?第2節(jié)　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件
考綱要求　1.理解命題的概念，了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系；2.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義.

知識(shí)梳理
1.命題
用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題.
2.四種命題及其相互關(guān)系
(1)四種命題間的相互關(guān)系

(2)四種命題的真假關(guān)系
①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性.
②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題時(shí)，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.
3.充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件
p?q且q? p
p是q的必要不充分條件
p?q且q?p
p是q的充要條件
p?q
p是q的既不充分也不必要條件
p?q且q?p

1.否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論.
2.區(qū)別A是B的充分不必要條件(A?B且B?A)，與A的充分不必要條件是B(B?A且A?B)兩者的不同.
3.充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系，設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件.
(2)若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.
(3)若A＝B，則p是q的充要條件.
4.p是q的充分不必要條件，等價(jià)于綈q是綈p的充分不必要條件.
診斷自測(cè)

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－31是a>的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案　D
解析　若“ab>1”，當(dāng)a＝－2，b＝－1時(shí)，不能得到“a>”，
若“a>”，例如當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，不能得到“ab>1”，
故“ab>1”是“a>”的既不充分也不必要條件.
3.命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　)
A.若α≠，則tan α≠1 B.若α＝，則tan α≠1
C.若tan α≠1，則α≠ D.若tan α≠1，則α＝
答案　C
解析　命題“若p，則q”的逆否命題是“若綈q，則綈p”，所以該命題的逆否命題是“若tan α≠1，則α≠”.

4.(2020·長(zhǎng)春模擬)已知命題α：如果xb，則a＋c>b＋c”的否命題是“若a≤b，則a＋c≤b＋c”.
2.(2021·成都七中檢測(cè))給出下列命題：
①“若xy＝1，則lg x＋lg y＝0”的逆命題；
②“若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)”的否命題；
③“若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實(shí)根”的逆否命題；
④“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題.
其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　D
解析　對(duì)于①，“若xy＝1，則lg x＋lg y＝0”的逆命題為“若lg x＋lg y＝0，則xy＝1”，該命題為真命題；
對(duì)于②，“若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)”的否命題為“a·b≠a·c，則a不垂直于(b－c)”，由a·b≠a·c可得a·(b－c)≠0，據(jù)此可得a不垂直于(b－c)，該命題為真命題；
對(duì)于③，若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0的根的判別式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有實(shí)根，原命題為真命題，則其逆否命題為真命題；
對(duì)于④，“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題為“三個(gè)內(nèi)角均為60°的三角形為等邊三角形”，該命題為真命題.
3.(2018·北京卷)能說(shuō)明“若f(x)>f(0)對(duì)任意的x∈(0，2]都成立，則f(x)在[0，2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是________.
答案　f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一 ，再如f(x)＝)
解析　根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的概念，只要找到一個(gè)定義域?yàn)閇0，2]的不單調(diào)函數(shù)，滿足在定義域內(nèi)有唯一的最小值點(diǎn)，且f(x)min＝f(0).
感悟升華　1.寫(xiě)一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意：
(1)對(duì)于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫(xiě)；
(2)若命題有大前提，寫(xiě)其他三種命題時(shí)需保留大前提.
2.判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例.
3.根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易時(shí)，可間接判斷.
考點(diǎn)二　充分條件與必要條件的判定
【例1】 (1)(2020·浙江卷)已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
(2)已知條件p：x＋y≠－2，條件q：x，y不都是－1，則p是q的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由m，n，l在同一平面內(nèi)，可能有m，n，l兩兩平行，所以m，n，l可能沒(méi)有公共點(diǎn)，所以不能推出m，n，l兩兩相交.由m，n，l兩兩相交且m，n，l不經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，可設(shè)l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A?n，所以點(diǎn)A和直線n確定平面α，而B(niǎo)，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m?α，所以m，n，l在同一平面內(nèi).故選B.
(2)因?yàn)閜：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，
所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，
因?yàn)榻恞?綈p，但綈p?綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件.
感悟升華　充要條件的三種判斷方法
(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷.
(2)集合法：根據(jù)使p，q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.
(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問(wèn)題.
【訓(xùn)練1】 (1)(2021·昆明診斷)設(shè)集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≥0}，B＝.則“x∈A”是“x∈B”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的(　　)
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≥0}＝{x|x≥2，或x≤－1}，B＝＝{x|x≥2，或x

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