（一）離散型隨機(jī)變量分布列：
1、隨機(jī)變量：對(duì)于一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)，會(huì)有多個(gè)可能產(chǎn)生的試驗(yàn)結(jié)果，則通過(guò)確定一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果與一個(gè)確定的數(shù)相對(duì)應(yīng)，在這種對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著每次試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，將這種變化用一個(gè)變量進(jìn)行表示，稱這個(gè)變量為隨機(jī)變量
（1）事件的量化：將試驗(yàn)中的每個(gè)事件用一個(gè)數(shù)來(lái)進(jìn)行表示，從而用“數(shù)”即可表示事件。例如：在扔硬幣的試驗(yàn)中，用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，則提到1，即代表正面向上的事件。將事件量化后，便可進(jìn)行該試驗(yàn)的數(shù)字分析（計(jì)算期望與方差），同時(shí)也可以簡(jiǎn)潔的表示事件
（2）量化的事件之間通?；榛コ馐录?br>（3）隨機(jī)變量：如果將事件量化后的數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)集，則可將隨機(jī)變量理解為這個(gè)集合的代表元素。它可以取到數(shù)集中每一個(gè)數(shù)，且每取到一個(gè)數(shù)時(shí)，就代表試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果。例如：在上面扔硬幣的試驗(yàn)中，設(shè)向上的結(jié)果為，則“”代表“正面向上”，”代表“反面向上”，
（4）隨機(jī)變量的記法：隨機(jī)變量通常用等表示
（5）隨機(jī)變量的概率：記為取所代表事件發(fā)生的概率
2、離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量，離散型隨機(jī)變量的取值集合可以是有限集，也可以是無(wú)限集
3、分布列：一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取得不同值為，取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：
稱該表格為離散型隨機(jī)變量的分布列，分布列概率具有的性質(zhì)為：
（1）
（2），此性質(zhì)的作用如下：
① 對(duì)于隨機(jī)變量分布列，概率和為1，有助于檢查所求概率是否正確
② 若在隨機(jī)變量取值中有一個(gè)復(fù)雜情況，可以考慮利用概率和為1的特征，求出其他較為簡(jiǎn)單情況的概率，利用間接法求出該復(fù)雜情況的概率
（二）常見(jiàn)的分布：
1、如何分辨隨機(jī)變量分布列是否符合特殊分布：
（1）隨機(jī)變量的取值：隨機(jī)變量的取值要與特殊分布中的取值完全一致.
（2）每個(gè)特殊的分布都有一個(gè)試驗(yàn)背景，在滿足（1）的前提下可通過(guò)該試驗(yàn)的特征判斷是否符合某分布
2、常見(jiàn)的分布
（1）兩點(diǎn)分布：一項(xiàng)試驗(yàn)有兩個(gè)結(jié)果，其中事件發(fā)生的概率為，令，則的分布列為：
則稱符合兩點(diǎn)分布（也稱伯努利分布），其中稱為成功概率
（2）超幾何分布：在含有個(gè)特殊元素的個(gè)元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的個(gè)數(shù)記為，則有，其中
即：
則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布，記為
（3）二項(xiàng)分布：在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為，設(shè)在次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)為隨機(jī)變量，則有 ，即：
則稱隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布，記為
（三）數(shù)字特征——期望與方差
1、期望：已知離散性隨機(jī)變量的分布列為：
則稱的值為的期望，記為
（1）期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，換句話說(shuō)，是做了次這樣的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)隨機(jī)變量會(huì)取一個(gè)值（即結(jié)果所對(duì)應(yīng)的數(shù)），將這些數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并計(jì)算平均數(shù)，當(dāng)足夠大時(shí)，平均數(shù)無(wú)限接近一個(gè)確定的數(shù)，這個(gè)數(shù)即為該隨機(jī)變量的期望。例如：連續(xù)投籃三次，設(shè)投進(jìn)籃的次數(shù)為隨機(jī)變量，那么將這種連續(xù)三次投籃的試驗(yàn)重復(fù)做很多次（比如次），統(tǒng)計(jì)每次試驗(yàn)中的取值，則這個(gè)值的代數(shù)平均數(shù)將很接近期望
（2）期望的運(yùn)算法則：若兩個(gè)隨機(jī)變量存在線性對(duì)應(yīng)關(guān)系：，則有
① 是指隨機(jī)變量取值存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，且具備對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組代表事件的概率相同：若的分布列為：
則的分布列為：
② 這個(gè)公式體現(xiàn)出通過(guò)隨機(jī)變量的線性關(guān)系，可得期望之間的聯(lián)系。在某些直接求期望的題目中，若所求期望的隨機(jī)變量不符合特殊分布，但與一個(gè)特殊分布的隨機(jī)變量間存在這樣的關(guān)系，那么在計(jì)算期望時(shí)，便可借助這個(gè)特殊分布的隨機(jī)變量計(jì)算出期望
2、方差：已知離散性隨機(jī)變量的分布列為：
且記隨機(jī)變量的期望為，用表示的方差，則有：
（1）方差體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的分散程度，與期望的理解類似，是指做了次這樣的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)隨機(jī)變量會(huì)取一個(gè)值（即結(jié)果所對(duì)應(yīng)的數(shù)），將這些數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。方差大說(shuō)明這些數(shù)分布的比較分散，方差小說(shuō)明這些數(shù)分布的較為集中（集中在期望值周圍）
（2）在計(jì)算方差時(shí)，除了可以用定義式之外，還可以用以下等式進(jìn)行計(jì)算：設(shè)隨機(jī)變量為 ，則
（3）方差的運(yùn)算法則：若兩個(gè)隨機(jī)變量存在線性對(duì)應(yīng)關(guān)系：，則有：
3、常見(jiàn)分布的期望與方差：
（1）兩點(diǎn)分布：則
（2）二項(xiàng)分布：若，則
（3）超幾何分布：若，則
注：通常隨機(jī)變量的期望和方差是通過(guò)分布列計(jì)算得出，如果題目中跳過(guò)求分布列直接問(wèn)期望（或方差），則可先觀察該隨機(jī)變量是否符合特殊的分布，或是與符合特殊分布的另一隨機(jī)變量存在線性對(duì)應(yīng)關(guān)系。從而跳過(guò)分布列中概率的計(jì)算，直接利用公式得到期望（或方差）
二、典型例題：
例1：為加強(qiáng)大學(xué)生實(shí)踐，創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)，促進(jìn)高等教育教學(xué)改革，教育部門主辦了全國(guó)大學(xué)生智能汽車競(jìng)賽，競(jìng)賽分為預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，參加決賽的隊(duì)伍按照抽簽的方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序，通過(guò)預(yù)賽，選拔出甲，乙等五支隊(duì)伍參加決賽
（1）求決賽中甲乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位的概率
（2）若決賽中甲隊(duì)和乙隊(duì)之間間隔的隊(duì)伍數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望
（1）思路：本題可用古典概型進(jìn)行解決，設(shè)為“五支隊(duì)伍的比賽順序”，則，事件為“甲乙排在前兩位”，則，從而可計(jì)算出
解：設(shè)事件為“甲乙排在前兩位”
（2）思路：一共五支隊(duì)伍，所以甲乙之間間隔的隊(duì)伍數(shù)能取得值為，同樣適用于古典概型?？上葘⒓祝艺忌衔恢?，然后再解決“甲乙”的順序與其他三支隊(duì)伍間的順序問(wèn)題。
解：可取得值為


