2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難點專題02函數(shù)的綜合應(yīng)用【考點預(yù)測】高考中考查函數(shù)的內(nèi)容主要是以綜合題的形式出現(xiàn)，通常是函數(shù)與數(shù)列的綜合、函數(shù)與不等式的綜合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合及函數(shù)的開放性試題和信息題，求解這些問題時，著重掌握函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識點融會貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數(shù)圖像、最值和根的分布等基本解法；掌握函數(shù)圖像的各種變換形式（如對稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換等）；了解反函數(shù)的概念與性質(zhì)；掌握指數(shù)、對數(shù)式大小比較的常見方法；掌握指數(shù)、對數(shù)方程和不等式的解法；掌握導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，特別是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等.  【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)與數(shù)列的綜合題型二：函數(shù)與不等式的綜合題型三：函數(shù)中的創(chuàng)新題 題型一：函數(shù)與數(shù)列的綜合例1．已知數(shù)列滿足，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用不等式可得，即，由累加法可得，利用不等式可得，即，同理用累加法可得，則，即可求解.【詳解】∵（當(dāng)時等號成立），∴，當(dāng)時，，即，則，，整理得，即，即，，，，將個不等式相加得，即，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在出取得最大值，，所以（當(dāng)時等號成立），當(dāng)時，（當(dāng)時等號成立），即當(dāng)時， ，，，，，即，同理利用累加法可得，即，所以，則，故選： .例2．已知等差數(shù)列的前n項和為，滿足，則下列結(jié)論正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】把已知等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，可知和是函數(shù)的零點，故利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并研究其零點，結(jié)合函數(shù)零點存在性定理求得的關(guān)系，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式即可求解.【詳解】令，即和是函數(shù)的零點∵，故f(x)最多有一個零點，∴又∵，，∴1＜＜2，∴，，∴.故選：B   【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)與數(shù)列知識的相互聯(lián)系、相似性質(zhì)：（1）抽象函數(shù)的關(guān)系與數(shù)列遞推關(guān)系式類似.(2)函數(shù)單調(diào)性與數(shù)列單調(diào)性的相似性.（3）數(shù)列與不等式的綜合可以利用數(shù)列的形式構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式，因此解決數(shù)列問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，用函數(shù)的知識或方法解決.題型二：函數(shù)與不等式的綜合例3．已知函數(shù)是定義域為R的函數(shù)，，對任意，，均有，已知a，b為關(guān)于x的方程的兩個解，則關(guān)于t的不等式的解集為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題可得函數(shù)關(guān)于點對稱，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，利用函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳解】由，得且函數(shù)關(guān)于點對稱．由對任意，，均有，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增．又因為函數(shù)的定義域為R，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增．因為a，b為關(guān)于x的方程的兩個解，所以，解得，且，即．又，令，則，則由，得，所以．綜上，t 的取值范圍是.故選：D．例4．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有兩個整數(shù)解，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】令，討論的單調(diào)性，分析畫出函數(shù)的圖象，由可知.【詳解】關(guān)于的不等式有且僅有兩個整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為有且僅有兩個整數(shù)解，令，當(dāng) ，，，所以在上單調(diào)遞減，同理已知在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，的圖象如下圖，而的距離為1，即在之間有且僅有兩個整數(shù)解，所以，則的取值范圍是：.