題型一 平面向量在幾何中的應用
例1 (1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D點滿足eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，AD＝eq \r(37)，則BC的長為( )
A．3eq \r(7) B．3eq \r(6)
C．3eq \r(3) D．6
答案 A
解析 因為eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
設AB＝x，則eq \(AD2,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))2，
得37＝eq \f(4,9)x2＋eq \f(4,9)×x×9cs 60°＋eq \f(1,9)×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因為x>0，
故解得x＝6，即AB＝6，
所以BC＝eq \r(AB2＋AC2－2AB·ACcs 60°)
＝eq \r(62＋92－2×6×9×\f(1,2))＝3eq \r(7).
(2)已知平行四邊形ABCD，證明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
證明 取eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))為基底，設eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，
則eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(DB,\s\up6(→))＝a－b，
∴eq \(AC,\s\up6(→))2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
eq \(DB,\s\up6(→))2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
上面兩式相加，得eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))2＝2(a2＋b2)，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
思維升華 用向量方法解決平面幾何問題的步驟
平面幾何問題eq \(――→,\s\up7(設向量))向量問題eq \(――→,\s\up7(計算))解決向量問題eq \(――→,\s\up7(還原))解決幾何問題．
跟蹤訓練1 (1)在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq \r(3)，AD＝5，∠A＝30°，點E在線段CB的延長線上，且AE＝BE，則eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝________.
答案 －1
解析 方法一 在等腰△ABE中，
易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，
則eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))
＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))
＝5×2eq \r(3)×cs 30°＋5×2×cs 180°－12－2eq \r(3)×2×cs 150°
＝15－10－12＋6＝－1.
方法二 在△ABD中，由余弦定理可得BD＝eq \r(AD2＋AB2－2×AD×AB×cs ∠BAD)＝eq \r(7)，
所以cs∠ABD＝eq \f(AB2＋BD2－AD2,2×AB×BD)＝－eq \f(\r(21),14)，
則sin ∠ABD＝eq \f(5\r(7),14).
設eq \(BD,\s\up6(→))與eq \(AE,\s\up6(→))的夾角為θ，
則cs θ＝cs(180°－∠ABD＋30°)
＝－cs(∠ABD－30°)
＝－cs∠ABD·cs 30°－sin∠ABD·sin 30°
＝－eq \f(\r(7),14)，
在△ABE中，易得AE＝BE＝2，
故eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \r(7)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),14)))＝－1.
(2)在四邊形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，則下列結論不成立的是( )
A．四邊形ABCD為菱形
B．∠BAD＝120°
C．|eq \(AC,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)
D．|eq \(BD,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)
答案 C
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，則四邊形ABCD為平行四邊形，
設m，n，p都是單位向量，m＋n＝p，
則(m＋n)2＝p2，m2＋2m·n＋n2＝p2，
1＋2m·n＋1＝1，
則m·n＝－eq \f(1,2)＝cs〈m，n〉，所以〈m，n〉＝120°，
因此由eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的角平分線，因此四邊形ABCD是菱形，而|eq \(AB,\s\up6(→))|＝10，所以|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3)|eq \(AB,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝10.
題型二 和向量有關的最值(范圍)問題
命題點1 與平面向量基本定理有關的最值(范圍)問題
例2 (2022·蘭州模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，點F為線段BD上的一動點，若eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，則eq \f(2－3x,4y2＋1)的最大值為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4)
C．1 D．2
答案 A
解析 設BD，AE交于O，因為DE∥AB，
所以△AOB∽△EOD，
所以eq \f(AO,OE)＝eq \f(AB,DE)＝2，
所以AO＝2OE，則eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AO,\s\up6(→))，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)xeq \(AO,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))，
因為O，F(xiàn)，B三點共線，
所以eq \f(3,2)x＋y＝1，即2－3x＝2y，
所以eq \f(2－3x,4y2＋1)＝eq \f(2y,4y2＋1)＝eq \f(2,4y＋\f(1,y))，
因為x>0，y>0，
所以4y＋eq \f(1,y)≥2eq \r(4y·\f(1,y))＝4，
當且僅當4y＝eq \f(1,y)，即y＝eq \f(1,2)時等號成立，
此時x＝eq \f(1,3)，
所以eq \f(2－3x,4y2＋1)＝eq \f(2,4y＋\f(1,y))≤eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).
命題點2 與數(shù)量積有關的最值(范圍)問題
例3 (2020·新高考全國Ⅰ)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范圍是( )
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
答案 A
解析 如圖，取A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，
則A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq \r(3))，
F(－1，eq \r(3))．
設P(x，y)，則eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，
且－1

相關試卷

2024年高考數(shù)學第一輪復習專題訓練81練第五章　§5.4　平面向量的綜合應用[培優(yōu)課]：

這是一份2024年高考數(shù)學第一輪復習專題訓練81練第五章　§5.4　平面向量的綜合應用[培優(yōu)課]，共2頁。

2024年高考數(shù)學第一輪復習專題訓練第五章　§5.4　平面向量的綜合應用[培優(yōu)課]：

這是一份2024年高考數(shù)學第一輪復習專題訓練第五章　§5.4　平面向量的綜合應用[培優(yōu)課]，共3頁。試卷主要包含了4　平面向量的綜合應用等內容，歡迎下載使用。

2024年數(shù)學高考大一輪復習第五章 培優(yōu)課 §5.4　平面向量的綜合應用：

這是一份2024年數(shù)學高考大一輪復習第五章 培優(yōu)課 §5.4　平面向量的綜合應用，共2頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2024年數(shù)學高考大一輪復習第五章 培優(yōu)課 §5.4　平面向量的綜合應用

2024年數(shù)學高考大一輪復習第五章 培優(yōu)課 §5.4　平面向量的綜合應用
2024高考數(shù)學一輪復習講義（步步高版）第五章　§5.4　平面向量的綜合應用[培優(yōu)課]

2024高考數(shù)學一輪復習講義（步步高版）第五章　§5.4　平面向量的綜合應用[培優(yōu)課]
新高考數(shù)學一輪復習講義 第5章 §5.4　平面向量中的綜合問題　培優(yōu)課

新高考數(shù)學一輪復習講義 第5章 §5.4　平面向量中的綜合問題　培優(yōu)課
(新高考)高考數(shù)學一輪復習講義第5章§5.4平面向量中的綜合問題培優(yōu)課(含詳解)

(新高考)高考數(shù)學一輪復習講義第5章§5.4平面向量中的綜合問題培優(yōu)課(含詳解)
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部