的分布列為：
例2：為了提高我市的教育教學(xué)水平，市教育局打算從紅塔區(qū)某學(xué)校推薦的10名教師中任選3人去參加支教活動(dòng)。這10名教師中，語(yǔ)文教師3人，數(shù)學(xué)教師4人，英語(yǔ)教師3人．
求：（1）選出的語(yǔ)文教師人數(shù)多于數(shù)學(xué)教師人數(shù)的概率；
（2）選出的3人中，語(yǔ)文教師人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（1）思路：本題可用古典概型來(lái)解，事件為“10名教師中抽取3人”，則，事件為“語(yǔ)文教師人數(shù)多于數(shù)學(xué)教師人數(shù)”，則分為“1語(yǔ)0數(shù)”，“2語(yǔ)1數(shù)”，“2語(yǔ)0數(shù)”，“3語(yǔ)”四種情況，分別求出對(duì)應(yīng)的情況的種數(shù)，加在一起即為，則即可求出。為了更好的用數(shù)學(xué)符號(hào)表示事件，可使用“字母+數(shù)字角標(biāo)”的形式分別設(shè)出“3人中有名語(yǔ)文教師”和“3人中有名數(shù)學(xué)教師”。
設(shè)事件為“3人中有名語(yǔ)文教師”，為“3人中有名數(shù)學(xué)教師”，事件為“語(yǔ)文教師人數(shù)多于數(shù)學(xué)教師人數(shù)”

（2）思路：本題可將語(yǔ)文老師視為特殊元素，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“10個(gè)元素中不放回的抽取3個(gè)元素，特殊元素個(gè)數(shù)的分布列”，即符合超幾何分布。隨機(jī)變量的取值為，按超幾何分布的概率計(jì)算公式即可求出分布列及期望
語(yǔ)文教師人數(shù)可取的值為，依題意可得：


