2023-2024學(xué)年江蘇省連云港外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)(上)段考數(shù)學(xué)試卷(10月份)I卷(選擇題)一、選擇題(本大題共8小題,共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))1.一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是(    )A. , B. , C. , D. ,2.是關(guān)于的方程的解,則的值是(    )A.  B.  C.  D. 3.的半徑為,點(diǎn)到圓心的距離為,那么點(diǎn)的位置關(guān)系是(    )A. 點(diǎn) B. 點(diǎn) C. 點(diǎn) 內(nèi) D. 不能確定4.解方程,較簡(jiǎn)便的解法是(    )A. 直接開(kāi)平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法5.如圖,在半徑為中,弦于點(diǎn),則的長(zhǎng)度等于(    )A.
B.
C.
D. 6.下列說(shuō)法正確的是(    )A. 圓的對(duì)稱(chēng)軸是直徑 B. 相等的圓心角所對(duì)的弧相等
C. 等弧所對(duì)的弦相等 D. 相等的弦所對(duì)的圓心角相等7.如圖,在寬為、長(zhǎng)為的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路,余下部分作為耕地.若耕地面積需要,則修建的路寬應(yīng)為(    )A.  
B.  
C.  
D.  8.閱讀下列材料:求函數(shù)的最大值解:將原函數(shù)化為關(guān)于的一元二次方程因?yàn)?/span>為實(shí)數(shù),所以,所以根據(jù)材料給你的啟示,則函數(shù)的最小值是(    )A.  B.  C.  D. II卷(非選擇題)二、填空題(本大題共8小題,共32.0分)9.到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的集合是______ 10.如圖,在中,,,則______
 11.若一條弦把圓分成兩部分,則劣弧所對(duì)的圓心角為______ 12.如圖,以?的頂點(diǎn)為圓心,為半徑作圓,分別交、于點(diǎn)、,交的延長(zhǎng)線于,若,則的度數(shù)為______
 13.關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______ 14.、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則代數(shù)式 ______ 15.若等腰三角形的一條邊長(zhǎng)為,另外兩條邊的長(zhǎng)為一元二次方程的兩個(gè)根,則的值為______ 16.如圖,在中,弦,點(diǎn)上移動(dòng),連結(jié),過(guò)點(diǎn)于點(diǎn)、,則的最大值為______
 三、解答題(本大題共9小題,共94.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17.本小題

如圖,已知的直徑,,,垂足分別為,且求證:
18.本小題
選擇適當(dāng)方法解下列方程:
;
;
;
19.本小題
關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
的取值范圍;
當(dāng)為正整數(shù)時(shí),求的值.20.本小題
習(xí)近平總書(shū)記說(shuō):讀書(shū)可以讓人保持思想活力,讓人得到智慧啟發(fā),讓人滋養(yǎng)浩然之氣某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動(dòng),利用節(jié)假日面向社會(huì)開(kāi)放學(xué)校圖書(shū)館.據(jù)統(tǒng)計(jì),第一個(gè)月進(jìn)館人次,進(jìn)館人次逐月增加,第三個(gè)月進(jìn)館人次,若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同.
求進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率;
因條件限制,學(xué)校圖書(shū)館每月接納能力不超過(guò)人次,在進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率不變的條件下,校圖書(shū)館能否接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次,并說(shuō)明理由.21.本小題
直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活,小明在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為元的小商品進(jìn)行直播銷(xiāo)售,如果按每件元銷(xiāo)售,每天可賣(mài)出通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件小商品售價(jià)每降低元,日銷(xiāo)售量增加件.
若日利潤(rùn)保持不變,小明想盡快銷(xiāo)售完該款商品,每件小商品應(yīng)降價(jià)多少元?
小強(qiáng)的線下實(shí)體商店也銷(xiāo)售同款小商品,標(biāo)價(jià)為每件為提高市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力,促進(jìn)線下銷(xiāo)售,小強(qiáng)決定對(duì)該商品實(shí)行打折銷(xiāo)售,使其銷(xiāo)售價(jià)格不超過(guò)中的售價(jià),則該商品至少需打幾折銷(xiāo)售?22.本小題

