知識梳理
1．兩條直線的位置關(guān)系
平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系包括平行、相交、重合三種情況．
(1)兩條直線平行
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.
對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)兩條直線垂直
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.
對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
2．三種距離公式
(1)兩點間的距離公式
①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②結(jié)論：|P1P2|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)點到直線的距離
點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
常用結(jié)論
1．直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五種常用對稱關(guān)系
(1)點(x，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y)．
(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)．
(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．
(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y)．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.( × )
(2)若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交．( × )
(3)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( × )
(4)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離．( √ )
教材改編題
1．點A(2,5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為( )
A．2eq \r(5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \r(5) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 C
解析 點A(2,5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為d＝eq \f(|2－10＋3|,\r(1＋4))＝eq \r(5).
2．直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m等于( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案 C
解析 直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則有eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2)(m≠0)，故m＝2或－3.
3．直線l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋7＝0的交點的坐標(biāo)為________．
答案 (－1,3)
解析 解方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－1＝0，,x－2y＋7＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝3，))
所以兩條直線交點的坐標(biāo)為(－1,3).
題型一 兩條直線的平行與垂直
例1 (1)(2022·漢中模擬)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，則“ea＝eq \f(1,e)”是“l(fā)1∥l2”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 當(dāng)l1∥l2時，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－?a＋2?＝0，,2a－1≠0，))
解得a＝－1或a＝2.
而由ea＝eq \f(1,e)，解得a＝－1，
所以“ea＝eq \f(1,e)”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件．
(2)(2022·長春模擬)已知直線l經(jīng)過點(1，－1)，且與直線2x－y－5＝0垂直，則直線l的方程為( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
答案 C
解析 ∵直線l與直線2x－y－5＝0垂直，
∴設(shè)直線l的方程為x＋2y＋c＝0，
∵直線l經(jīng)過點(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1.
直線l的方程為x＋2y＋1＝0.
教師備選
1．“m＝3”是“直線l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0與直線l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 由l1⊥l2，
得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，
∴m＝3或m＝－2，
∴“m＝3”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件．
2．已知三條直線2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 D
解析 由題意得直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點．當(dāng)直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行時，m＝eq \f(2,3)或m＝－eq \f(4,3)；當(dāng)直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點時，m＝－eq \f(2,3).所以實數(shù)m的取值集合為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).
思維升華 判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點
(1)斜率不存在的特殊情況．
(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2022·洛陽模擬)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△ABC的頂點A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為( )
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
答案 D
解析 由題設(shè)，可得kAB＝eq \f(2－0,1－2)＝－2，
且AB的中點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，1))，
∴AB垂直平分線的斜率k＝－eq \f(1,kAB)＝eq \f(1,2)，
故AB的垂直平分線方程為
y＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))＋1＝eq \f(x,2)＋eq \f(1,4)，
∵AC＝BC，則△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分線上，
∴△ABC的歐拉線的方程為2x－4y＋1＝0.
(2)已知兩直線l1：x＋ysin α＋1＝0和l2：2xsin α＋y＋1＝0.若l1∥l2，則α＝________.
答案 kπ±eq \f(π,4)，k∈Z
解析 由A1B2－A2B1＝0，
得1－2sin2α＝0，
所以sin α＝±eq \f(\r(2),2).
又A1C2－A2C1≠0，
所以1－2sin α≠0，即sin α≠eq \f(1,2).
所以α＝kπ±eq \f(π,4)，k∈Z.
故當(dāng)α＝kπ±eq \f(π,4)，k∈Z時，l1∥l2.
題型二 兩直線的交點與距離問題
例2 (1)兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0間的距離為d，則a，d的值分別為( )
A．a(chǎn)＝6，d＝eq \f(\r(6),3) B．a(chǎn)＝－6，d＝eq \f(\r(5),3)
C．a(chǎn)＝6，d＝eq \f(\r(5),3) D．a(chǎn)＝－6，d＝eq \f(\r(6),3)
答案 B
解析 由題知2×3＝－a，解得a＝－6，
又－6x＋3y－4＝0可化為2x－y＋eq \f(4,3)＝0，
∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3－\f(4,3))),\r(5))＝eq \f(\r(5),3).