的分布列為
例3：某市為準(zhǔn)備參加省中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，對(duì)本市甲，乙兩個(gè)田徑隊(duì)的所有跳高運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了測(cè)試，用莖葉圖表示出甲，乙兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員本次測(cè)試的成績(jī)（單位：cm，且均為整數(shù)），同時(shí)對(duì)全體運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)繪制了頻率分布直方圖，跳高成績(jī)?cè)?85cm以上（包括185cm）定義為“優(yōu)秀”，由于某些原因，莖葉圖中乙隊(duì)的部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但已知所有運(yùn)動(dòng)員中成績(jī)?cè)?90cm以上（包括190cm）的只有兩個(gè)人，且均在甲隊(duì)
（1）求甲，乙兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)及乙隊(duì)中成績(jī)?cè)?（單位：cm）內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)
（2）在甲，乙兩隊(duì)所有成績(jī)?cè)?80cm以上的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選取2人，已知至少有1人成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”，求兩人成績(jī)均“優(yōu)秀”的概率
（3）在甲，乙兩隊(duì)中所有的成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選取2人參加省中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)正式比賽，求所選取運(yùn)動(dòng)員中來(lái)自甲隊(duì)的人數(shù)的分布列及期望
（1）思路：本小問(wèn)抓好入手點(diǎn)的關(guān)鍵是明確兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖的作用，莖葉圖所給的數(shù)據(jù)為甲，乙兩隊(duì)的成績(jī)，但乙隊(duì)有殘缺，所以很難從莖葉圖上得到全體運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)。在頻率分布直方圖中，所呈現(xiàn)的是所有運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的分布（但不區(qū)分甲，乙隊(duì)），由此可明確要確定全體運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)，需要通過(guò)直方圖，要確定各隊(duì)的情況，則需要莖葉圖。要補(bǔ)齊乙隊(duì)的數(shù)據(jù)，則兩個(gè)圖要結(jié)合著看。在第（1）問(wèn)中，可以以190cm以上的人數(shù)為突破口，通過(guò)頻率直方圖可知190cm以上所占的頻率為，而190cm以上只有2人，從而得到全體人數(shù)，然后再根據(jù)頻率直方圖得到的人數(shù)，減去甲隊(duì)的人數(shù)即為
解：由頻率直方圖可知：
成績(jī)?cè)谝?90cm以上的運(yùn)動(dòng)員的頻率為
所以全體運(yùn)動(dòng)館總?cè)藬?shù)（人）
成績(jī)位于中運(yùn)動(dòng)員的頻率為，人數(shù)為
由莖葉圖可知：甲隊(duì)成績(jī)?cè)诘倪\(yùn)動(dòng)員有3名
（人）
（2）思路：通過(guò)頻率直方圖可知180cm以上運(yùn)動(dòng)員總數(shù)為：（人），結(jié)合莖葉圖可知乙在180cm以上不缺數(shù)據(jù)。題目所求的是條件概率，所以可想到公式，分別求出“至少有1人成績(jī)?yōu)椤畠?yōu)秀’”和“兩人成績(jī)均‘優(yōu)秀’”
的概率，然后再代入計(jì)算即可
解：由頻率直方圖可得：180cm以上運(yùn)動(dòng)員總數(shù)為：
由莖葉圖可得，甲乙隊(duì)180cm以上人數(shù)恰好10人，且優(yōu)秀的人數(shù)為6人
乙在這部分?jǐn)?shù)據(jù)不缺失
設(shè)事件為“至少有1人成績(jī)優(yōu)秀”，事件為“兩人成績(jī)均優(yōu)秀”


（3）思路：由（2）及莖葉圖可得：在優(yōu)秀的6名運(yùn)動(dòng)員中，甲占了4名，乙占了2名，依題意可知的取值為，且符合超幾何分布，進(jìn)而可按公式進(jìn)行概率的計(jì)算
解：由（2）可得：甲有4名優(yōu)秀隊(duì)員，乙有2名優(yōu)秀隊(duì)員
可取的值為

的分布列為：

例4：現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂(lè)活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.
（1）求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；
（2）求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；
（3）用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
（1）思路：按題意要求可知去參加甲游戲的概率為，參加乙游戲的概率為，4個(gè)人扔骰子相互獨(dú)立，所以屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停迷撃Ｐ颓蟪龈怕始纯伞?br>解：依題意可得：參加甲游戲的概率為，參加乙游戲的概率為
設(shè)事件為“有個(gè)人參加甲游戲”

（2）思路：若甲游戲人數(shù)大于乙游戲人數(shù)，即為事件，又因?yàn)榛コ?，所以根?jù)加法公式可得：，進(jìn)而可計(jì)算出概率
解：設(shè)事件為“甲游戲人數(shù)大于乙游戲人數(shù)”

（3）思路：表示兩個(gè)游戲人數(shù)的差，所以可取的值為。時(shí)對(duì)應(yīng)的情況為，時(shí)對(duì)應(yīng)的情況為，時(shí)對(duì)應(yīng)的情況為，從而可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列
解：可取的值為
例5：某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是分鐘
（1）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率
（2）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望，方差
解：（1）思路：條件中說(shuō)明各路口遇到紅燈的情況相互獨(dú)立，。在第三個(gè)路口首次遇到紅燈，即前兩次沒(méi)有遇到，第三次遇到紅燈。使用概率乘法即可計(jì)算
解：設(shè)事件為“在第個(gè)路口遇到紅燈”，則，
設(shè)事件為“第三個(gè)路口首次遇到紅燈”即

