知識梳理
1．圓的定義和圓的方程

2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：
(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；
(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；
(3)|MC|0.( √ )
教材改編題
1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq \r(3)
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq \r(13)
答案 D
解析 圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)，半徑r＝eq \r(13).
2．圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案 D
解析 因?yàn)閳A心為(1,1)且過原點(diǎn)，所以該圓的半徑r＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，則該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．
答案 (－eq \r(2)，eq \r(2))
解析 ∵原點(diǎn)(0,0)在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，
∴(0－m)2＋(0＋m)20)，
由圓與直線4x－3y＝0相切，可得圓心到直線的距離d＝eq \f(|4a－3b|,5)＝r＝1，
化簡得|4a－3b|＝5，①
又圓與x軸相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，
把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，
解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(舍去)，
所以圓心坐標(biāo)為(2,1)，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.
題型二 與圓有關(guān)的軌跡問題
例2 已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．
解 (1)方法一 設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.
因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，
化簡得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義知，動點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．
所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，
因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此動點(diǎn)M的軌跡方程為
(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
教師備選
已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn)．
(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．
解 (1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)P坐標(biāo)為(2x－2,2y)．
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON(圖略)，
則ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2
＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為
x2＋y2－x－y－1＝0.
思維升華 求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．
(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．
(4)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)當(dāng)點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動時(shí)，連接它與定點(diǎn)Q(3,0)，則線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1
D．(2x＋3)2＋4y2＝1
答案 C
解析 設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，
因?yàn)镻Q的中點(diǎn)為M，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))
又因?yàn)镻在圓x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1，
所以M的軌跡方程即為(2x－3)2＋4y2＝1.
(2)自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點(diǎn)P(x，y)引該圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，PQ的長度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
答案 D
解析 由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3，－4)，半徑r＝2，連接PC，CQ(圖略)，
因?yàn)閨PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，
所以點(diǎn)P的軌跡方程為6x－8y－21＝0.
題型三 與圓有關(guān)的最值問題
命題點(diǎn)1 利用幾何性質(zhì)求最值
例3 已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求eq \f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
解 (1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2eq \r(2).
又|QC|＝eq \r(?2＋2?2＋?7－3?2)＝4eq \r(2)，
∴|MQ|max＝4eq \r(2)＋2eq \r(2)＝6eq \r(2)，
|MQ|min＝4eq \r(2)－2eq \r(2)＝2eq \r(2).
(2)可知eq \f(y－3,x＋2)表示直線MQ的斜率k.
設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直線MQ與圓C有交點(diǎn)，
∴eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)，
可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，
∴eq \f(y－3,x＋2)的最大值為2＋eq \r(3)，最小值為2－eq \r(3).
(3)設(shè)y－x＝b，則x－y＋b＝0.
當(dāng)直線y＝x＋b與圓C相切時(shí)，截距b取到最值，∴eq \f(|2－7＋b|,\r(12＋?－1?2))＝2eq \r(2)，
∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值為9，最小值為1.
命題點(diǎn)2 利用函數(shù)求最值
例4 (2022·湘潭質(zhì)檢)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)．則eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值為________．
答案 12
解析 由題意，得eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，
由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以當(dāng)y＝4時(shí)，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值為6×4－12＝12.
延伸探究 若將本題改為“設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓(x－3)2＋y2＝4上的動點(diǎn)，定點(diǎn)A(0,2)，B(0，－2)”，則|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值為________．
答案 10
解析 由題意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x,2－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，
由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，
故其坐標(biāo)滿足方程(x－3)2＋y2＝4，
故y2＝－(x－3)2＋4，
所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(4x2＋4y2)＝2eq \r(6x－5).
由圓的方程(x－3)2＋y2＝4，
易知1≤x≤5，
所以當(dāng)x＝5時(shí)，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值為2eq \r(6×5－5)＝10.
教師備選
1．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為( )
A．7 B．6 C．5 D．4
答案 B
解析 ∵在Rt△APB中，原點(diǎn)O為斜邊中點(diǎn)，
|AB|＝2m(m>0)，
∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，
又C(3,4)，r＝1，
∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6.
2．若點(diǎn)P為圓x2＋y2＝1上的一個(gè)動點(diǎn)，A(－1,0)，B(1,0)為兩個(gè)定點(diǎn)，則|PA|＋|PB|的最大值為( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4eq \r(2) D．4
答案 B
解析 由已知得線段AB為圓的直徑．
所以|PA|2＋|PB|2＝4，
由基本不等式得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，
所以|PA|＋|PB|≤2eq \r(2)，
當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝eq \r(2)時(shí)，等號成立．
思維升華 與圓有關(guān)的最值問題的求解方法
(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題．
(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知A(－2,0)，B(2,0)，點(diǎn)P是圓C：(x－3)2＋(y－eq \r(7))2＝1上的動點(diǎn)，則|AP|2＋|BP|2的最小值為( )
A．9 B．14 C．16 D．26
答案 D
解析 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(x，y)，
則|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2
＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.
