?第3節(jié)　圓的方程
考綱要求　掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．

知識(shí)梳理
1．圓的定義和圓的方程
定義
平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓
方程
標(biāo)準(zhǔn)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圓心C(a，b)
半徑為r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要條件：D2＋E2－4F＞0
圓心坐標(biāo)：
半徑r＝
2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：
(1)|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；
(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；
(3)|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi)．

1．圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2.
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
診斷自測(cè)

1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(　　)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．(　　)
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(2)當(dāng)a＝0時(shí)，x2＋y2＝a2表示點(diǎn)(0,0)；當(dāng)a＜0時(shí)，表示半徑為|a|的圓．
(3)當(dāng)(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1時(shí)表示圓．

2．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是(　　)
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
答案　D
解析　圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)，半徑r＝.
3．過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案　C
解析　設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.因?yàn)閳A心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.

4．(2020·北京卷)已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　A
解析　由平面幾何知識(shí)知，當(dāng)且僅當(dāng)原點(diǎn)、圓心、點(diǎn)(3,4)共線時(shí)，圓心到原點(diǎn)的距離最小且最小值為dmin＝－1＝4.故選A.
5．(2021·佛山一中期末)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案　B
解析　將x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得2＋(y－1)2＝－2.
由其表示圓可得－2>0，解得m2.
6．(2020·全國(guó)Ⅱ卷)若過(guò)點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為(　　)
A. B． C． D．
答案　B
解析　設(shè)圓心為P(x0，y0)，半徑為r，∵圓與x軸，y軸都相切，
∴|x0|＝|y0|＝r，又圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，∴x0＝y(tǒng)0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2，
∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5.
當(dāng)r＝1時(shí)，圓心坐標(biāo)為(1,1)，此時(shí)圓心到直線2x－y－3＝0的距離d＝＝；
當(dāng)r＝5時(shí)，圓心坐標(biāo)為(5,5)，此時(shí)圓心到直線2x－y－3＝0的距離d＝＝.
綜上，圓心到直線2x－y－3＝0的距離為.

考點(diǎn)一　圓的方程
1．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為_(kāi)_______________．
答案　x2＋y2－2x＝0
解析　法一　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則解得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝0，故圓的方程為x2＋y2－2x＝0.
法二　設(shè)O(0,0)，A(1,1)，B(2,0)，則kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A為直角的直角三角形，則線段BO是所求圓的直徑，則圓心為C(1,0)，半徑r＝|OB|＝1，圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
2．已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且截直線x－y－3＝0所得的弦長(zhǎng)為，則圓C的方程為_(kāi)_______．
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析　法一　∵所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，
∴可設(shè)所求圓的圓心為(a，－a)．
∵所求圓與直線x－y＝0相切，∴半徑r＝＝|a|.
又所求圓截直線x－y－3＝0所得的弦長(zhǎng)為，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝，
∴d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，
∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二　設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
則圓心(a，b)到直線x－y－3＝0的距離d＝，
∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
∵所求圓與直線x－y＝0相切，∴＝r.②
又∵圓心在直線x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
聯(lián)立①②③，解得
故圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
3．(2021·蘭州、張掖重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)A(2，－1)，B(4,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程為(　　)
A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8
C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8
答案　A
解析　因?yàn)锳(2，－1)，B(4,1)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，即圓心為(3,0)，又半徑r＝|AB|＝＝，所以所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝2，故選A.