（2）思路：在上學(xué)途中遇到一次紅燈就需要停留2分鐘，一共四個(gè)路口，所以要停留的時(shí)間可取的值為，依題意可知的取值對(duì)應(yīng)的遇到紅燈次數(shù)為，且該模型屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停钥捎眯稳缍?xiàng)分布的公式計(jì)算遇到紅燈次數(shù)的概率，即為對(duì)應(yīng)取值的概率，從而列出分布列，在計(jì)算期望與方差時(shí)，如果借用分布列計(jì)算，雖然可得到答案，但過(guò)程比較復(fù)雜（尤其是方差），考慮到符合二項(xiàng)分布，其期望與方差可通過(guò)公式迅速得到，且與之間存在聯(lián)系：。所以先利用二項(xiàng)分布求出的期望與方差，再利用運(yùn)算公式得到的期望方差即可
解：可取的值為，設(shè)遇到紅燈的次數(shù)為，則對(duì)應(yīng)的值為



的分布列為：



小煉有話說(shuō)：本題的亮點(diǎn)在于求的期望方差時(shí)，并不是生硬套用公式計(jì)算，而是尋找一個(gè)有特殊分布的隨機(jī)變量，通過(guò)兩隨機(jī)變量的聯(lián)系（線性關(guān)系）和的期望方差來(lái)得到所求。
例6：甲，乙去某公司應(yīng)聘面試，該公司的面試方案為:應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題，按照答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行篩選.已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響
（1) 分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列，并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望；
（2）請(qǐng)分析比較甲、乙兩人誰(shuí)的面試通過(guò)的可能性大？
（1）思路：依題意可知對(duì)于甲而言，只要在抽題的過(guò)程中，抽中甲會(huì)答的題目，則甲一定能夠答對(duì)，所以甲完成面試題數(shù)的關(guān)鍵在于抽題，即從6道題目中抽取3道，抽到甲會(huì)的4道題的數(shù)量，可知符合超幾何分布；對(duì)于乙而言，抽的題目是無(wú)差別的，答對(duì)的概率相同，所以乙正確完成面試題數(shù)符合二項(xiàng)分布。從而利用超幾何分布與二項(xiàng)分布的概率公式即可得到分布列和方差
解：（1）設(shè)為甲正確完成面試題的數(shù)量，為乙正確完成面試題的數(shù)量，依題意可得：
，可取的值為

的分布列為：



的分布列為：
（2）思路：由（1）可知，說(shuō)明甲，乙兩個(gè)人的平均水平相同，所以考慮甲，乙發(fā)揮的穩(wěn)定性，即再計(jì)算，比較它們的大小即可
解：
甲發(fā)揮的穩(wěn)定性更強(qiáng)，則甲勝出的概率較大
小煉有話說(shuō)：（1）第（2）問(wèn)在決策時(shí)，用到了期望和方差的意義，即期望表明隨機(jī)變量取值的平均情況，而方差體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值是相對(duì)分散（不穩(wěn)定）還是集中（穩(wěn)定），了解它們的含義有助于解決此類問(wèn)題
（2）當(dāng)隨機(jī)變量符合特殊分布時(shí)，其方差也有公式以方便運(yùn)算：
① 二項(xiàng)分布：若，則
② 超幾何分布：若，則
例7：某個(gè)海邊旅游景點(diǎn)，有小型游艇出租供游客出海游玩，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：租用時(shí)間不超過(guò)2小時(shí)收費(fèi)100，超過(guò)2小時(shí)的部分按每小時(shí)100收?。ú蛔阋恍r(shí)按一小時(shí)計(jì)算）．現(xiàn)甲、乙兩人獨(dú)立來(lái)該景點(diǎn)租用小型游艇，各租一次．設(shè)甲、乙租用不超過(guò)兩小時(shí)的概率分別為，租用2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)的概率分別為，兩人租用的時(shí)間都不超過(guò)4小時(shí)．
（1）求甲、乙兩人所付費(fèi)用相同的概率；
（2）設(shè)甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
解：（1）設(shè)事件為“甲，乙租用時(shí)間均不超過(guò)2小時(shí)”
事件為“甲，乙租用時(shí)間均在2小時(shí)至3小時(shí)之間”
事件為“甲，乙租用時(shí)間均在3小時(shí)至4小時(shí)之間”

