§6.4　數(shù)列中的構(gòu)造問題 數(shù)列中的構(gòu)造問題是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，主、客觀題均可出現(xiàn)，一般通過構(gòu)造新的數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式．題型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型命題點(diǎn)1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)例1 (1)數(shù)列{an}滿足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，則a2 024等于(　　)A．22 023－1   B．42 023－1C．22 023＋1   D．42 023＋1聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且＝＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為__________．聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)例2 已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)例3 (1)已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　)A．an＝(2n＋1)·3n   B．an＝(n－1)·2nC．an＝(2n－1)·3n   D．an＝(n＋1)·2n聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，且滿足an＋1＝6an＋3n，則an＝________.聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 形式構(gòu)造方法an＋1＝pan＋q引入?yún)?shù)c，構(gòu)造新的等比數(shù)列{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入?yún)?shù)x，y，構(gòu)造新的等比數(shù)列{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn兩邊同除以qn＋1，構(gòu)造新的數(shù)列 跟蹤訓(xùn)練1 (1)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an等于(　　)A．n·2n－1   B．n·2nC．(n－1)·2n   D．(n＋1)·2n(2)(2023·黃山模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，則a2 023(S2 023＋2 023)的值為(　　)A．22 023－2   B．22 023－1C．2   D．1(3)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋n，a1＝2，則an＝________.題型二　相鄰項(xiàng)的差為特殊數(shù)列(形如an＋1＝pan＋qan－1)例4 (1)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，則a9＋a10等于(　　)A．47   B．48C．49   D．410聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1 (n≥2，n∈N*)．則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 可以化為an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩個(gè)根，若1是方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)列{an－an－1}，若1不是方程的根，則需要構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，采取消元的方法求數(shù)列{an}．跟蹤訓(xùn)練2 若x＝1是函數(shù)f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的極值點(diǎn)，數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.題型三　倒數(shù)為特殊數(shù)列例5 (1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則滿足an>的n的最大取值為(　　)A．7  B．8  C．9  D．10聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)數(shù)列{an}滿足an＋1＝(n∈N*)，a1＝1，則下列結(jié)論不正確的是(　　)A.＝＋   B.是等比數(shù)列C．(2n－1)an＝1   D．3a5a17＝a49聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 兩邊同時(shí)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為＝·＋的形式，化歸為bn＋1＝pbn＋q型，求出的表達(dá)式，再求an.跟蹤訓(xùn)練3 已知函數(shù)f(x)＝，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為____________．

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