單元檢測(cè)(四)　三角函數(shù)、解三角形一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．[2023·湖北高三期中]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知b＝12，A＝30°，使得三角形有兩解的條件是(　　)A．a＝6    B．6<a<12C．a≥12    D．a<62．已知sin α＝2sin ，則cos 2α＝(　　)A．－    B．    C．－    D．3．[2023·湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)試題]在△ABC中，“cos A<cos B”是“sin A>sin B”的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．[2023·江西省贛州市名校聯(lián)考]在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，A＝，b＋c＝2a，△ABC的面積為2，則△ABC 的周長(zhǎng)為(　　)A．6    B．8    C．6    D．65．[2023·河南高二模擬]已知α∈，若9cos 2α＋6cos α＋5＝0，則sin α＝(　　)A．±    B．－    C．    D．6．[2023·正陽(yáng)縣模擬]函數(shù)f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f＝(　　)A．1    B．    C．    D．7．[2023·河南省安陽(yáng)市高三聯(lián)考]在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若＋＝，且sin ＝sin A，則c2－b2＝(　　)A．1    B．    C．2    D．8．若函數(shù)f(x)＝sin (ω>0)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為(　　)A．(0，3]      B．C．    D．9．在△ABC中，∠A＝2∠B，AB＝，BC＝4，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，則線段AD的長(zhǎng)為(　　)A．1    B．    C．    D．10．[2023·河南省豫南九校高三聯(lián)考]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝2b＝2，且·＝－，則c＝(　　)A．2    B．2    C．    D．11.[2023·內(nèi)蒙古赤峰市二中月考]如圖，為了測(cè)量某濕地A，B兩點(diǎn)間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點(diǎn)C，D，E.從D點(diǎn)測(cè)得∠ADC＝67.5°，從C點(diǎn)測(cè)得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，從E點(diǎn)測(cè)得∠BEC＝60°.若測(cè)得DC＝2，CE＝(單位：百米)，則A，B兩點(diǎn)的距離為(　　)A．    B．2    C．3    D．212．[2023·安徽合肥市模擬]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，滿足2c cos B＋b cos A＝a cos (A＋C)，c＝2，a＝4，D為邊AC上一點(diǎn)滿足＝2，則||＝(　　)A．    B．    C．    D．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．[2023·陜西高三模擬]在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，外接圓半徑為r，若＋＝r，b＝2，a＋c＝3，則△ABC的面積S＝________．14．[2023·上海高三模擬]設(shè)函數(shù)y＝cos 2x(x≥0)和函數(shù)y＝cos 10x(x≥0)的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為x1，x2，…，xn，若tan (x3－α)＝cos x4，則sin 2α＝________．15．[2023·河南省洛陽(yáng)市六校高三試題]已知函數(shù)f(x)＝2sin (ωx＋φ)，f(－)＝0，f(－x)＝f(＋x)，且f(x)在(，)上單調(diào)，則ω的最大值為________．16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且6S＝(a＋b)2－c2，則tan C等于________．三、解答題(共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)[2023·山東省棗莊市滕州市月考]已知sin α＝4sin 2－2.(1)求的值；(2)若α∈(0，π)，β∈，tan2β＋6tanβ－1＝0，求α＋2β的值．         18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到相鄰對(duì)稱軸的距離為，且圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)M.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．          19.(本小題滿分12分)[2023·山東省菏澤市期中測(cè)試]已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，＝.(1)求A；(2)D為BC邊上一點(diǎn)，DA⊥BA，且BD＝3DC，求cos C．         20．(本小題滿分12分)在△ABC中，a＋b＝11，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：(1)a的值；(2)sin C和△ABC的面積．條件①：c＝7，cos A＝－；條件②：cos A＝，cos B＝.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．           
21.(本小題滿分12分)[2023·福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)考]在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin2B－sin2C＝sinA sin C.(1)證明：B＝2C；(2)若A是鈍角，a＝2，求△ABC面積的取值范圍．            22．(本小題滿分12分)[2023·安徽六安一中周考]如圖，某市管轄的海域內(nèi)有一圓形離岸小島，半徑為1 km，小島中心O到岸邊AM的最近距離OA為2 km.該市規(guī)劃開(kāi)發(fā)小島為旅游景區(qū)，擬在圓形小島區(qū)域邊界上某點(diǎn)B處新建一個(gè)浴場(chǎng)，在海岸上某點(diǎn)C處新建一家五星級(jí)酒店，在A處新建一個(gè)碼頭，且使得AB與AC垂直且相等，為方便游客，再建一條跨海高速通道OC連接酒店和小島，設(shè)∠AOB＝α(0<α<π).(1)設(shè)∠BAO＝β，試將sin β表示成α的函數(shù)；(2)若OC越長(zhǎng)，景區(qū)的輻射功能越強(qiáng)，問(wèn)當(dāng)α為何值時(shí)，OC最長(zhǎng)？并求出該最大值．          

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