故所求事件的概率
（2）的取值可以為
則

故的分布列為：
例8：將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器上方的入口處，小球自由下落，在下落的過(guò)程中，將遇到黑色障礙物3次，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到障礙物時(shí)，向左，右兩邊下落的概率分別是
（1）分別求出小球落入袋和袋中的概率
（2）在容器入口處依次放入4個(gè)小球，記為落入袋中的小球個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望
（1）思路：本題的關(guān)鍵要抓住小球下落的特點(diǎn)，通過(guò)觀察圖形可得：小球要經(jīng)歷三層障礙物，且在經(jīng)歷每層障礙物時(shí)，只有一直向左邊或者一直向右邊下落，才有可能落到袋中，其余的情況均落入袋，所以以袋為突破口即可求出概率
解：設(shè)事件為“小球落入袋”，事件為“小球落入袋”，可知
依題意可得：

（2）思路：每個(gè)小球下落的過(guò)程是彼此獨(dú)立的，所以屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，由?）可得：在每次試驗(yàn)中，落入袋發(fā)生的概率為，所以服從二項(xiàng)分布，即，運(yùn)用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式即可得到答案
解：可取的值為，可知


的分布列為：

例9“已知正方形的邊長(zhǎng)為，分別是邊的中點(diǎn)．
（1）在正方形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，求滿足的概率；
（2）從這八個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，記這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（1）思路：首先明確本題應(yīng)該利用幾何概型求解（基本事件位等可能事件，且基本事件個(gè)數(shù)為無(wú)限多個(gè)）。為“正方形內(nèi)部的點(diǎn)”，所以，設(shè)事件為“”，則點(diǎn)位于以為圓心，為半徑的圓內(nèi)，所以為正方形與圓的公共部分面積，計(jì)算可得：，從而算出
解：設(shè)事件為“”
（2）思路：八個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，由正方形性質(zhì)可知兩點(diǎn)距離可取的值為，概率的計(jì)算可用古典概型完成。為“八個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)”，則，當(dāng)時(shí)，兩點(diǎn)為邊上相鄰兩點(diǎn)，共8組；當(dāng)時(shí)，該兩點(diǎn)與中點(diǎn)相關(guān)有4組；當(dāng)時(shí)，除了正方形四條邊，還有，所以由6組；當(dāng)時(shí)，該兩點(diǎn)為頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)，共8組；當(dāng)時(shí)，只能是正方形對(duì)角線，有2組，根據(jù)每種情況的個(gè)數(shù)即可計(jì)算出概率，完成分布列
解： 可取的值為


的分布列為：
例10：一種電腦屏幕保護(hù)畫面，只有符號(hào)和 SKIPIF 1 < 0 隨機(jī)地反復(fù)出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)和 SKIPIF 1 < 0 之一，其中出現(xiàn)的概率為，出現(xiàn) SKIPIF 1 < 0 的概率為，若第次出現(xiàn) SKIPIF 1 < 0 ，則記 SKIPIF 1 < 0 ；出現(xiàn) SKIPIF 1 < 0 ，則記 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（2）當(dāng)時(shí)，求且 SKIPIF 1 < 0 的概率．
（1）思路：依題意可知表示試驗(yàn)進(jìn)行了三次，可能的情況為3，12，21，3。且符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。根?jù)題目要求可知對(duì)應(yīng)的取值為，分別計(jì)算出概率即可列出分布列
解：的取值為


的分布列為：
（2）思路：由可知在8次試驗(yàn)中出現(xiàn)5次，3次。而可知在前四次中，出現(xiàn)的次數(shù)要大于出現(xiàn)的次數(shù)，可根據(jù)前四次出現(xiàn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，并根據(jù)安排和出現(xiàn)的順序
解：設(shè)為“前四次試驗(yàn)中出現(xiàn)個(gè)，且，

