(6,8)－Ceq \\al(5,8)＝－28.
(2)在二項(xiàng)式(eq \r(2)＋x)9的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．
答案 16eq \r(2) 5
解析 由題意得，(eq \r(2)＋x)9的通項(xiàng)公式為T(mén)k＋1＝Ceq \\al(k,9)(eq \r(2))9－k·xk(k＝0,1,2，…，9)．當(dāng)k＝0時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為T(mén)1＝Ceq \\al(0,9)(eq \r(2))9＝16eq \r(2).若展開(kāi)式的系數(shù)為有理數(shù)，則k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5個(gè)．
題型二 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題
命題點(diǎn)1 二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和
例3 (1)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))n的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為128，則( )
A．二項(xiàng)式系數(shù)和為32
B．各項(xiàng)系數(shù)和為128
C．常數(shù)項(xiàng)為－135
D．常數(shù)項(xiàng)為135
答案 D
解析 令x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)和為2n，又二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，
則2×2n＝128，得n＝6，即二項(xiàng)式系數(shù)和為64，各項(xiàng)系數(shù)和也為64，故A，B不正確；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq \\al(k,6)·(3x)6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))k＝Ceq \\al(k,6)·(－1)k36－k·，令6－eq \f(3,2)k＝0，得k＝4，因此展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為T(mén)5＝Ceq \\al(4,6)·(－1)4·32＝135，故C不正確，D正確．
(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.
答案 300 5 120
解析 ①由已知得(1＋x)10展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq \\al(k,10)xk，所以展開(kāi)式中每一項(xiàng)的系數(shù)即為其二項(xiàng)式系數(shù)．
故a2＋a6＋a8＝Ceq \\al(2,10)＋Ceq \\al(6,10)＋Ceq \\al(8,10)＝300.
②對(duì)原式兩邊求導(dǎo)得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.
令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5 120.
命題點(diǎn)2 系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題
例4 (多選)(2023·唐山模擬)下列關(guān)于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2x))6的展開(kāi)式的說(shuō)法中正確的是( )
A．常數(shù)項(xiàng)為－160
B．第4項(xiàng)的系數(shù)最大
C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1
答案 ACD
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2x))6展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq \\al(k,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))6－k·(－2x)k＝(－2)kCeq \\al(k,6)·x2k－6.
對(duì)于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常數(shù)項(xiàng)為(－2)3Ceq \\al(3,6)＝－8×20＝－160，A正確；
對(duì)于B，由通項(xiàng)公式知，若要系數(shù)最大，k所有可能的取值為0,2,4,6，
∴T1＝x－6，T3＝4Ceq \\al(2,6)x－2＝60x－2，T5＝(－2)4Ceq \\al(4,6)x2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，
∴展開(kāi)式第5項(xiàng)的系數(shù)最大，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，展開(kāi)式共有7項(xiàng)，得第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，C正確；
對(duì)于D，令x＝1，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1－2)6＝1，D正確．
思維升華 賦值法的應(yīng)用
一般地，對(duì)于多項(xiàng)式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)，(a＋bx)n的展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq \f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq \f(1,2)[g(1)－g(－1)]．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)(多選)對(duì)于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(3,x)))6的展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是( )
A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64
B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為64
C．常數(shù)項(xiàng)為1 215
D．系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)
答案 ABC
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(3,x)))6的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為26＝64，故A正確；
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(3,x)))6中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故B正確；
展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq \\al(k,6)(x2)6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,x)))k＝(－3)kCeq \\al(k,6)x12－3k(0≤k≤6，k∈N)，
令12－3k＝0，得k＝4，所以常數(shù)項(xiàng)為(－3)4Ceq \\al(4,6)＝1 215，故C正確；
由C的分析可知第2,4,6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值，第1項(xiàng)系數(shù)為1，
第3項(xiàng)系數(shù)為(－3)2Ceq \\al(2,6)＝135，第5項(xiàng)系數(shù)為(－3)4Ceq \\al(4,6)＝1 215，
第7項(xiàng)系數(shù)為(－3)6Ceq \\al(6,6)＝729，則系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故D不正確．
(2)設(shè)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋x))10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值為_(kāi)_______．
答案 1
解析 令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(eq \r(2)＋1)10，令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(eq \r(2)－1)10，
故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝(eq \r(2)＋1)10(eq \r(2)－1)10＝1.
