?第5節(jié)　隨機(jī)事件的概率
考綱要求　1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別；2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式．

知識(shí)梳理
1．概率與頻率
(1)頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率．
(2)概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A)．
2．事件的關(guān)系與運(yùn)算

定義
符號(hào)表示
包含關(guān)系
如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等關(guān)系
若B?A且A?B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(積事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥
A∩B＝?
對(duì)立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件
A∩B＝?
P(A∪B)＝1
3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)．

1．從集合的角度理解互斥事件和對(duì)立事件
(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．
(2)事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．
2．概率加法公式的推廣
當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)， 要用到概率加法公式的推廣，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
診斷自測(cè)

1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(　　)
(2)在大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(　　)
(3)若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0≤P(A)≤1.(　　)
(4)6張獎(jiǎng)券中只有一張有獎(jiǎng)，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎(jiǎng)的概率小于乙中獎(jiǎng)的概率．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：
分組
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
頻數(shù)
2
3
4
5
4
2
則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為(　　)
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
答案　B
解析　由表知[10,40)的頻數(shù)為2＋3＋4＝9，
所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為＝0.45.
3．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”(　　)
A．是互斥事件，不是對(duì)立事件
B．是對(duì)立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是對(duì)立事件
D．既不是互斥事件也不是對(duì)立事件
答案　C
解析　“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況，這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集，且不能同時(shí)發(fā)生，故“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件，也是對(duì)立事件．


4．(2018·全國Ⅲ卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　)
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
答案　B
解析　某群體中的成員分為只用現(xiàn)金支付、既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付、不用現(xiàn)金支付，它們彼此是互斥事件，所以不用現(xiàn)金支付的概率為1－(0.15＋0.45)＝0.4.
5．(2020·全國Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1 200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1 600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者(　　)
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
答案　B
解析　由題意，第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，即第二天確保完成新訂單1 600份，減去超市每天能完成的1 200份，加上積壓的500份，共有1 600－1 200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名)．
6．拋擲一枚均勻的骰子(骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn))一次，觀察擲出向上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為擲出向上為偶數(shù)點(diǎn)，事件B為擲出向上為3點(diǎn)，則P(A∪B)＝________.
答案　
解析　事件A為擲出向上為偶數(shù)點(diǎn)，所以P(A)＝.事件B為擲出向上為3點(diǎn)，所以P(B)＝，又事件A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.

考點(diǎn)一　隨機(jī)事件的關(guān)系
1．在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)
A．至多有一張移動(dòng)卡 B．恰有一張移動(dòng)卡
C．都不是移動(dòng)卡 D．至少有一張移動(dòng)卡
答案　A
解析　由題意知“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件是“至多有一張移動(dòng)卡”，又1－＝，故“至多有一張移動(dòng)卡”的概率是.
2．口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)除顏色外完全相同的小球，從中取出兩個(gè)球，事件A＝“取出的兩個(gè)球同色”，B＝“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)黃球”，C＝“取出的兩個(gè)球至少有一個(gè)白球”，D＝“取出的兩個(gè)球不同色”，E＝“取出的兩個(gè)球中至多有一個(gè)白球”．下列判斷中正確的序號(hào)為________．
①A與D為對(duì)立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對(duì)立事件；④P(C∪E)＝1.
答案　①④
解析　當(dāng)取出的兩個(gè)球?yàn)橐稽S一白時(shí)，B與C都發(fā)生，②不正確；當(dāng)取出的兩個(gè)球中恰有一個(gè)白球時(shí)，事件C與E都發(fā)生，③不正確；顯然A與D是對(duì)立事件，①正確；C∪E為必然事件，P(C∪E)＝1，④正確．
3．下列命題：
①對(duì)立事件一定是互斥事件；
②若A，B為兩個(gè)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
④事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A，B是對(duì)立事件．
其中錯(cuò)誤的是________．
答案?、冖邰?br /> 解析　對(duì)于①，對(duì)立事件是互斥事件中其中一個(gè)不發(fā)生，另一個(gè)必然發(fā)生的事件，所以正確．對(duì)于②，只有互斥事件才滿足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，不是任意事件都滿足，故②錯(cuò)誤．對(duì)于③，若A、B、C三事件兩兩互斥，不一定(A∪B)是C的對(duì)立事件，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1不一定成立，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，對(duì)立事件的概率之和為1，但概率之和為1的兩個(gè)事件不一定是對(duì)立事件，④錯(cuò)誤．
感悟升華　1.準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；(2)對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生．
2．判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．
考點(diǎn)二　隨機(jī)事件的頻率與概率
【例1】　(2020·全國Ⅰ卷)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)．加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元、50元、20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元．該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù)．甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件．廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表
等級(jí)
A
B
C
D
頻數(shù)
40
20
20
20
乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表
等級(jí)
A
B
C
D
頻數(shù)
28
17
34
21
(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；
(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？
解　(1)由試加工產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表知，
甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為＝0.4；
乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為＝0.28.
(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為
利潤
65
25
－5
－75
頻數(shù)
40
20
20
20
因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為
＝15.
由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為
利潤
70
30
0
－70
頻數(shù)
28
17
34
21
因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為
＝10.
比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，廠家應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).
感悟升華　1.頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．
2．利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐步趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．
【訓(xùn)練1】　某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：
最高氣溫
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
天數(shù)
2
16
36
25
7
4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．
解　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6.
所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.
(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，
若最高氣溫低于20，則Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高氣溫不低于25，則Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利潤Y的所有可能值為－100,300,900.
Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8.
因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.
考點(diǎn)三　互斥事件與對(duì)立事件的概率
【例2】　經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：
排隊(duì)人數(shù)
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；
(2)至少3人排隊(duì)等候的概率．
解　記“無人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥．
(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一　記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，
則H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二　記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對(duì)立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
感悟升華　1.求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來．
2．求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是間接法，先求該事件的對(duì)立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．當(dāng)題目涉及“至多”、“至少”型問題，多考慮間接法．
【訓(xùn)練2】　(1)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙兩級(jí)均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級(jí)品和丙級(jí)品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件是正品(甲級(jí))的概率為(　　)
A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08
(2)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适莀_______．
答案　(1)C　(2)
解析　(1)記“抽檢的產(chǎn)品是甲級(jí)品”為事件A，是“乙級(jí)品”為事件B，是“丙級(jí)品”為事件C，這三個(gè)事件彼此互斥，因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
(2)乙不輸包含兩人下成和棋和乙獲勝，且它們是互斥事件，所以乙不輸?shù)母怕蕿椋?


