知識梳理
1．命題
用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．
2．四種命題及其相互關系
(1)四種命題間的相互關系
(2)四種命題的真假關系
①兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性．
②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．
3．充分條件、必要條件與充要條件的概念
常用結論
充分、必要條件與對應集合之間的關系
設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分條件，則A?B；
②若p是q的充分不必要條件，則AB；
③若p是q的必要不充分條件，則BA；
④若p是q的充要條件，則A＝B.
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“x2－2x－3>0”是命題．( × )
(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件．( √ )
(3)若原命題為真，則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真．( √ )
(4)p是q的充分不必要條件等價于q是p的必要不充分條件．( √ )
教材改編題
1．“a>b”是“ac2>bc2”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 當a>b時，若c2＝0，則ac2＝bc2，
所以a>b?ac2>bc2，
當ac2>bc2時，c2≠0，則a>b，
所以ac2>bc2?a>b，
即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件．
2．命題“同位角相等，兩直線平行”的逆否命題是____________________________．
答案 兩直線不平行，同位角不相等
3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一負根的充要條件是________．
答案 a∈(－∞，1)
解析 依題意得a－11”的否命題；
②命題“梯形不是平行四邊形”的逆否命題；
③命題“全等三角形面積相等”的否命題；
④命題“若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線”的逆命題．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①命題“若x>1，則x2>1”的否命題為“若x≤1，則x2≤1”，不正確，例如取x＝－2.
②命題“梯形不是平行四邊形”是真命題，因此其逆否命題也是真命題．
③命題“全等三角形面積相等”的否命題“不是全等三角形的面積不相等”是假命題．
④命題“若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線”的逆命題“若兩條直線是異面直線，則這兩條直線沒有公共點”是真命題．
綜上可得真命題的個數為2.
(2)能說明“若f(x)>f(0)對任意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數”為假命題的一個函數是________________．
答案 f(x)＝sin x，x∈[0,2](答案不唯一)
解析 設f(x)＝sin x，則f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函數，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2))上是減函數．由正弦函數圖象的對稱性知，當x∈(0,2]時，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x滿足條件f(x)>f(0)對任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函數．
教師備選
(2022·合肥模擬)設x，y∈R，命題“若x2＋y2>2，則x2>1或y2>1”的否命題是( )
A．若x2＋y2≤2，則x2≤1或y2≤1
B．若x2＋y2>2，則x2≤1或y2≤1
C．若x2＋y2≤2，則x2≤1且y2≤1
D．若x2＋y2>2，則x2≤1且y2≤1
答案 C
解析 根據否命題的定義可得命題“若x2＋y2>2，則x2>1或y2>1”的否命題是“若x2＋y2≤2，則x2≤1且y2≤1”．
思維升華 判斷命題真假的策略
(1)判斷一個命題為真命題，需要推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例即可．
(2)根據“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假．
跟蹤訓練1 (1)(2022·安順模擬)命題“若x，y都是奇數，則x＋y是偶數”的逆否命題是( )
A．若x，y都是偶數，則x＋y是奇數
B．若x，y都不是奇數，則x＋y不是偶數
C．若x＋y不是偶數，則x，y都不是奇數
D．若x＋y不是偶數，則x，y不都是奇數
答案 D
解析 命題“若x，y都是奇數，則x＋y是偶數”的逆否命題是“若x＋y不是偶數，則x，y不都是奇數”．
(2)命題p：若m≤a－2，則m4，ab>4.
當a＝1，b＝5時，滿足a＋b>4，ab>4，但不滿足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4?a>2，b>2，
故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要條件．
(2)(2022·成都模擬)若a，b為非零向量，則“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 C
解析 因為a⊥b，
所以a·b＝0，
則(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，
所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分條件；
反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，
所以非零向量a，b垂直，
“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要條件．
故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要條件．
題型三 充分、必要條件的應用
例3 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要條件，求m的取值范圍．
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴A＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈A是x∈B的必要條件，知B?A.
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2， ∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))
∴當0≤m≤3時，x∈A是x∈B的必要條件，
即所求m的取值范圍是[0,3]．
延伸探究 本例中，若把“x∈A是x∈B的必要條件”改為“x∈A是x∈B的充分不必要條件”，求m的取值范圍．
解 ∵x∈A是x∈B的充分不必要條件，
∴AB，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m

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