題型三 二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用
例5 (1)設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，則a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
答案 B
解析 因?yàn)閍∈Z，且0≤a≤13，
所以512 023＋a＝(52－1)2 023＋a
＝Ceq \\al(0,2 023)522 023－Ceq \\al(1,2 023)522 022＋Ceq \\al(2,2 023)522 021－…＋Ceq \\al(2 022,2 023)52－Ceq \\al(2 023,2 023)＋a，
因?yàn)?12 023＋a能被13整除，
所以－Ceq \\al(2 023,2 023)＋a＝－1＋a能被13整除，結(jié)合選項(xiàng)，
所以a＝1.
(2)利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是( )
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
答案 D
解析 1.056＝(1＋0.05)6＝Ceq \\al(0,6)＋Ceq \\al(1,6)×0.05＋Ceq \\al(2,6)×0.052＋Ceq \\al(3,6)×0.053＋…＋Ceq \\al(6,6)×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34.
思維升華 二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型及解法
(1)在證明整除問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題時(shí)要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開(kāi)后的每一項(xiàng)都含有除式的因式．
(2)二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是做近似計(jì)算：當(dāng)n不是很大，|x|比較小時(shí)，(1＋x)n≈1＋nx.
跟蹤訓(xùn)練3 (1)設(shè)n為奇數(shù)，那么11n＋Ceq \\al(1,n)·11n－1＋Ceq \\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)·11－1除以13的余數(shù)是( )
A．－3 B．2 C．10 D．11
答案 C
解析 11n＋Ceq \\al(1,n)·11n－1＋Ceq \\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)·11－1＝Ceq \\al(0,n)·11n＋Ceq \\al(1,n)·11n－1＋Ceq \\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)·11＋Ceq \\al(n,n)－2＝(11＋1)n－2
＝12n－2＝(13－1)n－2
＝Ceq \\al(0,n)·13n－Ceq \\al(1,n)·13n－1＋…＋(－1)n－1·Ceq \\al(n－1,n)·13＋(－1)n·Ceq \\al(n,n)－2，
因?yàn)閚為奇數(shù)，則上式＝
Ceq \\al(0,n)·13n－Ceq \\al(1,n)·13n－1＋…＋(－1)n－1·Ceq \\al(n－1,n)·13－3＝[Ceq \\al(0,n)·13n－Ceq \\al(1,n)·13n－1＋…＋(－1)n－1·Ceq \\al(n－1,n)·13－13]＋10，
所以11n＋Ceq \\al(1,n)·11n－1＋Ceq \\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)·11－1除以13的余數(shù)是10.
(2)0.996的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
答案 B
解析 0.996＝(1－0.01)6＝Ceq \\al(0,6)×1－Ceq \\al(1,6)×0.01＋Ceq \\al(2,6)×0.012－Ceq \\al(3,6)×0.013＋…＋Ceq \\al(6,6)×0.016
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016
≈0.941.
課時(shí)精練
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x)))5的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為( )
A．10 B．20 C．40 D．80
答案 C
解析 由題意可得Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)·(x2)5－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))k＝(－1)kCeq \\al(k,5)·2k·x10－3k，
令10－3k＝4，則k＝2，
所以所求系數(shù)為(－1)2Ceq \\al(2,5)·22＝40.
2．(多選)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,ax)))6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為eq \f(15,16)，則實(shí)數(shù)a的值可能為( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－2 D．－eq \f(1,2)
答案 AC
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,ax)))6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq \\al(k,6)(x2)6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ax)))k＝Ceq \\al(k,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))kx12－3k，
令12－3k＝0，得k＝4.
