高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第九章 §9.5　橢圓及其性質(zhì)

這是一份高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第九章 §9.5　橢圓及其性質(zhì)，共24頁。

知識梳理
1．橢圓的定義
把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距．
2．橢圓的簡單幾何性質(zhì)
常用結(jié)論
橢圓的焦點三角形
橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.
(1)當(dāng)P為短軸端點時，θ最大，最大．
(2)＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．( × )
(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．( √ )
(3)eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦點在y軸上的橢圓．( × )
(4)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)與eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
教材改編題
1．設(shè)P是橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
答案 D
解析 依橢圓的定義知，
|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.
2．若橢圓C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為( )
A．3 B．2＋eq \r(3)
C．2 D.eq \r(3)＋1
答案 A
解析 由題意知a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝1，距離的最大值為a＋c＝3.
3．(2022·深圳模擬)已知橢圓C的焦點在x軸上，且離心率為eq \f(1,2)，則C的方程可以為________．
答案 eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(答案不唯一)
解析 因為焦點在x軸上，所以設(shè)橢圓的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，a>b>0，
因為離心率為eq \f(1,2)，
所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,4)，
則eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4).
題型一 橢圓的定義及其應(yīng)用
例1 (1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A是圓上任意一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
答案 B
解析 點P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|＝|PN|.又AM是圓的半徑，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由橢圓的定義知，P的軌跡是橢圓．
(2)設(shè)點P為橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．
答案 eq \f(4\r(3),3)
解析 由題意知，c＝eq \r(a2－4).
又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，
|F1F2|＝2eq \r(a2－4)，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cs 60°
＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝eq \f(16,3)，
∴＝eq \f(1,2)|F1P|·|PF2|sin 60°
＝eq \f(1,2)×eq \f(16,3)×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(4\r(3),3).
延伸探究 若將本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面積．
解 ∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)
＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝4.
教師備選
1．△ABC的兩個頂點為A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周長為16，則頂點C的軌跡方程為( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)
B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0)
D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0)
答案 A
解析 由題知點C到A，B兩點的距離之和為10，故C的軌跡為以A(－3,0)，B(3,0)為焦點，長軸長為10的橢圓，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.所以方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.又A，B，C三點不能共線，所以eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)．
2．若F1，F(xiàn)2是橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,7)＝1的兩個焦點，A為橢圓上一點，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為( )
A．7 B.eq \f(7,4) C.eq \f(7,2) D.eq \f(7\r(5),2)
答案 C
解析 由題意得a＝3，b＝eq \r(7)，c＝eq \r(2)，
∴|F1F2|＝2eq \r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6.
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cs 45°
＝|AF1|2＋8－4|AF1|，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2＋8－4|AF1|，
解得|AF1|＝eq \f(7,2).
∴△AF1F2的面積
S＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \f(7,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(7,2).
思維升華 橢圓定義的應(yīng)用技巧
(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等．
(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點三角形的周長和面積問題．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程是( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
答案 D
解析 設(shè)動圓的圓心M(x，y)，半徑為r，
圓M與圓C1：(x－4)2＋y2＝169內(nèi)切，
與圓C2：(x＋4)2＋y2＝9外切．
所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.
|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，
由橢圓的定義，M的軌跡是以C1，C2為焦點，長軸長為16的橢圓．
則a＝8，c＝4，
所以b2＝82－42＝48，
動圓的圓心M的軌跡方程為eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
(2)(2022·武漢調(diào)研)設(shè)橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的一個焦點為F，則對于橢圓上兩動點A，B，△ABF周長的最大值為( )
A．4＋eq \r(5) B．6
C．2eq \r(5)＋2 D．8
答案 D
解析 設(shè)F1為橢圓的另外一個焦點，
則由橢圓的定義可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，
當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點共線時，
|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，
當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點不共線時，
|AB|－|BF1|－|AF1|b>0)，
由橢圓定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.
又|AF2|＝2|F2B|，
∴|AB|＝eq \f(3,2)|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴|AF2|＝a，∴A為橢圓的短軸端點．
如圖，不妨設(shè)A(0，b)，
又F2(1,0)，eq \(AF2,\s\up6(—→))＝2eq \(F2B,\s\up6(—→))，
∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(b,2))).