三、歷年好題精選
1、已知箱裝有編號(hào)為的五個(gè)小球（小球除編號(hào)不同之外，其他完全相同），箱裝有編號(hào)為的兩個(gè)小球（小球除編號(hào)不同之外，其他完全相同）,甲從A箱中任取一個(gè)小球，乙從B箱中任取一個(gè)小球，用分別表示甲，乙兩人取得的小球上的數(shù)字.
（1）求概率；
（2）設(shè)隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
2、春節(jié)期間，某商場(chǎng)決定從3種服裝，2種家電，3種日用品中，選出3種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)
（1）試求出選出的3種商品中至少有一種是家電的概率
（2）商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用抽獎(jiǎng)方式進(jìn)行促銷，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高100元，規(guī)定購(gòu)買該商品的顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)：若中一次獎(jiǎng)，則獲得數(shù)額為元的獎(jiǎng)金；若中兩次獎(jiǎng)，則共獲得數(shù)額為元的獎(jiǎng)金，若中3次獎(jiǎng)，則共獲得數(shù)額為元的獎(jiǎng)金，假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率都是，請(qǐng)問(wèn)：商場(chǎng)將獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為多少元，才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利
3、為了搞好某次大型會(huì)議的接待工作，組委會(huì)在某校招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者的身高編成如圖所示的莖葉圖（單位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個(gè)子”，切只有“女高個(gè)子”才擔(dān)任“禮儀小姐”
（1）求12名男志愿者的中位數(shù)
（2）如果用分層抽樣的方法從所有“高個(gè)子”，“非高個(gè)子”中共抽取5人，再?gòu)倪@5個(gè)人中選2人，那么至少有一個(gè)是“高個(gè)子”的概率是多少？
（3）若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出X的分布列并求出期望
4、如圖所示：機(jī)器人海寶按照以下程序運(yùn)行：
① 從A出發(fā)到達(dá)點(diǎn)B或C或D，到達(dá)點(diǎn)B,C,D之一就停止
② 每次只向右或向下按路線運(yùn)行
③ 在每個(gè)路口向下的概率為
④ 到達(dá)P時(shí)只向下，到達(dá)Q點(diǎn)只向右
（1）求海寶從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)M到點(diǎn)B的概率和從A經(jīng)過(guò)N到點(diǎn)C的概率
（2）記海寶到B,C,D的事件分別記為，求隨機(jī)變量的分布列及期望
5、如圖，一個(gè)小球從處投入，通過(guò)管道自上而下落至或或，已知小球從每個(gè)岔口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的，某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動(dòng)，若投入到小球落到，則分別設(shè)為一、二、三等獎(jiǎng)
（1）已知獲得一、二、三、等獎(jiǎng)的折扣率分別為，記隨機(jī)變量為獲得等獎(jiǎng)的折扣率，求隨機(jī)變量的分布列及期望
（2）若由3人參加促銷活動(dòng)，記隨機(jī)變量為獲得一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的人數(shù)，求
6、某地區(qū)一個(gè)季節(jié)下雨天的概率是0.3，氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣的準(zhǔn)確率為0.8，某場(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)天怕雨，若下雨而不作處理，每天會(huì)損失3000元，若對(duì)當(dāng)天產(chǎn)品作防雨處理，可使產(chǎn)品不受損失，費(fèi)用是每天500元
（1）若該廠任其自然不作防雨處理，寫出每天損失的概率分布，并求其平均值
（2）若該廠完全按氣象預(yù)報(bào)作防雨處理，以表示每天的損失，寫出的概率分布，計(jì)算的平均值，并說(shuō)明按氣象預(yù)報(bào)作防雨處理是否是正確的選擇
7、正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，從正四棱柱的12條棱中任取兩條，設(shè)為隨機(jī)變量，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，記；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，記
（1）求概率
（2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望
8、投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審，若能通過(guò)兩位初審專家的評(píng)審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過(guò)，則不予錄用；若恰能通過(guò)一位初審專家的評(píng)審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過(guò)復(fù)審專家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄用。設(shè)稿件能通過(guò)各初審專家評(píng)審的概率均為，復(fù)審的稿件能通過(guò)評(píng)審的概率為
（1）求投到該雜志的一篇稿件被錄用的概率
（2）記表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求的分布列及期望
9、（2016，湖南師大附中月考）師大附中高一研究性學(xué)習(xí)小組，在某一高速公路服務(wù)區(qū)，從小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后，以每間隔10輛就抽取一輛的抽樣方法抽取20名駕駛員進(jìn)行詢問(wèn)調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁伲ǎ┓殖闪危航y(tǒng)計(jì)后得到如下圖的頻率分布直方圖．
（1）此研究性學(xué)習(xí)小組在采集中，用到的是什么抽樣方法？并求這20輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；
（2）若從車速在的車輛中做任意抽取3輛，求車速在和內(nèi)都有車輛的概率；
（3）若從車速在的車輛中任意抽取3輛，求車速在的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望．
10、已知暗箱中開(kāi)始有3個(gè)紅球，2個(gè)白球（所有的球除顏色外其它均相同），現(xiàn)每次從暗箱中取出一個(gè)球后，再將此球以及與它同色的5個(gè)球（共6個(gè)球）一起放回箱中
（1）求第二次取出紅球的概率
（2）求第三次取出白球的概率
（3）設(shè)取出白球得5分，取出紅球得8分，求連續(xù)取球3次得分的分布列和數(shù)學(xué)期望
11、某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購(gòu)物滿200元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅色球，1個(gè)黃色球，1個(gè)藍(lán)色球和1個(gè)黑色球，顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，直至摸到黑色球停止摸獎(jiǎng)，規(guī)定摸到紅色球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到黃色球或藍(lán)色球獎(jiǎng)勵(lì)5元，摸到黑色球無(wú)獎(jiǎng)勵(lì)