故答案為：. 例5．德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時，對的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若存在使不等式成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意先求，然后利用倒序相加法求，則由可得，求出的最小值即可求得的取值范圍【詳解】因為，所以，由，，所以，所以，所以由，得，，，所以，令，（）則當(dāng)，遞減，當(dāng)時，遞增，因為，所以，所以，即的取值范圍是，故答案為：  【方法技巧與總結(jié)】不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動態(tài)，常量轉(zhuǎn)化為變量，這體現(xiàn)了函數(shù)思想，并能用函數(shù)的圖像及性質(zhì)解答.        題型三：函數(shù)中的創(chuàng)新題例6.（多選）對于定義域為的函數(shù)，若存在區(qū)間，同時滿足下列條件：①在上是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是時，的值域也是，則稱為該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間”的是（        ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】【分析】由 “和諧區(qū)間”定義，結(jié)合每個函數(shù)進(jìn)行判斷，逐一證明函數(shù)存在或不存在“和諧區(qū)間”即可【詳解】對A，可知函數(shù)單調(diào)遞增，則若定義域為時，值域為，故不存在“和諧區(qū)間”；對B，，可假設(shè)在存在“和諧區(qū)間”，函數(shù)為增函數(shù)，若定義域為時，值域為，則，解得（符合），（舍去），故函數(shù)存在“和諧區(qū)間”；對C，，對稱軸為，先討論區(qū)間，函數(shù)為減函數(shù)，若定義域為時，值域為，則滿足，解得，故與題設(shè)矛盾；同理當(dāng)時，應(yīng)滿足，解得，故無解，所以不存在“和諧區(qū)間”； 對D，為單增函數(shù)，則應(yīng)滿足，可將解析式看作，，由圖可知，兩函數(shù)圖像有兩個交點，則存在“和諧區(qū)間”故選BD【點睛】本題考查函數(shù)新定義，函數(shù)基本性質(zhì)，方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，屬于難題例7.（多選）設(shè)，計算機(jī)程序中的命令函數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.若函數(shù)（，且），則下列說法正確的是（       ）A．在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)B．在區(qū)間上不存在最大值C．在區(qū)間上有5個零點D．若的圖象上至少存在4對關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點，則.【答案】BD【解析】由題意，畫出的圖象，觀察在區(qū)間的圖像即可判斷選項AB；觀察在區(qū)間上的零點即可判斷選項C；通過條件分析出函數(shù)與的圖象至少有4個交點，觀察圖像得到，即可判斷選項D.【詳解】由題意，畫出的圖象如圖所示：由在區(qū)間上的圖象可知，在區(qū)間上為非單調(diào)函數(shù)，A項錯誤；在區(qū)間上，，沒有最大值，B項正確；無論還是，在區(qū)間內(nèi)恒有1個零點，由圖象可知，在區(qū)間上有5個零點，所以在區(qū)間上有6個零點，C項錯誤；要使的圖象上至少存在4對關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點，則函數(shù)與的圖象至少有4個交點，由圖象得，解得，D項正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題是函數(shù)的綜合問題，主要考查函數(shù)的圖像，函數(shù)的單調(diào)性以及考生對新定義的理解.數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.例8.已知P是曲線上的點，Q是曲線上的點，曲線與曲線關(guān)于直線對稱，M為線段PQ的中點，O為坐標(biāo)原點，則的最小值為________．【答案】【解析】畫出函數(shù)及其關(guān)于對稱的曲線的簡圖，根據(jù)圖像，分別過P，Q作的平行線，如圖虛線，由于中點在圖中兩條虛線的中間線上，要中點到原點的距離最小需要左邊最近，右邊最遠(yuǎn)，因此當(dāng)兩條虛線是如圖所示曲線的切線時，此時切點分別是P，Q，此時P，Q的中點M到原點O的距離最小，利用相切求得切點坐標(biāo)，即得解．【詳解】,函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.它的圖像及關(guān)于直線對稱的圖像如圖所示：分別過P，Q作的平行線，如圖虛線，由于中點在圖中兩條虛線的中間線上，要中點到原點的距離最小需要左邊最近，右邊最遠(yuǎn)，因此當(dāng)兩條虛線是如圖所示曲線的切線時，此時切點分別是P，Q，此時P，Q的中點M到原點O的距離最小.令，又P在y軸右側(cè)，；根據(jù)兩條曲線的對稱性，且P，Q處的切線斜率相等，點Q為點關(guān)于對稱的點，可求得因此PQ中點坐標(biāo)為：故答案為：【點睛】本題考查了函數(shù)綜合，考查了函數(shù)的對稱性，單調(diào)性綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于難題． 

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