將B點坐標(biāo)代入橢圓方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
得eq \f(9,4a2)＋eq \f(b2,4b2)＝1，
∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
∴橢圓C的方程為eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
命題點2 待定系數(shù)法
例3 已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(eq \r(6)，1)，P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，則該橢圓的方程為________．
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1
解析 設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
因為橢圓經(jīng)過P1，P2兩點，
所以點P1，P2的坐標(biāo)滿足橢圓方程，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))
所以所求橢圓的方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
教師備選
1．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq \f(1,2)，過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點，若△F1AB的周長為8，則橢圓方程為( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
C.eq \f(x2,2)＋y2＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1
答案 A
解析 如圖，
由橢圓的定義可知，△F1AB的周長為4a，
所以4a＝8，a＝2，
又離心率為eq \f(1,2)，
所以c＝1，b2＝3，
所以橢圓方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
2．設(shè)橢圓eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦點為(2,0)，離心率為eq \f(\r(2),2)，則此橢圓的方程為________．
答案 eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
解析 橢圓的右焦點為(2,0)，
所以m2－n2＝4，e＝eq \f(\r(2),2)＝eq \f(2,m)，
所以m＝2eq \r(2)，代入m2－n2＝4，得n2＝4，
所以橢圓方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
思維升華 根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法
(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．
(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知橢圓的兩個焦點為F1(－eq \r(5)，0)，F(xiàn)2(eq \r(5)，0)，M是橢圓上一點，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，則該橢圓的方程是( )
A.eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,7)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 C
解析 設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，
因為MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，
|F1F2|＝2eq \r(5)，
所以m2＋n2＝20，mn＝8，
所以(m＋n)2＝36，
所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
因為c＝eq \r(5)，
所以b＝eq \r(a2－c2)＝2.
所以橢圓的方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且|AB|＝3，則C的方程為( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 C
解析 如圖，|AF2|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(3,2)，|F1F2|＝2，
由橢圓定義，
得|AF1|＝2a－eq \f(3,2).①
在Rt△AF1F2中，
|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋22.②
由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
∴橢圓C的方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
題型三 橢圓的幾何性質(zhì)
命題點1 離心率
例4 (1)(2022·湛江模擬)已知F是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點，過橢圓C的下頂點且斜率為eq \f(3,4)的直線與以點F為圓心、半焦距為半徑的圓相切，則橢圓C的離心率為( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 A
解析 過橢圓C的下頂點(0，－b)且斜率為eq \f(3,4)的直線方程為y＝eq \f(3,4)x－b，即eq \f(3,4)x－y－b＝0，
F(c,0)，由點到直線距離公式，
得c＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)c－b)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＋1))，
即c2＝－eq \f(3,2)bc＋b2，即(2c－b)(c＋2b)＝0，
則2c－b＝0，b＝2c.
又a2＝b2＋c2，即a2＝(2c)2＋c2＝5c2，
解得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5).
(2)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
答案 B
解析 若橢圓上存在點P，使得PF1⊥PF2，則以原點為圓心，F(xiàn)1F2為直徑的圓與橢圓必有交點，如圖，
可得c≥b，即c2≥b2，
所以2c2≥a2，即e2≥eq \f(1,2)，
又e0)的離心率e＝eq \f(1,2)，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點和右頂點，P是橢圓上任意一點，則eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值為________．
答案 4
解析 由題意知a＝2，因為e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3，
故橢圓的方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
設(shè)P點的坐標(biāo)為(x0，y0)，
所以－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3).
因為F(－1,0)，A(2,0)，
所以eq \(PF,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，
eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，
所以eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \\al(2,0)－x0－2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2，
所以當(dāng)x0＝－2時，eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))取得最大值4.
教師備選
1．嫦娥四號在繞月飛行時是以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點與月球表面距離為100公里，遠(yuǎn)月點與月球表面距離為400公里，已知月球的直徑約為3 476公里，則下列選項中正確的是( )
A．焦距長約為400公里
B．長軸長約為3 988公里
C．兩焦點坐標(biāo)約為(±150,0)
D．離心率約為eq \f(75,994)
答案 D
解析 設(shè)該橢圓的長半軸長為a，半焦距長為c.
依題意可得月球半徑約為eq \f(1,2)×3 476＝1 738，
a－c＝100＋1 738＝1 838，
a＋c＝400＋1 738＝2 138，
所以2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988，
c＝2 138－1 988＝150,2c＝300，
橢圓的離心率約為e＝eq \f(c,a)＝eq \f(150,1 988)＝eq \f(75,994)，
可得D正確，A，B錯誤；因為沒有給坐標(biāo)系，焦點坐標(biāo)不確定，所以C錯誤．
2．(2022·太原模擬)若點O和點F分別為橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值為( )
A．2 B．3 C．6 D．8
答案 C
解析 由橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1可得F(－1,0)，
點O(0,0)．
設(shè)P(x，y)(－2≤x≤2)．
則eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,4)))
＝eq \f(1,4)x2＋x＋3＝eq \f(1,4)(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時，eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))取得最大值6.
思維升華 與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法
(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)；
(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)；
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2022·濟南質(zhì)檢)設(shè)橢圓E的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與E交于P，Q兩點．若△PF1F2為直角三角形，則E的離心率為( )
A.eq \r(2)－1 B.eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)＋1
答案 A
解析 不妨設(shè)橢圓E的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如圖所示，
∵△PF1F2為直角三角形，
∴PF1⊥F1F2，
又|PF1|＝|F1F2|＝2c，
∴|PF2|＝2eq \r(2)c，
∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq \r(2)c＝2a，
∴橢圓E的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)－1.
