一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度。
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，針對(duì)“一?！笨荚囍械膯?wèn)題要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過(guò)程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過(guò)程及書(shū)寫(xiě)。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們?cè)诼?tīng)課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對(duì)問(wèn)題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們?cè)谒㈩}時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對(duì)于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過(guò)程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
重難點(diǎn)專題13導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合的解答題
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145102513" 題型1分段分析法 PAGEREF _Tc145102513 \h 1
\l "_Tc145102514" 題型2放縮法 PAGEREF _Tc145102514 \h 15
題型1分段分析法
【例題1】（2023秋·福建廈門(mén)·高三福建省廈門(mén)第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=sinx?ln(1+x)，f'(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)．證明：
（1）f'(x)在區(qū)間(?1,π2)存在唯一極大值點(diǎn)；
（2）f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在?1,π2上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷出?x0∈0,π2，使得g'x0=0，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在?1,π2上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知x=0為fx在?1,0上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)x∈0,π2時(shí)，首先可判斷出在0,x0上無(wú)零點(diǎn)，再利用零點(diǎn)存在定理得到fx在x0,π2上的單調(diào)性，可知fx>0，不存在零點(diǎn)；當(dāng)x∈π2,π時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理和fx單調(diào)性可判斷出存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x∈π,+∞，可證得fx0，g'π2=?sinπ2+4π+22=4π+22?10；x∈x0,π2時(shí)，g'x0
∴fx在0,x0上單調(diào)遞增，此時(shí)fx>f0=0，不存在零點(diǎn)
又f'π2=csπ2?2π+2=?2π+20,fx在0,α上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈α,π時(shí),f'x0，此時(shí)，函數(shù)y=fx無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)x∈π2,3時(shí)，f'x=12x?sinx，f″x=12?csx>0.
此時(shí)，函數(shù)y=f'x單調(diào)遞增，f'π2=π4?10，此時(shí)，函數(shù)y=fx單調(diào)遞增.
∵fπ2=π216?10，可得a?lnππ（舍去）.
此時(shí)函數(shù)fx在π2,π上無(wú)零點(diǎn)；
若fπ2fπ0，
所以從?x在π2,π上是增函數(shù)，?x>?π2=0即f'(x)>0，
當(dāng)π422，?'x0,csx∈0,1，從而2cs3x+1∈(3,+∞)
①.因此當(dāng)a≤3時(shí)，2cs3x+1?a>0,則φ″(x)>0，
所以函數(shù)φ'(x)在x∈0,π2單調(diào)遞增，又φ'0=0，
因此φ'(x)>0，所以函數(shù)φ(x)在x∈0,π2調(diào)遞增，又φ0=0，
φ(x)>0在x∈0,π2恒成立
②．當(dāng)a>3時(shí),令φ″(x)=sinx2cs3x+1?a,由sinx>0
因?yàn)閏sx=32a?1∈(0，1)必有一解，記為x0，
所以當(dāng)00時(shí)，cs2x0在0,1上恒成立上可以證明Fx在定義域上的單調(diào)性，可知Fx≥0，便可證明結(jié)論.
（2）先判斷整數(shù)a≤2可知esinx+x2?ax?1?lnx≥esinx+x2?2x?1?lnx，接著證明
Hx=esinx+x2?2x?1?lnx>0在區(qū)間(0,1]上恒成立即可可出結(jié)論.
【詳解】解：
（1）證明：設(shè)Fx=sinx?lnx+1，0≤x≤1，則F'x=csx?1x+1．
因?yàn)镕″x=1x+12?sinx，且x∈[0,1]
則F″x在0,1，單調(diào)遞減，14?sin1?12+csπ3=0，F(xiàn)'(0)=0
所以F'x>0在0,1上恒成立上，所以Fx在[0,1]單調(diào)遞增
則Fx≥F0=0，即Fx≥0，
所以fx≥gx+1．
（2）因?yàn)閷?duì)任意的x∈0,1，ef(x)+?x﹣gx>0
即esinx+x2?ax?1?lnx>0恒成立
令x=1，則esin1>a
由（1）知sin1>ln2，所以2=eln2lnx+1，則esinx>x+1
故Hx>x+1+x2?2x?1?lnx=x2?x?lnx
設(shè)Gx=x2?x?lnx，x∈0,1，則G'x=2x?1?1x=2x+1x?1x≤0，
所以Gx在0,1上單調(diào)遞減，所以Gx≥G1=0，所以Hx>0在x∈0,1上恒成立.
綜上所述, a的最大值為2
【變式2-1】2. （2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ex?kx2，其中k為實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．g(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)．
（1）試討論g(x)的極值點(diǎn)；
（2）①若k=12，證明：當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?x+1恒成立；
②當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?2x+1?sinx恒成立，求k的取值范圍．
【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析 ；（2） ① 證明見(jiàn)解析；②(?∞，12]．
【分析】（1）求得g'x，對(duì)k進(jìn)行分類討論，由此求得gx的極值點(diǎn).
（2）①構(gòu)造函數(shù)Gx=ex?12x2?x?1x?0，利用導(dǎo)數(shù)證得Gx?0，由此證得f(x)?x+1.
②構(gòu)造函數(shù)?(x)=ex?kx2?2x?1+sinx(x?0)，結(jié)合對(duì)k進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究?x的單調(diào)性、最值.由此求得k的取值范圍.