4.(2020·鄭州二模)圓(x＋2)2＋(y－12)2＝4關(guān)于直線x－y＋8＝0對(duì)稱(chēng)的圓的方程為(　　)
A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝4 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝4
C．(x－4)2＋(y－6)2＝4 D．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4
答案　C
解析　設(shè)對(duì)稱(chēng)圓的圓心為(m，n)，
則解得所以所求圓的圓心為(4,6)，
故所求圓的方程為(x－4)2＋(y－6)2＝4，故選C.
感悟升華　求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來(lái)說(shuō)，求圓的方程有兩種方法：
(1)幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量．確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；
(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．
考點(diǎn)二　與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
角度1　利用幾何意義求最值
【例1】　已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
解　(1)可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過(guò)原點(diǎn)的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率．
設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為y＝kx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值為－2＋，最小值為－2－.
(2)設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距．
由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值為－1，最小值為－－1.
(3)＝，求它的最值可視為求點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(－1,2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，－3)到定點(diǎn)(－1,2)的距離與半徑的和或差．又圓心到定點(diǎn)(－1,2)的距離為，
∴的最大值為＋1，最小值－1.
感悟升華　把有關(guān)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中以下幾類(lèi)轉(zhuǎn)化較為常見(jiàn)：
(1)形如m＝的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；
(2)形如m＝ax＋by的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題；
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方的最值問(wèn)題．
角度2　利用對(duì)稱(chēng)性求最值
【例2】　(2021·衡水聯(lián)考)已知A(0,2)，點(diǎn)P在直線x＋y＋2＝0上，點(diǎn)Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________．
答案　2
解析　因?yàn)閳AC：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圓C是以C(2,1)為圓心，半徑r＝的圓．設(shè)點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(m，n)，
所以
解得故A′(－4，－2)．
連接A′C交圓C于Q(圖略)，此時(shí)，|PA|＋|PQ|取得最小值，由對(duì)稱(chēng)性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|＝|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
感悟升華　求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問(wèn)題的基本思路：
(1)“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；
(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱(chēng)性解決．
角度3　建立函數(shù)關(guān)系求最值
【例3】　(2021·重慶模擬)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,0)，
B(－2,0)，則·的最大值為_(kāi)_______．
答案　12
解析　由題意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圓的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，當(dāng)y＝4時(shí)，·的值最大，最大值為6×4－12＝12.
感悟升華　根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)知識(shí)或基本不等式求最值．
【訓(xùn)練1】　(1)已知兩點(diǎn)A(－1,0)，B(0,2)，點(diǎn)P是圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最大值與最小值分別是(　　)
A．2，(4－) B．(4＋)，(4－)
C.，4－ D．(＋2)，(－2)
(2)(2021·長(zhǎng)沙模擬)圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離的最大值是________．
答案　(1)B　(2)＋1
解析　(1)如圖，

圓心(1,0)到直線AB：2x－y＋2＝0的距離d＝，故圓上的點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值是＋1，最小值是－1.
又|AB|＝，故△PAB面積的最大值和最小值分別是2＋，2－.故選B.
(2)將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的距離d＝＝，故圓上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離的最大值為d＋1＝＋1.
考點(diǎn)三　與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
【例4】　已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：
(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．
解　(1)法一　設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.
因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，
化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二　設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝|AB|＝2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．
所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
感悟升華　求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；
(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；
(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；
(4)代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．
【訓(xùn)練2】　設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程．
解　如圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，

則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為
.
因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，
所以＝，＝，
整理得
又點(diǎn)N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以點(diǎn)P的軌跡是以(－3,4)為圓心，2為半徑的圓，
直線OM與軌跡相交于兩點(diǎn)和，不符合題意，舍去，
所以點(diǎn)P的軌跡為(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去兩點(diǎn)和.