如圖,一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍,豬舍的一邊利用長(zhǎng)為的住房墻,另外三邊用長(zhǎng)的建筑材料圍成,為方便進(jìn)出,在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)寬的門(mén),當(dāng)所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí),豬舍面積為?
23.本小題
類(lèi)比和轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中解決新問(wèn)題時(shí)最常用的數(shù)學(xué)思想方法回顧舊知,類(lèi)比求解.
解無(wú)理方程根號(hào)下含有未知數(shù)的方程,可通過(guò)方程兩邊平方把它轉(zhuǎn)化為,解得通過(guò)方程兩邊平方解方程,有可能產(chǎn)生增根,必須對(duì)解得的根進(jìn)行檢驗(yàn).
解一元三次方程,可以通過(guò)因式分解把它轉(zhuǎn)化為,解一元一次方程和一元二次方程即可.
運(yùn)用上面方法解下列方程:
;
24.本小題
閱讀下列材料:我們可以通過(guò)以下方法求代數(shù)式的最小值.
,且,
當(dāng)時(shí),有最小值
請(qǐng)根據(jù)上述方法,解答下列問(wèn)題:
求代數(shù)式最小值;
填空:代數(shù)式當(dāng) ______ 時(shí),有最______ 值,是______
若代數(shù)式的最小值為,求的值.25.本小題
如圖,矩形中,,,動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)的速度向終點(diǎn)移動(dòng),點(diǎn)的速度向移動(dòng),當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為,問(wèn):
當(dāng)時(shí),四邊形面積是多少?
當(dāng)為何值時(shí),以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰三角形.

答案和解析 1.【答案】 【解析】解:,
,
二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)分別是:,
故選C
先把方程化成一般形式,再根據(jù)定義求解.
一元二次方程的一般形式是:是常數(shù)且,其中叫二次項(xiàng),叫一次項(xiàng),是常數(shù)項(xiàng).,,分別叫二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng).注意在說(shuō)明二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng)時(shí),一定要帶上前面的符號(hào).2.【答案】 【解析】解:把代入關(guān)于的方程得:
,

故選:
根據(jù)方程解的定義,把代入原方程,得到含有關(guān)于的一元一次方程,進(jìn)行解答即可.
本題主要考查了一元二次方程的解,解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程解的定義.3.【答案】 【解析】解:的半徑為,點(diǎn)到圓心的距離為,
,
點(diǎn)的位置關(guān)系是:點(diǎn)在圓內(nèi),
故選:
若半徑為,點(diǎn)到圓心的距離為當(dāng)時(shí),點(diǎn)在圓內(nèi).
此題主要考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷.關(guān)鍵要記住若半徑為,點(diǎn)到圓心的距離為,則有:當(dāng)時(shí),點(diǎn)在圓外;當(dāng)時(shí),點(diǎn)在圓上,當(dāng)時(shí),點(diǎn)在圓內(nèi).4.【答案】 【解析】解:解方程較簡(jiǎn)便的解法是因式分解法,
故選D
根據(jù)方程的特點(diǎn)得出即可.
本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用,能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵.5.【答案】 【解析】解:連接,
過(guò),
,
中,由勾股定理得:
故選:
連接,根據(jù)垂徑定理求出,根據(jù)勾股定理求出即可.
本題考查了勾股定理和垂徑定理,能根據(jù)垂徑定理求出的長(zhǎng)度是解此題的關(guān)鍵.6.【答案】 【解析】解:、在同圓或等圓中,等弦所對(duì)的圓心角對(duì)應(yīng)相等,故A錯(cuò)誤,不符合題意;
B、在同圓或等圓中,等弦所對(duì)的弧對(duì)應(yīng)相等,故B錯(cuò)誤,不符合題意;
C、在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,故C錯(cuò)誤,不符合題意;
D、相等的弧所對(duì)的弦相等,故本選項(xiàng)正確,符合題意;
故選:
根據(jù)有關(guān)性質(zhì)和定理分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
此題考查了圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)性質(zhì)和定理.7.【答案】 【解析】【分析】
要求修建的路寬,就要設(shè)修建的路寬應(yīng)為米,根據(jù)題意可知:矩形地面所修路面積耕地面積,依此列出等量關(guān)系解方程即可.
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件,找出合適的等量關(guān)系,列出方程,再求解.注意:矩形面積在減路的面積時(shí),中有一個(gè)小正方形的面積是重復(fù)計(jì)算的,所以要再減去面積.
【解答】
解:設(shè)修建的路寬應(yīng)為
根據(jù)等量關(guān)系列方程得:,
解得:不合題意,舍去,
故選A8.【答案】 【解析】解:將函數(shù)化為關(guān)于的一元二次方程
關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解,
,解得
函數(shù)的最小值是
故選:
將原函數(shù)化為關(guān)于的一元二次方程,若此方程有實(shí)數(shù)解,則根的判別式,從而得到關(guān)于的不等式,解此不等式即可求得原函數(shù)的最小值.
本題考查函數(shù)值,將函數(shù)化為關(guān)于的一元二次方程,利用根的判別式求原函數(shù)的最值是本題的關(guān)鍵.9.【答案】以點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓 【解析】解:到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的集合是:以點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓.
故答案為:以點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓.
根據(jù)圓的定義即可解答.
本題考查了圓的定義:圓是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.10.【答案】 【解析】解:,

