考試要求 1.了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.3.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程．
知識(shí)梳理
1．伸縮變換
設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：____________________________的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱(chēng)φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換．
2．極坐標(biāo)系
(1)極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念
在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線(xiàn)Ox，叫做極軸，再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．平面內(nèi)任一點(diǎn)M的位置可以由線(xiàn)段OM的長(zhǎng)度ρ和以射線(xiàn)Ox為始邊，射線(xiàn)OM為終邊的角θ來(lái)刻畫(huà)(如圖所示)．這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)稱(chēng)為點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)．ρ稱(chēng)為點(diǎn)M的________，θ稱(chēng)為點(diǎn)M的________．一般認(rèn)為ρ≥0.當(dāng)極角θ的取值范圍是[0,2π)時(shí)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，θ)(θ∈R)．
(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
設(shè)M為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ)．由圖可知下面關(guān)系式成立：
________________或____________________這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式．
3．常見(jiàn)曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，－eq \r(3))，則點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3))).( )
(2)在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程不是唯一的．( )
(3)極坐標(biāo)方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線(xiàn)是一條直線(xiàn)．( )
(4)tan θ＝1與θ＝eq \f(π,4)表示同一條曲線(xiàn)．( )
教材改編題
1．點(diǎn)M的極坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(5π,6)))，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，3\r(3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\r(3)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(3)，－3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，3\r(3)))
2．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))到直線(xiàn)ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1的距離為( )
A．2 B．1 C．3 D.eq \r(3)－1
3．將直角坐標(biāo)方程(x－3)2＋y2＝9化為極坐標(biāo)方程為_(kāi)___________．
題型一 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
例1 (1)已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,3)))，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2\r(3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2\r(3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，－2))
聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________
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(2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(－1，eq \r(3))，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,3)))
聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________
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思維升華 (1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程時(shí)，將x＝ρcs θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡(jiǎn)即可．
(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)，常先通過(guò)變形，構(gòu)造形如ρcs θ，ρsin θ，ρ2的式子，再進(jìn)行整體代換．其中方程的兩邊同乘(或同除以)ρ及方程兩邊同時(shí)平方是常用的變形方法．但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解，因此應(yīng)注意對(duì)變形過(guò)程的檢驗(yàn)．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(2)))，那么它的極坐標(biāo)可表示為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))
(2)在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．1 D．2
題型二 求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程
例2 已知圓心C的極坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))，且圓C經(jīng)過(guò)極點(diǎn)．
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；
(2)求過(guò)圓心C和圓與極軸交點(diǎn)(不是極點(diǎn))的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．
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思維升華 求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程的步驟
(1)將已知條件轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系中．
(2)根據(jù)已知條件，得到曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程．
(3)將曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．
跟蹤訓(xùn)練2 已知圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y－7＝0，直線(xiàn)l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ，θ))＝0；
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(2)設(shè)直線(xiàn)l與圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，當(dāng)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(7)時(shí)，求直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程．
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題型三 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用
例3 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcs θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程．
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思維升華 極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用的解題策略
(1)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．先將極坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)、直線(xiàn)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)、直線(xiàn)方程，然后利用直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解．
(2)求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．先將極坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線(xiàn)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線(xiàn)方程，然后再求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．
跟蹤訓(xùn)練3 已知曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－2))2＝8，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
(1)求曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程；
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(2)設(shè)射線(xiàn)l1：θ＝eq \f(π,3)，l2：θ＝eq \f(π,6).若l1，l2分別與曲線(xiàn)C相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A，B，求△ABO的面積．
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________________________________________________________________________曲線(xiàn)
圖形
極坐標(biāo)方程
圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓
圓心為(r,0)，半徑為r的圓
圓心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r，\f(π,2)))，半徑為r的圓
過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為α的直線(xiàn)
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
過(guò)點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線(xiàn)
過(guò)點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(π,2)))，與極軸平行的直線(xiàn)

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