（1）求一名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率
（2）記為一名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望
12、某技術(shù)部門對(duì)工程師進(jìn)行達(dá)標(biāo)等級(jí)考核，需要進(jìn)行兩輪測(cè)試，每輪測(cè)試的成績(jī)?cè)?.5分及以上的定為該輪測(cè)試通過(guò)，只有通過(guò)第一輪測(cè)試的人員才能進(jìn)行第二輪測(cè)試，兩輪測(cè)試的過(guò)程相互獨(dú)立，并規(guī)定：
① 兩輪測(cè)試均通過(guò)的定為一級(jí)工程師
② 僅通過(guò)第一輪測(cè)試，而第二輪測(cè)試沒(méi)通過(guò)的定為二級(jí)工程師
③ 第一輪測(cè)試沒(méi)通過(guò)的不予定級(jí)
已知甲，乙，丙三位工程師通過(guò)第一輪測(cè)試的概率分別為；通過(guò)第二輪測(cè)試的概率均為
（1）求經(jīng)過(guò)本次考核，甲被定為一級(jí)工程師，乙被定為二級(jí)工程師的概率
（2）求經(jīng)過(guò)本次考核，甲，乙，丙三位工程師中恰有兩位被定為一級(jí)工程師的概率
（3）設(shè)甲，乙，丙三位工程師中被定為一級(jí)工程師的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望
13、（2015，廣東）已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則____
14、（2015，安徽）已知2件次品和3件正品放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)果.
（1）求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率
（2）已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求的分布列和均值
15、（2015，福建）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.
（1）求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；
（2）設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
16、（2015，天津）為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.
（1）設(shè)為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”求事件發(fā)生的概率；
（2）設(shè)為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
17、（2015，山東）若是一個(gè)三位正整數(shù)，且的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如137,359,567等）.在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.
（1）寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；
（2）若甲參加活動(dòng)，求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望
18、（2014，四川）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分(即獲得－200分)．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為 ，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立．
（1）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列．
（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少？
（3）玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了．請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因．
19、（2016，唐山一中）設(shè)不等式確定的平面區(qū)域?yàn)?，確定的平面區(qū)域?yàn)?
（1）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，在區(qū)域內(nèi)任取3個(gè)整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)的概率；
（2）在區(qū)域內(nèi)任取3個(gè)點(diǎn)，記這3個(gè)點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
20、（2016，天一大聯(lián)考）某猜數(shù)字游戲規(guī)則如下：主持人給出8個(gè)數(shù)字，其中有一個(gè)是幸運(yùn)數(shù)字，甲，乙，丙三人依次來(lái)猜這個(gè)幸運(yùn)數(shù)字，有人猜中或者三人都未猜中游戲結(jié)束。甲先猜一個(gè)數(shù)，如果甲猜中，則甲獲得10元獎(jiǎng)金，如果甲沒(méi)有猜中，則主持人去掉四個(gè)非幸運(yùn)數(shù)字（包括甲猜的）；乙從剩下的四個(gè)數(shù)中猜一個(gè)，如果乙猜中，則甲，乙均獲得5元獎(jiǎng)金，如果乙沒(méi)有猜中，則主持人再去掉兩個(gè)非幸運(yùn)數(shù)字（包括乙猜的）；丙從剩下的兩個(gè)數(shù)中猜一個(gè)，如果丙猜中，則甲，乙，丙均獲得2元獎(jiǎng)金。如果丙沒(méi)有猜中，則三個(gè)人均沒(méi)有獎(jiǎng)金
（1）求甲至少獲得5元獎(jiǎng)金的概率
（2）記乙獲得的獎(jiǎng)金為元，求的分布列及數(shù)學(xué)期望
21、（2016，廣東省四校第二次聯(lián)考）為普及高中生安全逃生知識(shí)與安全防護(hù)能力，某學(xué)校高一年級(jí)舉辦了高中生安全知識(shí)與安全逃生能力競(jìng)賽．該競(jìng)賽分為預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，預(yù)賽為筆試，決賽為技能比賽．先將所有參賽選手參加筆試的成績(jī)（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制成如下頻率分布表．
（1）求出上表中的的值；
（2）按規(guī)定，預(yù)賽成績(jī)不低于90分的選手參加決賽，參加決賽的選手按照抽簽方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序．已知高一二班有甲、乙兩名同學(xué)取得決賽資格．
① 求決賽出場(chǎng)的順序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
② 記高一?二班在決賽中進(jìn)入前三名的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
22、（2016，唐山一模）某商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種，
方案一：每滿200元減50元：
方案二：每滿200元可抽獎(jiǎng)一次．具體規(guī)則是依次從裝有3個(gè)紅球、1個(gè)白球的甲箱，裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的乙箱，以及裝有1個(gè)紅球、3個(gè)白球的丙箱中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）
（1）若兩個(gè)顧客都選擇方案二，各抽獎(jiǎng)一次，求至少一個(gè)人獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率；
（2）若某顧客購(gòu)物金額為320元，用所學(xué)概率知識(shí)比較哪一種方案更劃算？
習(xí)題答案：
1、解析：（1）設(shè)事件為“取出號(hào)球”，設(shè)事件為“取出號(hào)球”，則
（2）的取值為