,

故答案是:
根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求解.
本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理的推論,三者關(guān)系可理解為:在同圓或等圓中,圓心角相等,所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦相等,三項(xiàng)知一推二,一項(xiàng)相等,其余二項(xiàng)皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性,即:圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度,所得圖形與原圖形完全重合.11.【答案】 【解析】解:一條弦把圓周分成的兩段弧,
劣弧所對(duì)圓心角的度數(shù),
故答案為:
先根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求出劣弧所對(duì)圓心角的度數(shù),再根據(jù)圓周角定理得出該弦所對(duì)圓周角的度數(shù)即可.
本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系及圓周角定理,在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要注意是在同圓或等圓中才適用,這是此類(lèi)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn).12.【答案】 【解析】解:四邊形是平行四邊形,
,
,

,
的度數(shù)為
故答案為:
求出圓心角的度數(shù),可得結(jié)論.
本題考查圓周角定理,平行四邊形的性質(zhì),圓心角,弧,弦的關(guān)系等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.13.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了根的判別式,熟練掌握根的判別式的意義是解本題的關(guān)鍵.根據(jù)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,得到根的判別式小于,求出的范圍即可.
【解答】
解:方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,
,
解得:,
故答案為14.【答案】 【解析】解:、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
,,
,
故答案為:
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求出,的值,然后把所求代數(shù)式寫(xiě)成含有的形式,再整體代入計(jì)算算即可.
本題主要考查了解一元二次方程,解題關(guān)鍵是熟練掌握幾種常見(jiàn)的一元二次方程的解法.15.【答案】 【解析】解:當(dāng)為等腰三角形的腰時(shí),將代入原方程得
解得:,
此時(shí)原方程為,即,
解得:,,

、、可以圍成等腰三角形;
當(dāng)為等腰三角形的底時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
,
解得:,
此時(shí)方程為
此時(shí),

、、可以圍成等腰三角形,

故答案為:
為等腰三角形的腰與為等腰三角形的底兩種情況考慮,當(dāng)為等腰三角形的腰時(shí),將代入原方程可求出的值,再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底,由三角形的三邊關(guān)系可確定此情況不存在;當(dāng)為等腰三角形的底時(shí),由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出,解之即可得出值,進(jìn)而可求出方程的解,再利用三角形的三邊關(guān)系確定此種情況符合題意.此題得解.
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、三角形的三邊關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì),分為等腰三角形的腰與為等腰三角形的底兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵.16.【答案】 【解析】解:連接,

的半徑長(zhǎng)度為定值,
,
要使最大,必須最小,
是弦上一點(diǎn),
當(dāng)時(shí),最短垂線段最短,
即此時(shí)重合,
的最大值是,
的最大值為:
故答案為:
連接,根據(jù)勾股定理求出,根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)時(shí),最短,的值最大,再根據(jù)垂徑定理求出即可.
本題考查了垂徑定理,勾股定理和垂線段最短等知識(shí)點(diǎn),能理解當(dāng)時(shí),最短,最長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵.17.【答案】證明:,
,
,,
,
中,
,
,
,

 【解析】證明,推出,可得結(jié)論.
本題考查圓心角,弧,弦的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題.18.【答案】解:
,
所以,;
,
,
,

所以,
,
,,

,
所以,;
,

,
所以, 【解析】先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為,然后解兩個(gè)一次方程即可;
利用配方法得到,然后利用直接開(kāi)平方法解方程;
先計(jì)算出根的判別式,然后根據(jù)求根公式得到方程的解;
先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為,然后解兩個(gè)一次方程即可.
本題考查了解一元二次方程因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,這種方法簡(jiǎn)便易用,是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法和公式法.19.【答案】解:根據(jù)題意得
解得;

