備戰(zhàn)2024新高考-高中數(shù)學(xué)二輪重難點專題6-雙變量問題-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點專題06雙變量問題【方法技巧與總結(jié)】破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.【題型歸納目錄】題型一：雙變量單調(diào)問題題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題題型四：雙變量不等式:中點型題型五：雙變量不等式:剪刀模型題型六：雙變量不等式:主元法【典例例題】題型一：雙變量單調(diào)問題例1．已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實數(shù)，若不能，請說明理由；（Ⅱ）求最大的整數(shù)，使得對任意，，不等式恒成立．【解答】解：（Ⅰ）．假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點，則有，即．顯然，，代入方程中得，．△，方程無解．故無論取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切；（Ⅱ）依題意，恒成立．設(shè)，則上式等價于，要使對任意，恒成立，即使在上單調(diào)遞增，在上恒成立．（1），則，在上成立的必要條件是：．下面證明：當(dāng)時，恒成立．設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，即，．那么，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，恒成立．因此，的最大整數(shù)值為 3．題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題例2．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間是的導(dǎo)數(shù)）；（2）若有兩個極值點、，證明：．【解答】解：（1）當(dāng)時，，則，，，顯然遞減，且（1），故當(dāng)時，，時，，故在遞增，在遞減；（2）證明：，，由題意知有2個不相等的實數(shù)根，即有2個不相等的實數(shù)根，，則，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（1），而時，，故的取值范圍是，，由，得，故，令，則，，，故不等式只要在時成立，令，，，故在上單調(diào)遞增，即，故在上單調(diào)遞減，即，故原不等式成立．例3．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的極值點；（2）若，是方程的兩個不同的正實根，證明：．【解答】解：（1），，令，△，當(dāng)時，△，，無極值點，當(dāng)時，令，解得：，當(dāng)，，時，，遞增，，時，，遞減，故極大值點是，極小值點是；綜上：時，無極值點，時，極大值點是，極小值點是；（2）由，即，令，，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在遞減，在，上遞增，又有2個零點，，即，解得：，且，兩式相減得：，設(shè)，，，要證明，即證明，，，即證明，令，，在上單調(diào)遞減，（1），即．題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題例4．已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，．（2）若存在兩個極值點，，證明：．【解答】證明：（1）當(dāng)時，，定義域為，，在定義域上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，（1），當(dāng)時，（1），原命題得證．（2），若存在兩個極值點，則，解得，由韋達(dá)定理可知，，，，原命題即證：，不妨設(shè)，原命題即證：，由知，，即證：，不妨令，原命題即證：，記，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，（1），原命題得證．例5．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點，證明：恒成立．【解答】解：（1）的定義域為，，①當(dāng)時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時，令，得或，令，得，所以在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，③當(dāng)時，則，所以在上單調(diào)遞增，④當(dāng)時，令，得或，，得，所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）證明：，則的定義域為，，若有兩個極值點，，則方程的判別式△，且，，解得，又，所以，即，所以，設(shè)，其中，，由，解得，又，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞減，即的最大值為，所以恒成立．題型四：雙變量不等式:中點型例6．已知函數(shù)．①討論的單調(diào)性；②設(shè)，證明：當(dāng)時，；③函數(shù)的圖象與軸相交于、兩點，線段中點的橫坐標(biāo)為，證明．【解答】解：①函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，則由，得，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，在單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時，恒成立，在單調(diào)遞增；②設(shè)函數(shù)，則，，當(dāng)時，，而，，故當(dāng)時，；③由①可得，當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸至多有一個交點，故，從而的最大值為，且，不妨設(shè)，，，，，則，由②得，，又在，上單調(diào)遞減，，于是，由①知，．例7．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）如果方程有兩個不相等的解，，且，證明：．【解答】解：（1），①當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，至多一個根，不符合題意；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則（a）．不妨設(shè)，要證，即證，即證，即證．因為在單調(diào)遞增，即證，因為，所以即證，即證，令．．當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，又，所以，時，，即，即，又，所以，所以．例8．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若函數(shù)的兩個極值點，恰為函數(shù)的兩個零點，且的取值范圍是，，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為，又，對于方程，△，①若△，即時，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；②若△，即時，令，解得，或，當(dāng)和，時，，當(dāng)，時，，所以在和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）由（1）可知，當(dāng)時，，，又，故，由，可得，兩式相減，可得，所以，令，所以，則，所以在上單調(diào)遞減，由的取值范圍為，，可得的取值范圍為，所以，又因為，故實數(shù)的取值范圍是．題型五：雙變量不等式:剪刀模型例9．（2021春?道里區(qū)校級期中）已知函數(shù)，是的極值點．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線．求證：曲線上的點都不在直線的上方；（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個不等實根，，求證：．【解答】（Ⅰ）解：；由題意知，；；（Ⅱ）證明：設(shè)曲線在，處切線為直線；令；；；在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；；，即，即上的點都不在直線的上方；（Ⅲ）由（Ⅱ）設(shè)方程的解為；則有，解得；由題意知，；令，；；在上單調(diào)遞增；；的圖象不在的下方；與交點的橫坐標(biāo)為；則有，即；；關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增；．題型六：雙變量不等式:主元法例10．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)任取兩個正數(shù)，當(dāng)時，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式求出定義域以及導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)進(jìn)行討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出，運用分析法將需要證明成立的不等式轉(zhuǎn)化，再利用換元法寫出表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明原不等式成立.(1).當(dāng)時，，令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)證明：由題意得，.要證，只需證，即證，即證.令，所以只需證在上恒成立，即證在上恒成立.令，則，令，則.所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以.

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