?雅禮中學(xué)2023年下學(xué)期高一第一次月考
數(shù) 學(xué)
（時(shí)量：120分鐘　　分值：150分）
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 命題“”的否定是（　　）
A. B.
C. D.
2. 設(shè)集合含有，1兩個(gè)元素，含有，2兩個(gè)元素，定義集合，滿足，且，則中所有元素之積為（　　）
A. B. C. 8 D. 16
3. 若函數(shù)定義域?yàn)?，則的定義域是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命題正確的是（ ）
A. “”是“”的充分條件 B. “”是“”的必要條件
C. “”是“”的充分條件 D. “”是“”的必要條件
5. 用C(A)表示非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
6. 函數(shù)在數(shù)學(xué)上稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，其中表示不大于的最大整數(shù)，如．那么不等式成立的充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，則的最小值為（ ）
A. B. 0 C. 1 D.
8. 黎曼函數(shù)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出的，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在上的定義為：當(dāng)（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)）時(shí)，；當(dāng)或或?yàn)閮?nèi)的無(wú)理數(shù)時(shí)，.已知，，，則（ ）注：，為互質(zhì)的正整數(shù)，即為已約分的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù).
A. 的值域?yàn)?B.
C. D. 以上選項(xiàng)都不對(duì)
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．
9. 若不等式的解集是，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 且 B.
C. D. 不等式的解集是
10. 命題，為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值可以是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
11. 設(shè)，為兩個(gè)正數(shù)，定義，的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，這是我們熟知的基本不等式．上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中為有理數(shù)．如：．下列關(guān)系正確的是（　?。?br /> A. B.
C. D.
12. 已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則下面正確的是（ ）
A
B.
C. 若不等式的解集為，則
D. 若不等式的解集為，且，則
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知，那么f(x)解析式為_(kāi)_______.
14. 設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)t取值范圍為_(kāi)___________．
15. 已知函數(shù)，，若對(duì)任意，存在，使得，則的取值范圍______．
16. 若，且，則的最小值為_(kāi)______.
四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（其中第17題10分，18~22題每題12分，共70分）
17. 已知全集，集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若是必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18. 已知，，均為正實(shí)數(shù)，且．
（1）求證：；
（2）求的最小值．
19. 已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：
（1）xy的最小值；
（2）x+y的最小值..
20. 濟(jì)南市地鐵項(xiàng)目正在加火如荼的進(jìn)行中，通車后將給市民出行帶來(lái)便利，已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，記列車載客量為.
（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量；
（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.
21. 已知二次函數(shù)（，為實(shí)數(shù)）
（1）若時(shí)，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若時(shí)，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
22. 已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的定義域和值域；
（2）已知為非零實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為，求．

