2024年數(shù)學(xué)高考大一輪復(fù)習(xí)第三章 §3.5　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（附答單獨(dú)案解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

§3.5　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用考試要求　導(dǎo)數(shù)的綜合問題是高考的熱點(diǎn)，?？疾楹?/span>(能)成立、不等式的證明、函數(shù)的零點(diǎn)等問題，解題方法靈活，難度較大，一般以壓軸題的形式出現(xiàn)．題型一　導(dǎo)數(shù)與恒(能)成立問題例1 (2023·福州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex＋(m＋1)x，(m∈R)．(1)當(dāng)m＝1時，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)若存在x∈[1,2]，使得不等式ex＋＋mln x＋m≥f(x)成立，求m的取值范圍．思維升華恒(能)成立問題的解法(1)若f(x)在區(qū)間D上有最值，則①恒成立：?x∈D，f(x)>0?f(x)min>0；?x∈D，f(x)<0?f(x)max<0；②能成立：?x∈D，f(x)>0?f(x)max>0；?x∈D，f(x)<0?f(x)min<0.(2)若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為a>f(x)(或a<f(x))，則①恒成立：a>f(x)?a>f(x)max；a<f(x)?a<f(x)min；②能成立：a>f(x)?a>f(x)min；a<f(x)?a<f(x)max.跟蹤訓(xùn)練1 已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex.(1)求f(x)在[－1,3]上的最值；(2)若不等式2f(x)＋2ax≥ax2對x∈[2，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．題型二　利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例2 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln 2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1. 思維升華利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的解題策略(1)待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，有時對復(fù)雜的式子要進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)研究最值即可得證．(2)若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目的．(3)對于函數(shù)中含有ex和ln x與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，可以考慮先對ex和ln x進(jìn)行放縮，使問題簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明．常見的放縮公式如下：①ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號．②ln x≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號．跟蹤訓(xùn)練2 (2023·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝e時，證明f(x)－＋2e≤0. 題型三　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題例3 (12分)(2022·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝ax－－(a＋1)ln x.(1)當(dāng)a＝0時，求f(x)的最大值；[切入點(diǎn)：f′(x)＝0](2)若f(x)恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．[關(guān)鍵點(diǎn)：求出f′(x)后對參數(shù)a進(jìn)行分類討論]　
思維升華函數(shù)的零點(diǎn)問題有兩種常見方法，一是分離參數(shù)法，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍或判斷零點(diǎn)個數(shù)；二是利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號確定參數(shù)的范圍或零點(diǎn)的個數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3 已知函數(shù)f(x)＝ln x－(2k＋1)x(k∈R)．(1)當(dāng)k＝－時，求證：f(x)<0； (2)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求k的取值范圍．