故Ceq \\al(4,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))4＝eq \f(15,16)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))4＝eq \f(1,16)，
解得a＝±2.
3．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2x)))6(x＋3)的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為( )
A．－eq \f(15,2) B.eq \f(15,2) C．－eq \f(5,2) D.eq \f(5,2)
答案 A
解析 原式＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2x)))6＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2x)))6，①
而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2x)))6的通項(xiàng)公式為T(mén)k＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))kCeq \\al(k,6)x6－2k.當(dāng)6－2k＝－1時(shí)，k＝eq \f(7,2)?Z，故①式中的前一項(xiàng)不會(huì)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)；當(dāng)6－2k＝0，即k＝3時(shí)，可得①式中的后一項(xiàng)即為所求，
此時(shí)原式常數(shù)項(xiàng)為3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))3×Ceq \\al(3,6)＝－eq \f(15,2).
4．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展開(kāi)式中，x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 因?yàn)閑q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)k＋1＝Ceq \\al(k,24)(eq \r(x))24－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,x))))k＝，所以當(dāng)k＝0,6,12,18,24時(shí)，x的指數(shù)是整數(shù)，故x的指數(shù)是整數(shù)的有5項(xiàng)．
5．在二項(xiàng)式(1－2x)n的展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式的中間項(xiàng)的系數(shù)為( )
A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680
答案 C
解析 根據(jù)題意，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和也為128，所以在(1－2x)n的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，即2n＝256，得n＝8，則(1－2x)8的展開(kāi)式的中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，
且T5＝Ceq \\al(4,8)(－2)4x4＝1 120x4，即展開(kāi)式的中間項(xiàng)的系數(shù)為1 120.
6．設(shè)a＝3n＋Ceq \\al(1,n)3n－1＋Ceq \\al(2,n)3n－2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)3，則當(dāng)n＝2 023時(shí)，a除以15所得余數(shù)為( )
A．3 B．4 C．7 D．8
答案 A
解析 ∵Ceq \\al(0,n)3n＋Ceq \\al(1,n)3n－1＋Ceq \\al(2,n)3n－2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)3＋Ceq \\al(n,n)30＝(3＋1)n＝4n，
∴a＝4n－1，當(dāng)n＝2 023時(shí)，a＝42 023－1＝4×161 011－1＝4×[(15＋1)1 011－1]＋3，
而(15＋1)1 011－1＝Ceq \\al(0,1 011)151 011＋Ceq \\al(1,1 011)151 010＋…＋Ceq \\al(1 010,1 011)15，故此時(shí)a除以15所得余數(shù)為3.
7．(多選)在二項(xiàng)式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))6的展開(kāi)式中，正確的說(shuō)法是( )
A．常數(shù)項(xiàng)是第3項(xiàng)
B．各項(xiàng)的系數(shù)和是eq \f(1,64)
C．第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大
D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為32
答案 BCD
解析 二項(xiàng)式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))6的展開(kāi)式通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq \\al(k,6)·(eq \r(3,x))6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2\r(3,x))))k＝.
對(duì)于A選項(xiàng)，令eq \f(6－2k,3)＝0，可得k＝3，故常數(shù)項(xiàng)是第4項(xiàng)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，各項(xiàng)的系數(shù)和是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))6＝eq \f(1,64)，B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，展開(kāi)式共7項(xiàng)，故第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為25＝32，D正確．
8．(多選)(2023·滄州模擬)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，則( )
A．展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22 023
B．展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為第1 350項(xiàng)
C．a(chǎn)1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝eq \f(32 023－1,2)
D.eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a2 023,22 023)＝－1
答案 AD
解析 易知(1－2x)2 023的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22 023，故A正確；
由二項(xiàng)式通項(xiàng)，知Tk＋1＝Ceq \\al(k,2 023)(－2x)k＝(－2)kCeq \\al(k,2 023)xk，所以第1 350項(xiàng)的系數(shù)為(－2)1 349Ceq \\al(1 349,2 023)

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