雅禮中學(xué)2023年下學(xué)期高一第一次月考
數(shù)學(xué)
（時(shí)量：120分鐘　　分值：150分）
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 命題“”的否定是（　?。?br /> A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由特稱命題的否定是全稱命題，可得出答案.
【詳解】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可知命題“”的否定是“”.
故選：A.
2. 設(shè)集合含有，1兩個(gè)元素，含有，2兩個(gè)元素，定義集合，滿足，且，則中所有元素之積為（　?。?br /> A. B. C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合的定義先求出集合，然后再把集合中所有元素相乘即可求解.
【詳解】由題意，，
由集合的定義可知，集合中有以下元素：①，②，③，④，
根據(jù)集合中元素滿足互異性去重得，
所以中所有元素之積為.
故選：C.
3. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)中，即可得出，即可選出答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?
所以
所以的定義域是
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查隱函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.解本題的關(guān)鍵在于正確理解函數(shù)的定義域是的取值范圍與同一個(gè)函數(shù)其括號(hào)里面的取值范圍一樣.
4. 下列命題正確的是（ ）
A. “”是“”的充分條件 B. “”是“”的必要條件
C. “”是“”的充分條件 D. “”是“”的必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；
【詳解】解：對(duì)于A：由推不出，如，滿足，但是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由推不出，如，滿足，但是，
即不是的必要條件，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由推不出，當(dāng)時(shí)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若，則，即，所以，即是的必要條件，故D正確；
故選：D
5. 用C(A)表示非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得或，進(jìn)而討論a的范圍，確定出，最后得到答案.
【詳解】因?yàn)?，，所以或?br /> 由，得，
關(guān)于x的方程，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，易知，符合題意；
當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，易知0， -a不是方程的根，故，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程 無(wú)實(shí)根，
若a=0，則B={0}，，符合題意，
若或，則，不符合題意.
所以，故.
故選：B.
【點(diǎn)睛】對(duì)于新定義的問(wèn)題，一定要讀懂題意，一般理解起來(lái)不難，它一般和平常所學(xué)知識(shí)和方法有很大關(guān)聯(lián)；另外當(dāng)時(shí)，容易遺漏a=0時(shí)的情況，注意仔細(xì)分析題目.
6. 函數(shù)在數(shù)學(xué)上稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，其中表示不大于的最大整數(shù)，如．那么不等式成立的充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，則，則，
又因?yàn)楸硎静淮笥诘淖畲笳麛?shù)，
所以不等式的解集為：，
因?yàn)樗蟮臅r(shí)不等式成立的充分不必要條件，
所以只要求出不等式解集的一個(gè)非空真子集即可，
選項(xiàng)中只有?.
故選：B.
7. 已知，則的最小值為（ ）
A. B. 0 C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)“1”技巧，利用均值不等式求解.
【詳解】，，
，
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
故選：A
8. 黎曼函數(shù)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出的，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在上的定義為：當(dāng)（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)）時(shí)，；當(dāng)或或?yàn)閮?nèi)的無(wú)理數(shù)時(shí)，.已知，，，則（ ）注：，為互質(zhì)的正整數(shù)，即為已約分的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù).
A. 的值域?yàn)?B.
C. D. 以上選項(xiàng)都不對(duì)
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)） ，B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的無(wú)理數(shù)}，然后對(duì)A選項(xiàng)，根據(jù)黎曼函數(shù)在上的定義分析即可求解；對(duì)B、C選項(xiàng)：分①，；②，；③或分析討論即可．
【詳解】解：設(shè)，（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的無(wú)理數(shù)}，
對(duì)A選項(xiàng)：由題意，的值域?yàn)椋渲惺谴笥诘扔?的正整數(shù)，
故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)B、C選項(xiàng)：
①當(dāng)，，則，；
②當(dāng)，，則，＝0；
③當(dāng)或，則，，
所以選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤，
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是牢牢抓住黎曼函數(shù)在上的定義去分析.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．
9. 若不等式的解集是，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 且 B.
C. D. 不等式的解集是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集可判斷出的正負(fù)以及的關(guān)系，由此可判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).
【詳解】因?yàn)榈慕饧癁椋饧瘜儆趦筛畠?nèi)的情況，所以，
又因?yàn)?，所以?br /> A．，故正確；
B．因?yàn)?，所以，故正確；
C．因?yàn)榻饧癁?，所以，故錯(cuò)誤；
D．因?yàn)榧礊?，即，解得，故正確；
故選：ABD.
10. 命題，為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值可以是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】先求出命題為真命題時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍，然后利用補(bǔ)集思想求出命題為假命題時(shí)m的取值范圍，由此可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】若命題，為真命題，則，解得，
所以當(dāng)命題，為假命題時(shí)，，
符合條件的為、B、C選項(xiàng).
故選：BC.
11. 設(shè)，為兩個(gè)正數(shù)，定義，的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，這是我們熟知的基本不等式．上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中為有理數(shù)．如：．下列關(guān)系正確的是（　?。?br /> A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)新定義逐個(gè)選項(xiàng)代入，化簡(jiǎn)后根據(jù)基本不等式與柯西不等式判斷即可.
詳解】A：，故A對(duì)；
B：，故B錯(cuò)；
C：，，
而，故C對(duì)；
D：由柯西不等式，，故D錯(cuò).
故選：AC.
12. 已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則下面正確的是（ ）
A.
B.
C. 若不等式的解集為，則
D. 若不等式的解集為，且，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)集合子集的個(gè)數(shù)列方程，求得的關(guān)系式，對(duì)A，利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷；對(duì)B，利用基本不等式可判斷；對(duì)CD，利用不等式的解集及韋達(dá)定理可判斷.
【詳解】由于集合有且僅有兩個(gè)子集，所以，
由于，所以.
A，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確.
B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確.
C，不等式的解集為，，故C錯(cuò)誤.
D，不等式的解集為，即不等式的解集為，且，則，
則，，故D正確，
故選：ABD
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知，那么f(x)的解析式為_(kāi)_______.
【答案】.
【解析】
【分析】用代換已知式中的，可得，注意有取值范圍．
【詳解】解：由可知，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0，x≠﹣1}，
用代換，代入上式得：f(x)= =，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)解析式，掌握函數(shù)這定義是解題關(guān)鍵．求解析式時(shí)要注意自變量的取值范圍．
14. 設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)t取值范圍為_(kāi)___________．
【答案】
【解析】
【分析】由可知，討論與，即可求出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
當(dāng)時(shí)：，滿足題意；
當(dāng)時(shí)：，無(wú)解；
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.
故答案為：
15. 已知函數(shù)，，若對(duì)任意，存在，使得，則的取值范圍______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可判斷，由此求出，可得相應(yīng)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，求解即可.
【詳解】由題意知；
當(dāng)時(shí)，，
故需同時(shí)滿足以下兩點(diǎn)：
①對(duì)時(shí)，
∴恒成立，
由于當(dāng)時(shí)，增函數(shù)，
∴；
②對(duì)時(shí)，，
∴恒成立，
由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，
∴，
∴，
故答案為：
16. 若，且，則的最小值為_(kāi)______.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)a2+2ab﹣3b2=1得到(a+3b)(a﹣b)=1，令x=a+3b，y=a﹣b，用x，y表示a，b，然后代入a2+b2，利用均值不等式求解.
【詳解】由a2+2ab﹣3b2=1得(a+3b)(a﹣b)=1，
令x=a+3b，y=a﹣b，則xy=1且a，b，
所以a2+b2=()2+()2，
當(dāng)且僅當(dāng)x2，y2時(shí)取等號(hào).
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查均值不等式的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題的能力，屬于中檔題.
四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（其中第17題10分，18~22題每題12分，共70分）
17. 已知全集，集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出集合、，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合；
（2）分析可知，ü，利用集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
因?yàn)槿?，則或，或，
因此，或.
【小問(wèn)2詳解】
易知集合為非空集合，
因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，則ü，所以，，解得.
因此，實(shí)數(shù)取值范圍是.
18. 已知，，均為正實(shí)數(shù)，且．
（1）求證：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）9
【解析】
【分析】（1）根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得證；
（2）根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
原式