的分布列為：
2、解析：(1)設(shè)選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A，從3種服裝、2種家電、3種日用品中，選出3種商品，一共有種不同的選法，選出的3種商品中，沒(méi)有家電的選法有種．
所以，選出的3種商品中至少有一種是家電的概率為
（2）設(shè)顧客三次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金總額為隨機(jī)變量，其所有可能的取值為


3、解析：（1）由莖葉圖可得：男志愿者身高數(shù)據(jù)為：

所以中位數(shù)為：
（2）由莖葉圖可得：“高個(gè)子”12人，“非高個(gè)子”18人
所以這5個(gè)人中，有2個(gè)高個(gè)子，3個(gè)“非高個(gè)子”
設(shè)事件為：“至少有一個(gè)是‘高個(gè)子’”

（3）由莖葉圖可得高個(gè)子中能擔(dān)任禮儀小姐的有4人
則可取的值為


的分布列為：

4、解析：（1）依題意可得每個(gè)路口向下的概率為，向右的概率為
設(shè)事件為“點(diǎn)A經(jīng)過(guò)M到點(diǎn)B”

設(shè)事件為“從A經(jīng)過(guò)N到點(diǎn)C”
（2）
的分布列為：

5、解析：（1）可取的值為

的分布列為：

（2）由（1）可知：獲得一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的概率為，且

6、解析：（1）可取的值為，依題意可得：


（2）可取的值為

的分布列為：

，所以按天氣預(yù)報(bào)作防雨處理是正確的選擇
7、解：（1）
（2）可取的值為



的分布列為：
8、解：（1）設(shè)事件為“一篇稿件被錄用”
（2）可取的值為，可知


的分布列為：

9、解析：（1）此研究性學(xué)習(xí)小組在采樣中，用到的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣．這40輛小型汽車車速眾數(shù)的估計(jì)值為87.5，中位數(shù)的估計(jì)值為87.5
（2）車速在的車輛有輛，其中速度在和內(nèi)的車輛分別有4輛和6輛
設(shè)事件為“內(nèi)有輛車”，事件為“內(nèi)有輛車”，事件為“車速在和內(nèi)都有車輛”
（3）車速在的車輛共有7輛，車速在和的車輛分別有5輛和2輛，若從車速在的車輛中任意抽取3輛，設(shè)車速在的車輛數(shù)為，則的可能取值為1、2、3．
，．
故分布列為
∴車速在的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．
10、解析：（1）設(shè)事件為“第二次取出紅球”
可得
（2）設(shè)事件為“第三次取出白球”，則包含白白白，白紅白，紅白白，紅紅白

（3）可取的值為
的分布列為：
11、解：（1）設(shè)事件為“一名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)”
則
（2）的取值為


的分布列為：
12、解：（1）設(shè)事件為“甲被定為一級(jí)工程師，乙被定為二級(jí)工程師”
所以
（2）設(shè)甲，乙，丙被定為一級(jí)工程師的事件分別為，事件表示所求事件


（3）可取的值為

的分布列為：
13、答案：
解析：因?yàn)?，所以，從而，可?
14、解析：（1）設(shè)事件為“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”

（2）的可能取值為

的分布列為：

15、解析：（1）設(shè)事件為“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”

（2）依題意得，所有可能的取值是1，2，3

的分布列為：

16、解析：（1）
（2）所有可能的取值是1，2，3，4，可知符合超幾何分布
所以隨機(jī)變量的分布列為
所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
17、解：（1）
（2）所有可能的取值是
的分布列為：
18、解析：（1）所有可能的取值是


的分布列為：
（2）設(shè)“第盤沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)”為事件
所以
設(shè)事件為“玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)”

（3）由（1）知，
這表明，獲得的分?jǐn)?shù)的均值為負(fù)值
所以多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大
19、解析：（1）依題意可得中整點(diǎn)為：共13個(gè)，中整點(diǎn)為，設(shè)事件為“整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)”
（2）平面區(qū)域的面積為，平面區(qū)域的面積為
可取的值為
可知


的分布列為：
20、解析：（1）設(shè)事件為“甲至少獲得5元獎(jiǎng)金”
（2）依題意可知可取的值為

的分布列為：
21、解析：（1）由題意知，由上的數(shù)據(jù)，所以
，同理可得：
（2）① 由（1）可得，參加決賽的選手共人
設(shè)事件為“甲不在第一位、乙不在第六位”
② 隨機(jī)變量的可能取值為

所以的分布列為：
22、解析：（1）設(shè)事件為“顧客獲得半價(jià)”，則
所以兩位顧客至少一人獲得半價(jià)的概率為：
（2）若選擇方案一，則付款金額為
若選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為

所以方案二更為劃算

分?jǐn)?shù)（分?jǐn)?shù)段）
頻數(shù)（人數(shù)）
頻率
[60，70）
9
[70，80）
0.38
[80，90）
16
0.32
[90，100）
合 計(jì)
1




1
2
3
X
0
-1
1
P
X
10
20
100
－200
P
eq \f(3,8)
eq \f(3,8)
eq \f(1,8)
eq \f(1,8)

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