1．方程 eq \f(x2,2sin θ＋4) ＋ eq \f(y2,sin θ－3) ＝1(θ∈R)所表示的曲線是( )
A．焦點在x軸上的橢圓
B．焦點在y軸上的橢圓
C．焦點在x軸上的雙曲線
D．焦點在y軸上的雙曲線
2．[2023·四川省高三考試]橢圓有一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng)過另一個焦點．假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過程中不會衰減，橢圓的方程為 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1，則光線從橢圓一個焦點出發(fā)，到首次回到該焦點所經(jīng)過的路程不可能為( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3．[2023·陜西省西安市高三模擬]設(shè)經(jīng)過點F(1，0)的直線與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標(biāo)為2，則 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB)) ＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．[2023·四川省德陽市高三考試]若雙曲線x2－ eq \f(y2,m) ＝1的一個焦點為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，0)) ，則m＝( )
A． eq \f(\r(2),4) B． eq \f(1,8) C．2 eq \r(2) D．8
5．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，M為拋物線C上的一點，O為原點．若△OFM為等腰三角形，則△OFM的周長為( )
A．4 B．2 eq \r(5) ＋1
C． eq \r(5) ＋2或4 D． eq \r(5) ＋1或4
6．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1的直線l交橢圓于A，B兩點，直線l在y軸上的截距為1.若|AF1|＝3|F1B|，且AF2⊥x軸，則此橢圓的長軸長為( )
A． eq \f(\r(3),3) B．3 C． eq \r(6) D．6
7．已知雙曲線C1： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的離心率為2，若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為( )
A．x2＝ eq \f(8\r(3),3) y B．x2＝ eq \f(16\r(3),3) y
C．x2＝8y D．x2＝16y
8．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且PF1·PF2＝0，若△PF1F2的面積為9，則b的值為( )
A.1 B．2 C．3 D．4
9．[2023·陜西省安康市高三聯(lián)考]已知橢圓C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0)) ，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為 eq \f(1,2) ，點P為該橢圓上一點，且滿足∠F1PF2＝ eq \f(π,3) ，若△F1PF2的內(nèi)切圓的面積為π，則該橢圓的方程為( )
A． eq \f(x2,12) ＋ eq \f(y2,9) ＝1 B． eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,12) ＝1
C． eq \f(x2,24) ＋ eq \f(y2,18) ＝1 D． eq \f(x2,32) ＋ eq \f(y2,24) ＝1
10．如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點．若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是( )
A.3 B．2 C． eq \r(3) D． eq \r(2)
11．[2023·廣西柳州市高三模擬]已知F1、F2分別為雙曲線C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0)) 的左、右焦點，O為原點，雙曲線上的點P滿足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OP)) ＝b，且 eq \f(sin ∠PF1F2,sin ∠PF2F1) ＝3，則該雙曲線C的離心率為( )
A． eq \r(2) B． eq \f(\r(6),2) C．2 D． eq \r(3)
12．已知拋物線C：y2＝4x，點D(2，0)，E(4，0)，M是拋物線C異于原點O的動點，連接ME并延長交拋物線C于點N，連接MD，ND，并分別延長交拋物線C于點P，Q，連接PQ.若直線MN，PQ的斜率存在且分別為k1，k2，則 eq \f(k2,k1) ＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．若拋物線y＝ax2(a>0)的焦點與橢圓 eq \f(x2,2) ＋y2＝1的上頂點重合，則a＝________．
14．已知直線y＝a與雙曲線C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的一條漸近線交于點P，雙曲線C的左、右頂點分別為A1，A2.若|PA2|＝ eq \f(\r(5),2) |A1A2|，則雙曲線C的離心率為________.
15．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，則點F的坐標(biāo)為____________；過點F的直線交拋物線C于A，B兩點．若|AF|＝4，則△AOB的面積為____________．
16．已知F1，F(xiàn)2為橢圓 eq \f(x2,4) ＋y2＝1的左、右焦點，P是橢圓上異于頂點的任意一點，點Q是△F1PF2內(nèi)切圓的圓心，過點F1作F1M⊥PQ于點M，O為坐標(biāo)原點，則|OM|的取值范圍為________．
三、解答題(共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)
如圖，A，B，C是橢圓M： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)上的三點，其中點A是橢圓的右頂點，BC過橢圓M的中心，且滿足AC⊥BC，BC＝2AC.
(1)求橢圓M的離心率；
(2)若y軸被△ABC的外接圓所截得的弦長為9，求橢圓M的方程．
18．(本小題滿分12分)
[全國卷Ⅱ]設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求過點A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
19.(本小題滿分12分)
[2023·浙江省高三聯(lián)考]已知點A(2，1)在雙曲線C： eq \f(x2,2) － eq \f(y2,b2) ＝1(b>0)上．
(1)求雙曲線C的漸近線方程；
(2)設(shè)直線l：y＝k(x－1)與雙曲線C交于不同的兩點E，F(xiàn)，直線AE，AF分別交直線x＝3于點M，N.當(dāng)△AMN的面積為 eq \r(2) 時，求k的值．
20．(本小題滿分12分)
[2023·四川省南充市高三模擬]已知橢圓E： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的離心率為 eq \f(\r(3),2) ，且a－b＝1.
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點P(4，0)且斜率不為0的直線l與E自右向左依次交于點A，B，點Q在線段AB上，且 eq \f(|PA|,|PB|) ＝ eq \f(|QA|,|QB|) ，求證： eq \(OP,\s\up6(→)) · eq \(OQ,\s\up6(→)) 為定值．
21.(本小題滿分12分)
[2023·廣西貴港市高三聯(lián)考]已知拋物線C：y2＝2px eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p>0)) ，過點Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3)) 作直線與C交于M，N兩點，當(dāng)該直線垂直于x軸時，△OMN的面積為2，其中O為坐標(biāo)原點．
(1)求C的方程；
(2)若C的一條弦ST經(jīng)過C的焦點，且直線ST與直線MN平行，試問是否存在常數(shù)Ω，使得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QM)) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QN)) ＝Ω|ST|恒成立？若存在，求Ω的值；若不存在，請說明理由．
22．(本小題滿分12分)
[2023·河南省洛陽市摸底考試]已知橢圓C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)過點(－1，－ eq \f(3,2) )，( eq \f(1,2) ，－ eq \f(3\r(5),4) ).
(1)求C的方程；
(2)記C的左頂點為M，上頂點為N，點A是C上在第四象限的點，AM，AN分別與y軸，x軸交于P，Q兩點，試探究四邊形MNQP的面積是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．

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