A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固
一、選擇題
1．下列說法正確的是(　　)
A．甲、乙二人比賽，甲勝的概率為，則比賽5場(chǎng)，甲勝3場(chǎng)
B．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，前9個(gè)病人沒有治愈，則第10個(gè)病人一定治愈
C．隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等
D．天氣預(yù)報(bào)中，預(yù)報(bào)明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%
答案　D
解析　由概率的意義知D正確．
2．設(shè)事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，則A，B之間的關(guān)系一定為(　　)
A．兩個(gè)任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件 D．對(duì)立事件
答案　B
解析　因?yàn)镻(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之間的關(guān)系一定為互斥事件．
3．從正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)中，隨機(jī)選取三個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，對(duì)于事件A：“這個(gè)三角形是等腰三角形”，下列推斷正確的是(　　)
A．事件A發(fā)生的概率是
B．事件A發(fā)生的概率是
C．事件A是不可能事件
D．事件A是必然事件
答案　D
解析　從正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)中，隨機(jī)選取三個(gè)頂點(diǎn)連成三角形都是等腰三角形，故事件A是必然事件．
4．(2020·太原模擬)已知隨機(jī)事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，則P()＝(　　)
A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8
答案　A
解析　∵隨機(jī)事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，∴P()＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.
5．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概率是.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A. B． C． D．1
答案　C
解析　設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A∪B，且事件A與B互斥．
由于P(A)＝，P(B)＝.
所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
6．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是(　　)
A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”
B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”
C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”
D．“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”
答案　D
解析　A中的兩個(gè)事件是包含關(guān)系，不是互斥事件；B中的兩個(gè)事件是對(duì)立事件；C中的兩個(gè)事件都包含“一個(gè)黑球一個(gè)紅球”的事件，不是互斥關(guān)系；D中的兩個(gè)事件是互斥而不對(duì)立的關(guān)系．
7．根據(jù)某醫(yī)療研究所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)有一血液為A型病人需要輸血，若在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為(　　)
A．15% B．20%
C．45% D．65%
答案　D
解析　因?yàn)槟车貐^(qū)居民血型的分布為O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，現(xiàn)在能為A型病人輸血的有O型和A型，故為病人輸血的概率為50%＋15%＝65%，故選D.
8．拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A＋發(fā)生的概率為(　　)
A. B． C． D．
答案　C
解析　擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果，依題意P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P()＝1－P(B)＝1－＝，
因?yàn)楸硎尽俺霈F(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件，所以事件A與互斥，從而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
二、填空題
9．“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對(duì)該地區(qū)群眾對(duì)“鍵盤俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有14人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度，若該地區(qū)有9 600人，則可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的有________人．
答案　6 912
解析　在隨機(jī)抽取的50人中，持反對(duì)態(tài)度的頻率為1－＝，則可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的有9 600×＝6 912(人)．
10．從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為________．
答案　0.35
解析　事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”與事件A是對(duì)立事件，由于P(A)＝0.65，所以由對(duì)立事件的概率公式得“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為P()＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
11．我國西部一個(gè)地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示：
年降水量(mm)
(100,150)
(150,200)
(200,250)
(250,300)
概率
0.21
0.16
0.13
0.12
則年降水量在(200,300)(mm)范圍內(nèi)的概率是________．
答案　0.25
解析　設(shè)年降水量在(200,300)、(200,250)、(250,300)的事件分別為A、B、C，則A＝B∪C，且B、C為互斥事件，所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.13＋0.12＝0.25.
12．(2021·鄭州調(diào)研)一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球，3個(gè)綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè)，取得兩個(gè)紅玻璃球的概率為，取得兩個(gè)綠玻璃球的概率為，則取得兩個(gè)同色玻璃球的概率為________；至少取得一個(gè)紅玻璃球的概率為________．
答案　　
解析　由于“取得兩個(gè)紅玻璃球”與“取得兩個(gè)綠玻璃球”是互斥事件，取得兩個(gè)同色玻璃球，只需兩互斥事件有一個(gè)發(fā)生即可，因而取得兩個(gè)同色玻璃球的概率為P＝＋＝.
由于事件A“至少取得一個(gè)紅玻璃球”與事件B“取得兩個(gè)綠玻璃球”是對(duì)立事件，則至少取得一個(gè)紅玻璃球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
B級(jí)　能力提升
13．若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　由題意可得
即解得

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