A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固
一、選擇題
1．圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案　D
解析　因?yàn)閳A心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)，所以該圓的半徑r＝＝，則該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2．如果圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么當(dāng)圓面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為(　　)
A．(－1,1) B．(1，－1) C．(－1,0) D．(0，－1)
答案　D
解析　r＝＝，
當(dāng)k＝0時(shí)，r最大，此時(shí)圓心坐標(biāo)為(0，－1)．
3．(2020·荊州模擬)若圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對(duì)稱(chēng)，則k的值是(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案　B
解析　由題意知直線y＝kx＋3過(guò)圓心(1,1)，
即1＝k＋3，解得k＝－2.
4．點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案　A
解析　設(shè)圓上任意一點(diǎn)為(x1，y1)，中點(diǎn)為(x，y)，則所以代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化簡(jiǎn)得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5．(2021·成都診斷)若拋物線y＝x2－2x－3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則由交點(diǎn)確定的圓的方程為(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5
答案　D
解析　拋物線y＝x2－2x－3關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A(－1,0)，B(3,0)，C(0，－3)，設(shè)圓心為M(1，b)，半徑為r，則|MA|2＝|MC|2＝r2，即4＋b2＝1＋(b＋3)2＝r2，解得b＝－1，r＝，所以由交點(diǎn)確定的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.故選D.
6．(2021·西安調(diào)研)已知圓C經(jīng)過(guò)P(－2,4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，則圓C的方程為(　　)
A．x2＋y2－2x－4y－8＝0
B．x2＋y2＋2x－4y－8＝0
C．x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
D．x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
答案　C
解析　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，
將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，?、?br /> 設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6得D2－4F＝36，?、?br /> 由①②④得或
故所求的圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
二、填空題
7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________，半徑是________．
答案　(－2，－4)　5
解析　由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
當(dāng)a＝2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去．
當(dāng)a＝－1時(shí)，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓．
8．若圓C：x2＋2＝n的圓心為橢圓M：x2＋my2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，且圓C經(jīng)過(guò)M的另一個(gè)焦點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．
答案　x2＋(y＋1)2＝4
解析　∵圓C的圓心為，∴＝，m＝.又圓C經(jīng)過(guò)M的另一個(gè)焦點(diǎn)，則圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，從而n＝4.故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝4.
9．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為_(kāi)_______．
答案　5－4
解析　P是x軸上任意一點(diǎn)，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1′(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
三、解答題
10．已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
解　(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直線MQ的斜率k，
設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直線MQ與圓C有交點(diǎn)，
∴≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值為2＋，最小值為2－.
(3)設(shè)y－x＝b，則x－y＋b＝0.
當(dāng)直線y＝x＋b與圓C相切時(shí)，截距b取到最值，
∴＝2，∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值為9，最小值為1.
11．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
解　(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程為y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則

解得或
故圓的半徑為x0＋＝4或12，
因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
B級(jí)　能力提升
12．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)A，B距離之比是常數(shù)λ(λ>0，λ≠1)的點(diǎn)M的軌跡是圓．若兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|＝2|MB|，則M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為(　　)
A．π B．2π C．3π D．4π
答案　D
解析　以A點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則可取B(3,0)．設(shè)M(x，y)，依題意有，＝2，化簡(jiǎn)整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，圓的面積為4π.故選D.
13．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)．記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，則d的最大值為_(kāi)_______．
答案　74
解析　設(shè)P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y為圓上任一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
14．已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求M的軌跡方程；
(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積．
解　(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.
設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由題設(shè)知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，為半徑的圓．由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM.
因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為－，
故l的方程為x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離為，
所以|PM|＝，S△POM＝××＝，
故△POM的面積為.


相關(guān)試卷

2024高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)Word版題庫(kù)（人教A版文）第九章 平面解析幾何 第6節(jié) 雙曲線：

這是一份2024高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)Word版題庫(kù)（人教A版文）第九章 平面解析幾何 第6節(jié) 雙曲線，共21頁(yè)。試卷主要包含了雙曲線的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，焦點(diǎn)三角形的面積等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)Word版題庫(kù)（人教A版文）第九章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程：

這是一份2024高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)Word版題庫(kù)（人教A版文）第九章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程，共16頁(yè)。試卷主要包含了圓的定義和圓的方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容，歡迎下載使用。

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的方程：

這是一份備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的方程，共14頁(yè)。試卷主要包含了直線的斜率，直線方程的五種形式，))，已知點(diǎn)A，B等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第6節(jié) 雙曲線

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第6節(jié) 雙曲線
備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程
備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程
備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第2節(jié) 兩直線的位置關(guān)系

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第九章 平面解析幾何 第2節(jié) 兩直線的位置關(guān)系
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部