【詳解】（1）g(x)=f'(x)=ex?2kx，則g'(x)=ex?2k，
當(dāng)k?0時(shí)，g'(x)?0，∴g(x)單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，
當(dāng)k>0時(shí)，令g'(x)=0，則x=ln2k，
令g'(x)>0，則x>ln2k，∴g(x)單調(diào)遞增，
令g'(x)12時(shí)，?''(0)=1?2k0，
故必然存在x0∈(0,1+2k)，使得x∈(0,x0)時(shí)，?''(0)0，所以p(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，所以p(x)≥p(0)=0，所以ex≥x2+1，x∈[0,+∞)，
當(dāng)a>1時(shí)，f(x)?csx=aex?x2?csx>ex?x2?csx≥x2+1?x2?csx=1?csx≥0，
即f(x)>csx對(duì)于任意的x∈[0,+∞)恒成立.
【變式2-1】4. （2020秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）當(dāng)0≤x≤π2時(shí)，求證：x≥sinx；
（2）若ex≥kx+1對(duì)于任意的x∈0,+∞恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)a>0，求證；函數(shù)fx=eax?1?csx在0,π2上存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且fx0>e?1a.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）?∞,1；（3）證明見(jiàn)解析
【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)Gx=x?sinx0≤x≤π2，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解；
（2）設(shè)gx=ex?kx?1，則g'x=ex?k，分k≤1，k>1討論，通過(guò)研究gx的最小值求解；
（3）求得f'x=eax?1acsx?sinx，令f'x=0得到tanx=a，通正切函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可得極值點(diǎn)．將證明fx0>e?1a轉(zhuǎn)化為證明a21+a2>e?1a，令t=?1a，則tett0，則fx在0,x0上為增函數(shù)：
當(dāng)x∈x0,π2時(shí)，f'xe?1a．
當(dāng)0≤x≤π2時(shí)，由（1）知x≥sinx，由（2）易證ex?1≥x．
所以eax0?1≥ax0≥asinx0，從而fx0=eax0?1?csx0≥asinx0csx0=a21+a2．
下面證明：a21+a2>e?1a．令t=?1a，則tett0和a0．然后令g(x)=?(x)?(a+2)csx，求導(dǎo)g'(x) =ae2x?2ex+(a?2)+(a+2)sinx，分a≥2和00，當(dāng)x0，當(dāng)xaeπ?2e?π?4>4a?24?4，
所以當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，gx單調(diào)遞增，
所以gx≥g0=0．
若00，
所以g'(ln2+4+2aa)≥0，
所以?x0∈0,ln2+4+2aa，使得g'x0=0，
且當(dāng)x∈0,x0時(shí)，g'x0；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）化簡(jiǎn)f(x)=xex?a(x?sinx)，根據(jù)題意得xex?a=0有一個(gè)非零實(shí)根，設(shè)?x=xex，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合函數(shù)的值的變化趨勢(shì)，即可求解；
（2）化簡(jiǎn)g(x)=xex?1，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為xex?1≥x+lnx=lnxex，令t=xex，得到新函數(shù)H(t)=t?lnt?1(t>0)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.
【詳解】（1）由題意，函數(shù)f(x)=x2ex?xexsinx?ax+asinx=xex?a(x?sinx)
因?yàn)閒(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)閤?sinx=0時(shí)，解得x=0，
所以當(dāng)xex?a=0有一個(gè)非零實(shí)根，
設(shè)?x=xex，可得?'(x)=(x+1)ex，
當(dāng)x∈(?∞,?1)時(shí)，?'(x)0,g(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x∈0,x0,g(x)>g(0)=0,不合題意.
綜上,a的取值范圍為(?∞,3].
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性t=csx在定義域內(nèi)是減函數(shù),若t0=csx0,當(dāng)t∈t0,1,φ(t)>0,對(duì)應(yīng)當(dāng)x∈0,x0,g'(x)>0.
3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx=ax?sinxcs2x,x∈0,π2．
(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論fx的單調(diào)性；
(2)若fx+sinxxb2x2+2?b21?x2>0，
即當(dāng)x∈0,m?0,1時(shí)，f'x>0，則fx在0,m上單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：fx在?m,0上單調(diào)遞減，
所以x=0是fx的極小值點(diǎn)，不合題意；
（ⅱ）當(dāng)b2>2時(shí)，取x∈0,1b?0,1，則bx∈0,1，
由（1）可得f'x=?bsinbx?2xx2?10,?'1b=b3?b>0，則?'x>0對(duì)?x∈0,1b恒成立，
可知?x在0,1b上單調(diào)遞增，且?0=2?b20，
所以?x在0,1b內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)n∈0,1b，
當(dāng)x∈0,n時(shí)，則?x0,1?x2>0，
則f'x0，不存在零點(diǎn)；當(dāng)x∈π2,π時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理和fx單調(diào)性可判斷出存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x∈π,+∞，可證得fx0，g'π2=?sinπ2+4π+22=4π+22?10；x∈x0,π2時(shí)，g'x0
∴fx在0,x0上單調(diào)遞增，此時(shí)fx>f0=0，不存在零點(diǎn)
又f'π2=csπ2?2π+2=?2π+2

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