.
當(dāng)且僅當(dāng)是取等號(hào)，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
原式


.
當(dāng)且僅當(dāng)是取等號(hào)，
所以的最小值為．
19. 已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：
（1）xy的最小值；
（2）x+y的最小值..
【答案】（1）64 （2）18
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式構(gòu)建不等式即可得結(jié)果；
（2）將變形為分式型，利用“1”的代換和基本不等式可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
∵， ， ，
∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為64.
【小問(wèn)2詳解】
∵，則 ，
又∵， ，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為18.
20. 濟(jì)南市地鐵項(xiàng)目正在加火如荼的進(jìn)行中，通車后將給市民出行帶來(lái)便利，已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，記列車載客量為.
（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量；
（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.
【答案】（1）；
（2）發(fā)車時(shí)間間隔為4分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為132元.
【解析】
【分析】（1）由題設(shè)，有且，求k值，進(jìn)而寫出其分段函數(shù)的形式即可.
（2）由（1）寫出解析式，討論、求最大值即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，令，
又發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，
∴，解得.
∴，
故時(shí)，，
所以當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量為人.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知：，
∵時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
∴上，
而上，單調(diào)遞減，則，
綜上，時(shí)間間隔為4分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為132元.
21. 已知二次函數(shù)（，為實(shí)數(shù)）
（1）若時(shí)，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若時(shí)，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意求出可得對(duì)恒成立，分離參數(shù)，即得，令，則可得，利用基本不等式即可求得答案；
（2）由題意，變更主元：令為主元，視為參數(shù)，則，對(duì)恒成立，由此可得不等式組，即可求得答案.
【小問(wèn)1詳解】
將，代入得
∴對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
當(dāng)時(shí)，由于在上單調(diào)遞增，故，
∴，，
令，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
由題意，
變更主元：令為主元，視為參數(shù)，
令，對(duì)，恒成立，
故只需，即，
解得.
22. 已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的定義域和值域；
（2）已知為非零實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)根式的概念可得定義域，再計(jì)算，結(jié)合二次函數(shù)值域求解可得值域；
（2）令，設(shè)函數(shù)，，再根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分類討論求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
定義域：，


當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
，令，
則，
設(shè)，，
1°若，
此時(shí)二次函數(shù)對(duì)稱軸，開(kāi)口向上，則.
2°若，此時(shí)對(duì)稱軸：，
①當(dāng)即時(shí)，開(kāi)口向下，則；
②當(dāng)即，對(duì)稱軸，開(kāi)口向下，則，
③即時(shí)，開(kāi)口向下，；
綜上：.

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