(2)已知直線經(jīng)過點(1,2)，并且與點(2,3)和(0，－5)的距離相等，則此直線的方程為________________．
答案 4x－y－2＝0或x＝1
解析 若所求直線的斜率存在，則可設(shè)其方程為
y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
由題設(shè)有eq \f(|2k－3－k＋2|,\r(1＋k2))＝eq \f(|0＋5－k＋2|,\r(1＋k2))，
即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.
此時直線方程為4x－y－2＝0.
若所求直線的斜率不存在，則直線方程為x＝1，滿足題設(shè)條件．
故所求直線的方程為4x－y－2＝0或x＝1.
教師備選
1．經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________．
答案 4x＋3y－6＝0
解析 由方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))
即P(0,2)．
因為l⊥l3，所以直線l的斜率k＝－eq \f(4,3)，
所以直線l的方程為y－2＝－eq \f(4,3)x，
即4x＋3y－6＝0.
2．直線l1經(jīng)過點(3,0)，直線l2經(jīng)過點(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之間的距離，則d的取值范圍是________．
答案 (0,5]
解析 當(dāng)直線l1，l2都與過(3,0)，(0,4)兩點的直線垂直時，
dmax＝eq \r(32＋42)＝5；
當(dāng)直線l1和l2都經(jīng)過(3,0)，(0,4)兩點時，兩條直線重合．
所以00)與l2：2x＋ny－6＝0之間的距離是2eq \r(5)，則直線l1關(guān)于直線l2對稱的直線方程為( )
A．x－2y－13＝0 B．x－2y＋2＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－6＝0
答案 A
解析 因為直線l1：x－2y＋m＝0(m>0)與l2：2x＋ny－6＝0平行，
所以n＝－2×2＝－4，
又兩條平行直線l1：x－2y＋m＝0(m>0)與l2：2x＋ny－6＝0之間的距離是2eq \r(5)，
所以eq \f(|2m＋6|,\r(4＋16))＝2eq \r(5)，解得m＝7，
即直線l1：x－2y＋7＝0，l2：x－2y－3＝0，
設(shè)直線l1關(guān)于直線l2對稱的直線方程為x－2y＋c＝0，
則eq \f(|－3－7|,\r(5))＝eq \f(|－3－c|,\r(5))，解得c＝－13，
故所求直線方程為x－2y－13＝0.
15．定義點P(x0，y0)到直線l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距離為d＝eq \f(ax0＋by0＋c,\r(a2＋b2)).已知點P1，P2到直線l的有向距離分別是d1，d2.以下命題正確的是( )
A．若d1＝d2＝1，則直線P1P2與直線l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，則直線P1P2與直線l垂直
C．若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l垂直
D．若d1·d2≤0，則直線P1P2與直線l相交
答案 A
解析 設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
對于A，若d1＝d2＝1，
則ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝eq \r(a2＋b2)，直線P1P2與直線l平行，正確；
對于B，點P1，P2在直線l的兩側(cè)且到直線l的距離相等，直線P1P2不一定與l垂直，錯誤；
對于C，若d1＝d2＝0，滿足d1＋d2＝0，
即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，
則點P1，P2都在直線l上，所以此時直線P1P2與直線l重合，錯誤；
對于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，
所以點P1，P2分別位于直線l的兩側(cè)或在直線l上，所以直線P1P2與直線l相交或重合，錯誤．
16．(2022·武漢調(diào)研)臺球運動已有五、六百年的歷史，參與者用球桿在臺上擊球．若和光線一樣，臺球在球臺上碰到障礙物后也遵從反射定律．如圖，有一張長方形球臺ABCD，AB＝2AD，現(xiàn)從角落A沿角α的方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺內(nèi)沿后進(jìn)入角落C的球袋中，則tan α的值為( )
A.eq \f(1,6)或eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)或1
C.eq \f(1,6)或eq \f(3,2) D．1或eq \f(3,2)
答案 C
解析 如圖1，作A關(guān)于DC的對稱點為E，D關(guān)于AB的對稱點為G，C關(guān)于AB的對稱點為F，連接GF，EF，
由題可得tan α＝eq \f(EG,GF)＝eq \f(3AD,2AD)＝eq \f(3,2).

圖1 圖2
如圖2，作A關(guān)于BC的對稱點為G，B關(guān)于AD的對稱點為F，C關(guān)于AD的對稱點為E，
連接EF，EG，
由題可得tan α＝eq \f(EF,GF)＝eq \f(AD,6AD)＝eq \f(1,6).
綜上，tan α的值為eq \f(1,6)或eq \f(3,2).

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