圓C的圓心為C(3，eq \r(7))，半徑為r＝1，OC＝4，
所以|PO|2的最小值為(OC－r)2＝(4－1)2＝9，
所以|AP|2＋|BP|2的最小值為26.
(2)已知x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值為( )
A．2 B.eq \f(17,4) C.eq \f(29,5) D.eq \f(13\r(13),4)
答案 B
解析 由x2＋y2－4x－2y－4＝0
得(x－2)2＋(y－1)2＝9.
eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq \f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA，
其中A(－3,1)為定點(diǎn)，點(diǎn)P(x，y)為圓上一點(diǎn)．
設(shè)過定點(diǎn)A的直線l：y－1＝k(x＋3)與圓相切，
則eq \f(|5k|,\r(1＋k2))＝3，解得k＝±eq \f(3,4)，
所以－eq \f(3,4)≤kPA≤eq \f(3,4)，
所以eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值為2＋3×eq \f(3,4)＝eq \f(17,4).
課時(shí)精練
1．圓x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為( )
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
答案 C
解析 將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，則圓心坐標(biāo)為(－2,3)，半徑為4.
2．圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
答案 A
解析 已知圓的圓心C(1,2)關(guān)于直線y＝x對稱的點(diǎn)為C′(2,1)，
所以圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.
3．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為( )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0
D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 設(shè)圓心為(a,0)(a>0)，由題意知圓心到直線3x＋4y＋4＝0的距離d＝eq \f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝eq \f(3a＋4,5)＝r＝2，解得a＝2，所以圓心坐標(biāo)為(2,0)，則圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4，化簡得x2＋y2－4x＝0.
4．點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案 A
解析 設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0，y0)，
PQ的中點(diǎn)為M(x，y)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(－2＋y0,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.))
因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2＋y2＝4上，
所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，
即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化簡得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，則下列關(guān)于△ABC的外接圓圓M的說法不正確的是( )
A．圓M的圓心坐標(biāo)為(1,3)
B．圓M的半徑為eq \r(5)
C．圓M關(guān)于直線x＋y＝0對稱
D．點(diǎn)(2,3)在圓M內(nèi)
答案 C
解析 設(shè)△ABC的外接圓圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))
所以△ABC的外接圓圓M的方程為x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圓M的圓心坐標(biāo)為(1,3)，圓M的半徑為eq \r(5)，因?yàn)橹本€x＋y＝0不經(jīng)過圓M的圓心(1,3)，所以圓M不關(guān)于直線x＋y＝0對稱．因?yàn)?2－1)2＋(3－3)2＝10)的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程為________．
答案 x2＋y2＝a2
解析 如圖，不論直線怎么移動，線段AB的中點(diǎn)P(x，y)與原點(diǎn)O的連線始終為Rt△OAB斜邊上的中線，即|OP|＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的軌跡方程為x2＋y2＝a2.
15．已知直線l：3x＋4y＋m＝0，圓C：x2＋y2－4x＋2＝0，則圓C的半徑r＝________；若在圓C上存在兩點(diǎn)A，B，在直線l上存在一點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
答案 eq \r(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－16，4))
解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝2，圓心為C(2,0)，半徑為r＝eq \r(2)，
若在圓C上存在兩點(diǎn)A，B，在直線l上存在一點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，過P作圓的兩條切線PM，PN(M，N為切點(diǎn))，則由題意得，∠MPN≥90°，而當(dāng)CP⊥l時(shí)，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此時(shí)圓心C到直線l的距離為
d＝|CP|＝eq \f(|6＋m|,5).
所以eq \f(r,d)＝eq \f(\r(2),\f(|6＋m|,5))≥eq \f(\r(2),2)，解得－16≤m≤4.
16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B，曲線Γ與y軸交于點(diǎn)C.
(1)是否存在以AB為直徑的圓過點(diǎn)C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由；
(2)求證：過A，B，C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)．
解 由曲線Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，
令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，
可得Δ＝m2－8m>0，
則m8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)．
(1)若存在以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，
則eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
得x1x2＋4m2＝0，
即2m＋4m2＝0，
所以m＝0(舍去)或m＝－eq \f(1,2).
此時(shí)C(0，－1)，AB的中點(diǎn)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))即圓心，
半徑r＝|CM|＝eq \f(\r(17),4)，
故所求圓的方程為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4)))2＋y2＝eq \f(17,16).
(2)證明 設(shè)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
將點(diǎn)C(0,2m)代入可得E＝－1－2m，
所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－y＝0，,x＋2y－2＝0，))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(4,5)，))
故過A，B，C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)(0,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(4,5))).定義
平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓
方程
標(biāo)準(zhǔn)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圓心C(a，b)
半徑為r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圓心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半徑r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)

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