正整數(shù)的值為,
根據(jù)題意得,
 【解析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到,然后求出兩不等式的公共部分得到的范圍;
利用的范圍可確定正整數(shù)的值為,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到,,再利用完全平分公式得到,然后利用整體代入的方法計(jì)算.
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系:若,是一元二次方程的兩根時(shí),也考查了根的判別式.20.【答案】解:設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率是,
依題意,得:
解得:,不合題意,舍去
答:進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率是
能,理由如下:
人次,
能夠接納.
答:校圖書(shū)館能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次. 【解析】設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率是,根據(jù)第一個(gè)月及第三個(gè)月的進(jìn)館人次數(shù),即可得出關(guān)于的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論;
根據(jù)第四個(gè)月的進(jìn)館人次數(shù)第三個(gè)月的進(jìn)館人次數(shù)增長(zhǎng)率,可求出第四個(gè)月的進(jìn)館人次數(shù),再與進(jìn)行比較后即可得出結(jié)論.
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.21.【答案】解:設(shè)售價(jià)應(yīng)定為元,則每件的利潤(rùn)為元,日銷(xiāo)售量為件,
依題意,得:,
整理,得:,
解得:,舍去
答:售價(jià)應(yīng)定為元;
該商品需要打折銷(xiāo)售,
由題意,得,
解得:,
答:該商品至少需打折銷(xiāo)售. 【解析】根據(jù)日利潤(rùn)每件利潤(rùn)日銷(xiāo)售量,可求出售價(jià)為元時(shí)的原利潤(rùn),設(shè)售價(jià)應(yīng)定為元,則每件的利潤(rùn)為元,日銷(xiāo)售量為件,根據(jù)日利潤(rùn)每件利潤(rùn)日銷(xiāo)售量,即可得出關(guān)于的一元二次方程,解之取其較小值即可得出結(jié)論;
設(shè)該商品需要打折銷(xiāo)售,根據(jù)銷(xiāo)售價(jià)格不超過(guò)元,列出不等式求解即可.
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用和由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.22.【答案】解:設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為,
可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為,
由題意得
解得:,
當(dāng)時(shí),舍去,
當(dāng)時(shí),
答:當(dāng)所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為、寬為時(shí),豬舍面積為 【解析】設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為,可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為根據(jù)矩形的面積公式建立方程求出其解就可以了.
本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用,矩形的面積公式的運(yùn)用及一元二次方程的解法的運(yùn)用,解答時(shí)尋找題目的等量關(guān)系是關(guān)鍵.23.【答案】解:,
,
即:,

,
解得:
解得:,
方程的解為:,,
將兩邊平方得:,
即:,
解得:,
當(dāng)時(shí),左邊,右邊,
不是原方程的根,
當(dāng)時(shí),左邊,右邊,
是原方程的根.
原方程的根為 【解析】首先利用因式分解將轉(zhuǎn)化為,然后再解方程即可;
首先將兩邊平方得,然后再解這個(gè)一元二次方程即可得出原方程的解,注意:解無(wú)理方程必須要驗(yàn)根.
此題主要考查了解高次方程和解無(wú)理方程,熟練掌握因式分解是解答的關(guān)鍵,通過(guò)平方把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程是解答得關(guān)鍵,解無(wú)理方程必須要驗(yàn)根,這也是解無(wú)理方程的易錯(cuò)點(diǎn)之一.24.【答案】     【解析】解:
,
最小值為;
,
,
時(shí),有最大值,最大值為
故答案為:,大,;
解:
,
,
,
代數(shù)式的最小值為,
,


利用配方法解決問(wèn)題即可;
利用配方法解決問(wèn)題即可;
利用配方法可得,從而可得,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.
本題考查了配方法是應(yīng)用,偶次方的非負(fù)性,熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.25.【答案】解:如圖,四邊形是矩形,

,,
,,


答:四邊形面積是;
如圖,當(dāng)時(shí),作,

,

四邊形是矩形,
,
,

,

中,由勾股定理,得
,
解得:
如圖,當(dāng)時(shí),作

,
,
四邊形是矩形,
,


,
解得:
綜上所述: 【解析】當(dāng)時(shí),可以得出,,就有,由梯形的面積就可以得出四邊形的面積;
分情況討論,如圖,當(dāng)時(shí),如圖,當(dāng)時(shí),由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理建立方程就可以得出結(jié)論.
本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用,等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,梯形的面積公式的運(yùn)用,一元二次方程的解法的運(yùn)用.解答時(shí)靈活運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解方法是關(guān)鍵.

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