(2)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，點A，B是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點P，使得∠APB＝120°，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
答案 A
解析 如圖，
當(dāng)P在上頂點時，∠APB最大，
此時∠APB≥120°，
則∠APO≥60°，
所以tan∠APO≥tan 60°＝eq \r(3)，
即eq \f(a,b)≥eq \r(3)，a2≥3b2，a2≥3(a2－c2)，
所以2a2≤3c2，
則eq \f(c,a)≥eq \f(\r(6),3)，
所以橢圓的離心率的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1)).
課時精練
1．已知動點M到兩個定點A(－2,0)，B(2,0)的距離之和為6，則動點M的軌跡方程為( )
A.eq \f(x2,9)＋y2＝1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1
C.eq \f(y2,9)＋x2＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
答案 D
解析 由題意有6>2＋2＝4，
故點M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，
則2a＝6，c＝2，故a2＝9，
所以b2＝a2－c2＝5，
故橢圓的方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.
2．若橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長等于焦距，則橢圓的離心率為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),4)
答案 C
解析 依題意可知，c＝b，
又a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(2)c，
∴橢圓的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
3．橢圓eq \f(x2,2)＋y2＝1的兩個焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上任意一點，則eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))的取值范圍是( )
A．[－1,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[－1,2]
答案 C
解析 設(shè)F1為左焦點，
則由橢圓方程得F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，
設(shè)P(x，y)，－eq \r(2)≤x≤eq \r(2)，
∴eq \(PF1,\s\up6(—→))＝(－1－x，－y)，eq \(PF2,\s\up6(—→))＝(1－x，－y)，
則eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝x2＋y2－1＝eq \f(x2,2)∈[0,1]．
4．設(shè)e是橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的離心率，且e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A．(0,3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(16,3)))
C．(0,3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,3)，＋∞)) D．(0,2)
答案 C
解析 當(dāng)k>4時，c＝eq \r(k－4)，
由條件知eq \f(1,4)0)的左、右焦點，若在直線x＝eq \f(a2,c)上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))
答案 D
解析 設(shè)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，m))，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，
由線段PF1的中垂線過點F2得
|PF2|＝|F1F2|，
即 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－c))2＋m2)＝2c，
得m2＝4c2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)－c))2＝－eq \f(a4,c2)＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，
得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥eq \f(1,3)，
又00)．若過F1的直線和圓eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)c))2＋y2＝c2相切，與橢圓的第一象限交于點P，且PF2⊥x軸，則該直線的斜率是________，橢圓的離心率是________．
答案 eq \f(2\r(5),5) eq \f(\r(5),5)
解析 設(shè)過F1的直線與圓的切點為M，圓心Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c，0))，
則|AM|＝c，|AF1|＝eq \f(3,2)c，
所以|MF1|＝eq \f(\r(5),2)c，
所以該直線的斜率k＝eq \f(|AM|,|MF1|)＝eq \f(c,\f(\r(5),2)c)＝eq \f(2\r(5),5).
因為PF2⊥x軸，所以|PF2|＝eq \f(b2,a)，
又|F1F2|＝2c，
所以k＝eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(\f(b2,a),2c)＝eq \f(a2－c2,2ac)＝eq \f(1－e2,2e)(00)的短軸長為2，上頂點為A，左頂點為B，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且△F1AB的面積為eq \f(2－\r(3),2)，若點P為橢圓上的任意一點，則eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范圍是________．
答案 [1,4]
解析 由已知得2b＝2，故b＝1.
∵△F1AB的面積為eq \f(2－\r(3),2)，
∴eq \f(1,2)(a－c)b＝eq \f(2－\r(3),2)，
∴a－c＝2－eq \r(3)，
又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1，
∴a＝2，c＝eq \r(3)，
∴eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)
＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,|PF1||PF2|)
＝eq \f(2a,|PF1|?2a－|PF1|?)
＝eq \f(4,－|PF1|2＋4|PF1|).
又2－eq \r(3)≤|PF1|≤2＋eq \r(3)，
∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，
∴1≤eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)≤4，
即eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范圍為[1,4]．
16．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°.
(1)求橢圓的離心率的取值范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)．
(1)解 不妨設(shè)橢圓的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距為2c.
在△F1PF2中，由余弦定理得，
cs 60°＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(?|PF1|＋|PF2|?2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，
即eq \f(4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(1,2)，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，
所以|PF1|·|PF2|＝eq \f(4b2,3).
又因為|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時等號成立，
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以eq \f(c,a)≥eq \f(1,2)，
所以e≥eq \f(1,2).
又因為00)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范圍
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長
短軸長為2b，長軸長為2a
焦點
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
對稱性
對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：原點
離心率
e＝eq \f(c,a)(0